建筑力学（第四版）课件 第九章几何组成分析

第九章几何组成分析第9章几何组成分析

【内容提要】

本章介绍平面杆件体系的几何组成分析，内容包括几何组成分析的目的、几何不变体系的基本组成规则、判别体系是否几何不变，正确区分静定结构和超静定结构。本章是以后进行结构内力计算的基础。【学习要求】1.理解几何不变体系与几何可变体系的概念。了解几何组成分析的目的。2.了解几何组成分析中的若干基本概念，主要有：刚片，自由度，约束对自由度的影响，单铰、复铰，虚铰、瞬铰，多余约束，瞬变体系。3.掌握几何不变体系的基本组成规则，并能熟练应用规则对一般的平面杆件体系进行几何组成分析。4.了解体系的几何组成与静定性的关系，能正确区分静定结构与超静定结构。5.了解平面杆件结构的分类。

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返回§9-1概述

§9-2几何不变体系的基本组成规则§9-3几何组成分析举例§9-4体系的几何组成与静定性的关系

§9-5平面杆件结构的分类

第九章几何组成分析\概述9—1—1几何不变体系和几何可变体系

杆件结构通常是由若干杆件按一定规律互相连接在一起而组成的体系，起着承受荷载和传递荷载的作用。

在荷载作用下，材料会产生应变，因而结构会变形。但这种变形与结构的原有尺寸相比是很微小的，在几何组成分析中不考虑这种变形的影响。§9-1

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在这个前提下，体系可分为两类：一类是在任意荷载作用下，其原有的几何形状和位置保持不变，这样的体系称为几何不变体系(图a)。另一类是在任意微小荷载作用下，不能保持固定的几何形状而发生相对运动，这样的体系称为几何可变体系(图b)。

目录第九章几何组成分析\概述(b)

工程结构必须是几何不变体系，决不能采用几何可变体系。9—1—2

几何组成分析的目的

分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系的几何组成分析。作这种分析的目的在于：

(1)

判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构；

(2)

研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构是几何不变的；

(3)

正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础。

目录第九章几何组成分析\概述9—1—3

刚片、自由度和约束的概念下面介绍几何组成分析中的若干基本概念。1.刚片对体系进行几何组成分析时，由于不考虑材料的应变，故可将每一根杆件都视为刚体，在平面体系中又把刚体称为刚片。

体系中已被肯定为几何不变的某个部分，也可看成为一个刚片。

同样，作为支承体系的基础也可看成为一个刚片。目录第九章几何组成分析\概述2.自由度

一个体系的自由度，是指该体系在运动时，确定其位置所需的独立坐标的数目。

设平面上一个点A，确定其位置只要用x和y两个坐标变量就可以了(如图)。因此，平面上一个点就有2个自由度。

目录第九章几何组成分析\概述

一个刚片在平面内运动时，其位置可由它上面的任一点A的坐标x、y和过点A的任一直线AB的倾角

来确定(如图)。因此，一个刚片在平面内就有3个自由度。目录第九章几何组成分析\概述

两端是铰链连接，中间不受力的直杆称为链杆。如果用一根链杆将刚片Ⅰ与基础相连接(如图)，则刚片在链杆方向的运动将被限制。但还存在两种独立的运动形式，即点A绕点C的转动和刚片Ⅰ绕点A的转动。加入链杆前，刚片Ⅰ有3个自由度，加入链杆后，自由度减少为2个。

目录第九章几何组成分析\概述3.

约束对自由度的影响

约束是刚片与基础或刚片与刚片之间的某种连接装置，是限制体系运动的一种条件。显然，体系由于加入约束而使自由度减少。

以下将能减少一个自由度的装置称为一个约束。

可见，加入一根链杆可减少一个自由度，故一根链杆相当于一个约束。

如果在点A处再加上一根水平链杆(如图)，即点A处成为一个固定铰支座，则刚片Ⅰ只能绕点A转动，其自由度只有一个。可见，增加一个固定铰支座可减少2个自由度，故一个固定铰支座相当于两个约束。

通过类似的分析可以知道，一个固定端支座相当于三个约束。目录第九章几何组成分析\概述一个单铰相当于两个约束。

如果将刚片Ⅰ与刚片Ⅱ用铰A相连接(如图)，设刚片Ⅰ的位置可以由点A的坐标x、y和倾角

1确定。由于点A是两刚片的共同点，则刚片Ⅱ的位置只需要用倾角

2一个独立参数就可以确定。因此，两刚片原有的6个自由度减少为4个，这种连接两刚片的铰称为单铰。目录第九章几何组成分析\概述

当两个以上的刚片连接于同一铰点时，这样的铰称为复铰(如图)。三个刚片连接于点A的复铰，使体系的自由度从9个减少为5个，即点A处的复铰减少了4个自由度，因此这个复铰起了两个单铰的作用。

