2025年上学期高一数学期末综合检测（A卷）

2025年上学期高一数学期末综合检测（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|log₂(x+1)=1}，则A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅函数f(x)=√(2x-1)+log₂(3-2x)的定义域是（）A.[1/2,3/2)B.(1/2,3/2]C.[1/2,+∞)D.(-∞,3/2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.f(x)=x³B.f(x)=sinxC.f(x)=lnxD.f(x)=2ˣ已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cos(α-π/4)=（）A.-√2/10B.√2/10C.7√2/10D.-7√2/10已知向量a=(2,-1)，b=(m,3)，若a⊥b，则m=（）A.-3/2B.3/2C.-6D.6已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₂=5，S₅=35，则a₇=（）A.13B.14C.15D.16在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，则c=（）A.√7B.√13C.4D.7已知直线l₁：2x-y+1=0与直线l₂：x+my-3=0平行，则m=（）A.-1/2B.1/2C.-2D.2圆x²+y²-4x+6y+3=0的圆心坐标和半径分别是（）A.(2,-3)，√10B.(-2,3)，√10C.(2,-3)，4D.(-2,3)，4某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.12cm³B.18cm³C.24cm³D.36cm³已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式是（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)=x²-2x，则f(-2025)=（）A.-1B.0C.1D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）计算：log₂8+2⁰-(1/2)⁻¹=________.已知等比数列{aₙ}中，a₁=1，a₄=8，则该数列的前5项和S₅=________.已知点P(2,3)在角α的终边上，则tan(α+π/4)=________.若关于x的不等式x²-ax+1>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知集合A={x|x²-5x+6≤0}，B={x|2x-1>0}.（1）求A∩B；（2）若集合C={x|x<a}，且A⊆C，求实数a的取值范围.（本小题满分12分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x-1.（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值.（本小题满分12分）已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1.（1）证明：数列{aₙ+1}是等比数列；（2）求数列{aₙ}的通项公式.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2.（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）求三棱锥P-ABC的体积.（本小题满分12分）已知圆C经过点A(1,1)，B(2,-2)，且圆心在直线x-y+1=0上.（1）求圆C的方程；（2）若直线l：kx-y+3=0与圆C相交于M，N两点，且|MN|=4，求k的值.（本小题满分12分）某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元.经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t（单位：百件）时，销售所得的收入约为5t-t²/2（万元）.（1）若该公司的年产量为x（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数；（2）当该公司的年产量为多少时，当年所得利润最大？最大利润是多少？参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）B2.A3.A4.A5.B6.C7.A8.A9.A10.B11.B12.A二、填空题（每小题5分，共20分）214.3115.-516.(-2,2)三、解答题（共70分）（本小题满分10分）解：（1）由x²-5x+6≤0，得(x-2)(x-3)≤0，解得2≤x≤3，所以A={x|2≤x≤3}.2分由2x-1>0，得x>1/2，所以B={x|x>1/2}.4分所以A∩B={x|2≤x≤3}.5分（2）因为A={x|2≤x≤3}，C={x|x<a}，且A⊆C，所以a>3.10分（本小题满分12分）解：（1）f(x)=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4).4分所以f(x)的最小正周期T=2π/2=π.6分（2）因为x∈[0,π/2]，所以2x+π/4∈[π/4,5π/4].8分当2x+π/4=π/2，即x=π/8时，f(x)取得最大值√2；10分当2x+π/4=5π/4，即x=π/2时，f(x)取得最小值-1.12分（本小题满分12分）（1）证明：因为aₙ₊₁=2aₙ+1，所以aₙ₊₁+1=2(aₙ+1).3分又因为a₁+1=2≠0，所以数列{aₙ+1}是以2为首项，2为公比的等比数列.6分（2）解：由（1）知，aₙ+1=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ，所以aₙ=2ⁿ-1.12分（本小题满分12分）（1）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.2分又因为AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB.6分（2）解：因为PA⊥平面ABC，所以PA是三棱锥P-ABC的高.8分又因为AB⊥BC，AB=BC=2，所以S△ABC=1/2×AB×BC=1/2×2×2=2.10分所以三棱锥P-ABC的体积V=1/3×S△ABC×PA=1/3×2×2=4/3.12分（本小题满分12分）解：（1）设圆C的圆心坐标为(a,b)，半径为r.因为圆心在直线x-y+1=0上，所以a-b+1=0，即b=a+1.2分又因为圆C经过点A(1,1)，B(2,-2)，所以√[(a-1)²+(b-1)²]=√[(a-2)²+(b+2)²]=r.4分将b=a+1代入上式，得√[(a-1)²+(a+1-1)²]=√[(a-2)²+(a+1+2)²]，即√[(a-1)²+a²]=√[(a-2)²+(a+3)²]，两边平方，得(a-1)²+a²=(a-2)²+(a+3)²，展开，得a²-2a+1+a²=a²-4a+4+a²+6a+9，化简，得2a²-2a+1=2a²+2a+13，移项，得-4a=12，解得a=-3.6分所以b=a+1=-2，r=√[(-3-1)²+(-2-1)²]=√[16+9]=5.8分所以圆C的方程为(x+3)²+(y+2)²=25.9分（2）由（1）知，圆C的圆心坐标为(-3,-2)，半径r=5.因为直线l：kx-y+3=0与圆C相交于M，N两点，且|MN|=4，所以圆心到直线l的距离d=√[r²-(|MN|/2)²]=√[25-4]=√21.10分又因为d=|k×(-3)-(-2)+3|/√(k²+1)=|-3k+5|/√(k²+1)=√21，所以|-3k+5|/√(k²+1)=√21，两边平方，得(-3k+5)²/(k²+1)=21，展开，得9k²-30k+25=21k²+21，移项，得12k²+30k-4=0，化简，得6k²+15k-2=0，解得k=(-15±√(225+48))/12=(-15±√273)/12.12分（本小题满分12分）解：（1）当0≤x≤5时，产品全部售出，所以y=5x-x²/2-(0.5+0.25x)=-x²/2+4.75x-0.5；3分当x>5时，产品只能售出500件，所以y=5×5-5²/2-(0.5+0.25x)=12.5-(0.5+0.25x)=12-0.25x.6分所以y={-x²/2+4.75x-0.5,0≤x≤5,{12-0.25x,x>5.7分（2）当0≤x≤5时，y=-x²/2+4.75x-0.5=-1/2(x²-9.5x)-0.5=-1/2(x-4.75)²+1/2×4.75²-0.5.9分因为4.75∈[0,5]，所以当x=4.75时，y取得最大值，y_max=-1/2×(4.75-4.75)²+1/2×4.75²-0.5=1/2×22.5625