2025年上学期高一数学空间几何体的表面积与体积试题

2025年上学期高一数学空间几何体的表面积与体积试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）已知圆锥的底面圆半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为$\frac{2\pi}{3}$的扇形，则该圆锥的母线长为（）A.$\frac{1}{3}$B.3C.$\frac{2}{3}$D.4下列说法中正确的是（）A.棱柱的侧面可以是三角形B.通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱D.过圆锥顶点的截面中轴截面面积最大已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\sqrt{2}$已知等腰梯形ABCD，AB=2，CD=6，圆O为梯形ABCD的内切圆，并与AB，CD分别切于点E，F，以EF所在的直线为轴，梯形ABCD和圆O分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为V₁，V₂，则$\frac{V₁}{V₂}$的值为（）A.$\frac{10}{3}$B.$\frac{14}{3}$C.$\frac{16}{3}$D.$\frac{20}{3}$某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是$\frac{28\pi}{3}$，则它的表面积是（）A.17πB.18πC.20πD.28π网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.18+36$\sqrt{5}$B.54+18$\sqrt{5}$C.90D.81如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（）A.36B.12+20$\sqrt{10}$C.12+20$\sqrt{2}$D.48各棱长均相等的正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上，若该球表面积为8π，则正四棱锥P-ABCD的体积为（）A.$\frac{4}{3}$B.$\frac{8}{3}$C.$\frac{16}{3}$D.$\frac{32}{3}$一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.$\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$B.$\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$C.$\frac{1}{3}$+$\frac{\pi}{6}$D.1+$\frac{\pi}{6}$二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）某几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的表面积是______cm²，体积是______cm³。已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______。某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________。在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________。现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________。三、解答题（本大题共3小题，共45分）（15分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2CD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点。将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，得到三棱锥P-DCE。（1）求证：PD⊥PE；（2）求三棱锥P-DCE的外接球的体积。（15分）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，且AB=$\sqrt{3}$，∠ASC=∠BSC=30°。（1）求棱锥S-ABC的体积；（2）求三棱锥A-SBC的表面积。（15分）一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形。（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积。参考答案一、选择题B2.B3.A4.B5.A6.B7.C8.C9.B10.C二、填空题72，3212.$\frac{1}{3}$13.314.$\frac{5\pi}{3}$15.$\sqrt{7}$三、解答题（1）证明：在等腰梯形ABCD中，∵AB=2CD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，∴△ADE和△BEC都是等边三角形，∴AD=AE=BE=BC=1，DE=EC=1。折叠后，PA=PB=1，PD=AD=1，PC=BC=1，PE=AE=1。在△PDE中，PD=PE=DE=1，∴△PDE是等边三角形，∴∠DPE=60°。同理，∠CPE=60°，∴∠DPC=∠DPE+∠CPE=120°。在△PDC中，PD=PC=1，∠DPC=120°，由余弦定理得CD²=PD²+PC²-2PD·PC·cos∠DPC=1+1-2×1×1×(-$\frac{1}{2}$)=3，∴CD=$\sqrt{3}$。在△PDE中，PD=1，PE=1，DE=1，∴PD²+PE²=DE²，∴PD⊥PE。（2）解：由（1）知，PD=PC=PE=1，CD=$\sqrt{3}$，DE=EC=1，PD⊥PE，PD⊥PC，PE⊥PC。以P为原点，PD，PE，PC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,0)，D(1,0,0)，E(0,1,0)，C(0,0,1)。设三棱锥P-DCE的外接球的球心为O(x,y,z)，则OD=OE=OC=OP，即$\sqrt{(x-1)^2+y^2+z^2}$=$\sqrt{x^2+(y-1)^2+z^2}$=$\sqrt{x^2+y^2+(z-1)^2}$=$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，解得x=y=z=$\frac{1}{2}$，∴球心O($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)，半径R=OP=$\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}\piR^3$=$\frac{4}{3}\pi×(\frac{\sqrt{3}}{2})^3$=$\frac{\sqrt{3}\pi}{2}$。（1）解：设球心为O，则O为SC的中点，连接AO，BO。∵SC是球的直径，∴∠SAC=∠SBC=90°。∵∠ASC=∠BSC=30°，SC=4，∴AS=BS=2$\sqrt{3}$，AC=BC=2。在△ABC中，AB=$\sqrt{3}$，AC=BC=2，由余弦定理得cos∠ACB=$\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC·BC}$=$\frac{4+4-3}{2×2×2}$=$\frac{5}{8}$，∴sin∠ACB=$\sqrt{1-(\frac{5}{8})^2}$=$\frac{\sqrt{39}}{8}$。∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC·BC·sin∠ACB=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{39}}{8}$=$\frac{\sqrt{39}}{4}$。∵SO是球的半径，SO=2，且SO⊥平面ABC，∴棱锥S-ABC的体积V=$\frac{1}{3}$S△ABC·SO=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{39}}{4}×2$=$\frac{\sqrt{39}}{6}$。（2）解：S△SAC=$\frac{1}{2}$SA·AC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，同理S△SBC=2$\sqrt{3}$。S△SAB=$\frac{1}{2}$SA·SB·sin∠ASB，∵SA=SB=2$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{3}$，由余弦定理得AB²=SA²+SB²-2SA·SB·cos∠ASB，即3=12+12-2×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$·cos∠ASB，解得cos∠ASB=$\frac{7}{8}$，∴sin∠ASB=$\sqrt{1-(\frac{7}{8})^2}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，∴S△SAB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$。由（1）知S△ABC=$\frac{\sqrt{39}}{4}$，∴三棱锥A-SBC的表面积S=S△SAC+S△SBC+S△SAB+S△ABC=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$+$\frac{3\sqrt{15}}{4}$+$\frac{\sqrt{39}}{4}$=4$\sqrt{3}$+$\frac{3\sqrt{15}+\sqrt{39}}{4}$。（1）解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是等腰直角三角形，斜边长为2，一条侧棱垂直于底面，且这条侧棱与底面等腰直角三角形的直角顶点重合，侧棱长为$\sqrt{3}$。底面等腰直角三角形的直角边长为$\sqrt{2}$，底面积S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，高h=$\sqrt{3}$，∴体积V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$。（2）解：该三棱锥的三个侧面都是直角三角形，其中两个侧面是全等的直角三角形，直角边长分别为$\sqrt{2}$和$\sqrt