一般来说，连接n个刚片的复铰，其作用相当于(n－1)个单铰。

目录第九章几何组成分析\概述

设一刚片用两根不平行的链杆与基础相连接(如图)，此时刚片只能绕两根链杆的延长线交点O作转动，在转动一微小角度后，点O到了点O′。这种由延长线交点而形成的铰称为虚铰。目录第九章几何组成分析\概述

当体系运动时，虚铰的位置也随之改变，故又称它为瞬铰。同理，刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由两根不平行的链杆相连接(如图)，链杆的延长线交点在O，两刚片可绕虚铰O发生相对转动。虚铰的作用与单铰一样，仍相当于两个约束。目录第九章几何组成分析\概述

如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，则此约束称为多余约束。

例如，平面内一个点A有两个自由度，如果用两根不共线的链杆将点A与基础相连接(如图)，则点A减少两个自由度，即被固定。§9-2几何不变体系的基本组成规则目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则

如果用三根不共线的链杆将点A与基础相连接(如图)，实际上仍只减少两个自由度，故这三根链杆中有一根是多余约束。

目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则

达到必须的约束数目并不能保证体系几何不变，还需检查刚片与约束的相互连接方式是否合理，因此为了确定体系是否几何不变，必须研究几何不变体系的组成规则。9-2-1基本组成规则

1．二刚片连接规则

设有刚片Ⅰ和刚片Ⅱ，它们共有6个自由度，两者之间至少应该用三个约束连接，才有可能成为一个几何不变的体系。

首先在两刚片之间加一个铰(图a)，刚片Ⅰ、Ⅱ之间的相对移动就被限制住了，但它们仍可围绕铰作相对转动。目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则

如果再在它们之间加一根不过铰心的链杆(图b)，则两刚片之间就不可能有相对运动了，于是刚片Ⅰ和刚片Ⅱ就组成了一个无多余约束的几何不变的体系。

由于一个单铰相当于二根链杆的作用，故两刚片之间用图示三根链杆连接，同样也组成一个无多余约束的几何不变的体系。

目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则

当两刚片之间用三根链杆连接时，若三根链杆同时汇交于一点A(如图)，则刚片Ⅰ、Ⅱ可以绕点A转动，体系是几何可变的。

若三根链杆的延长线同时汇交于点O(如图)，则刚片Ⅰ、Ⅱ可以绕点O发生瞬时相对转动，并在转动一微小角度后三根链杆不再汇交于同一点，这种发生微小位移后不再运动的体系称为瞬变体系。瞬变体系是几何可变体系的一种特殊情况。

目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则

若三根链杆互相平行且等长(如图)，则刚片Ⅰ、Ⅱ可以沿着链杆垂直的方向发生相对平动，体系是几何可变的。

目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则

若三根链杆相互平行但不等长(如图)，则刚片Ⅰ、Ⅱ在发生一微小的相对位移后，三根链杆不再全平行，因而不再发生相对运动，故体系是瞬变体系。

目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则

当两刚片之间用一个单铰及一根链杆连接时，若链杆通过铰心(如图a、b)，则体系是几何可变或瞬变的。目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则由上面的分析可得二刚片连接规则：

两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相互连接，或用一个铰及一根不通过铰心的链杆相连接，组成无多余约束的几何不变体系。目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则2．三刚片连接规则

平面内三个独立的刚片，共有9个自由度，三个刚片之间至少应该用6个约束连接，才有可能组成一个几何不变的体系。

现将刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ用不在同一直线上的A、B、C三个铰两两相连(如图)，若把刚片Ⅰ看作一根链杆，则应用二刚片连接规则，如图所示体系是几何不变的。

目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则

将图中任一个铰用两根链杆代替，只要这些由两根链杆所组成的实铰或虚铰不在同一直线上，这样组成的体系也是几何不变体系且无多余约束(如图)。

目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则于是得到三刚片连接规则：

三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则

若三个刚片用位于同一直线上的三个铰两两相连(如图)，设刚片Ⅰ不动，则铰C可沿以AC和BC为半径的圆弧的公切线作微小的移动。但在发生微小移动后，三个铰就不在同一直线上，体系不会继续发生相对运动，故此体系是瞬变体系。

目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则3．加减二元体规则

用两根不共线的链杆连接一个结点的装置称为二元体。

如果将图a中的刚片Ⅱ与Ⅲ看作链杆，就得到图b所示体系。显然，它是几何不变的。这个体系可看成是在刚片上通过两根不共线的链杆连接一个结点A组成的。

目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则(b)

由于一个结点的自由度等于2，而两根不共线的链杆相当于二个约束，因此增加一个二元体对体系的自由度没有影响。

同理，在一个体系上撤去一个二元体，也不会改变体系的几何组成性质。

于是得到加减二元体规则：

在一个体系上增加或减少二元体，不改变体系的几何可变或不变性。目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则9-2-2对瞬变体系的进一步分析

虽然瞬变体系在发生一微小相对运动后成为几何不变体系，但它不能作为工程结构使用。这是由于瞬变体系受力时会产生很大的内力而导致结构破坏。

例如在如图所示瞬变体系中，在荷载F作用下，铰C向下发生一微小位移而到达C

位置。C

受力如图。目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则由右图列出平衡方程得FBC=FAC=FNFy=0，2FN

sin－F=0

得FN=当

→0时，不论F有多小，FN→∞，这将造成杆件破坏。因此，工程结构不能采用瞬变体系。目录第九章几何组成分析\几何不变体系的组成规则第九章几何组成分析\几何组成分析举例

应用基本组成规则对体系进行几何组成分析的关键是恰当地选取基础、体系中的杆件或可判别为几何不变的部分作为刚片，应用规则扩大其范围，如能扩大至整个体系，则体系为几何不变的；如不能的话，则应把体系简化成二至三个刚片，再应用规则进行分析。

体系中如有二元体，则先将其逐一撤除，以使分析简化。

若体系与基础是按两刚片规则连接时，则可先撤去这些支座链杆，只分析体系内部杆件的几何组成性质。

§9-3几何组成分析举例目录例9-1

试对下图所示体系进行几何组成分析。

解体系与基础用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连接，符合两刚片连接规则，先撤去这些支座链杆，只分析体系内部的几何组成。目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例ABCDEGF

任选一个铰接三角形，例如ABC作为刚片。依次增加二元体B－D－C、B－E－D、D－F－E和E－G－F，根据加减二元体规则，可见体系是几何不变的，且无多余约束。

目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例ABCDEGFCABDEFG

当然，也可用依次拆除二元体的方式进行，最后剩下刚片ABC，同样得出该体系是无多余约束的几何不变体系。

目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例ABCDEGF例9－2

试对下图所示体系进行几何组成分析。

解本题有六根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。先选取基础为刚片，杆AB作为另一刚片，该两刚片由三根链杆相连接，符合两刚片连接规则，组成一个大的刚片，称为刚片Ⅰ。目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例EDCBAⅠ

再取杆CD为刚片Ⅱ，它与刚片Ⅰ之间用杆BC(链杆)和两根支座链杆相连接，符合两刚片连接规则，组成一个更大的刚片。

最后将杆DE和E处的支座链杆作为二元体加到这个更大的刚片上，组成整个体系。

因此，整个体系是无多余约束的几何不变体系。

目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例EDCBAⅠⅡ

例9－3试对下图所示体系进行几何组成分析。

解本题有四根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例

应用加减二元体规则，仿照例9－1的分析方法，可将ABD部分作为刚片Ⅰ，BCE部分作为刚片Ⅱ。另外，取基础作为刚片Ⅲ。目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例ⅠⅡⅢ

刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由铰B相连接，

因三个铰B、O1、O2恰在同一直线上，故体系为瞬变体系。

目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例ⅠⅡⅢ刚片Ⅰ与刚片Ⅲ由两根链杆相连接，其延长线交于虚铰O1，O1刚片Ⅱ与刚片Ⅲ由两根链杆相连接，其延长线交于虚铰O2。O2例9－4

试对下图所示体系进行几何组成分析。

目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例

解本题有四根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。

再选取铰接三角形EFG为刚片，增加二元体E－H－G，形成刚片Ⅱ。目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例

先选取基础为刚片，杆AB为另一刚片，该二刚片由三根链杆相连接，符合二刚片连接规则，组成一个大的刚片。

依次增加由AD和D处支座链杆组成的二元体，以及由杆CD和杆CB组成的二元体。这样形成一个更大的刚片，称为刚片Ⅰ。Ⅰ

刚片Ⅰ与刚片Ⅱ之间由四根链杆相连接，但不管选择其中哪三根链杆，它们都相交于一点O，因此体系为瞬变体系。目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例例9－5试对下图所示体系进行几何组成分析。

解本题有六根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例

先选取基础为一刚片，杆AD和杆BD为另两个刚片，此三个刚片由铰A、B、D相连接，符合三刚片连接规则，组成一个大刚片，称为刚片Ⅰ。

再选取杆CD为刚片Ⅱ，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ之间由铰D和C处二根支座链杆相连接，根据二刚片连接规则，尚多余一根链杆，故体系为有一个多余约束的几何不变体系。目录第九章几何组成分析\几何组成分析举例第九章几何组成分析\体系的几何组成与静定性的关系

前已说明，只有几何不变的体系才能作为结构。几何不变体系又分为无多余约束和有多余约束的两类。对于无多余约束的结构，如下图所示组合梁，它的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得，这类结构称为静定结构。

§9-4体系的几何组成与静定性的关系

目录

对于有多余约束的结构，如下图所示连续梁，其约束反力有四个，而静力平衡方程只有三个，仅用静力平衡方程无法求得全部约束反力，当然也无法求得它的全部内力，这类结构称为超静定结构。

未知力总数与静力平衡方程总数的差值，即多余约束的数目，称为超静定次数。

上图所示连续梁为一次超静定结构。目录第九章几何组成分析\体系的几何组成与静定性的关系