2025年上学期高一数学数学实验操作试题（二）

2025年上学期高一数学数学实验操作试题（二）实验一：函数图像绘制与性质探究（40分）实验目的通过实际操作绘制函数图像，探究函数的定义域、值域、单调性及奇偶性，加深对函数基本性质的理解。实验器材坐标纸、直尺、铅笔、计算器（允许使用函数计算功能）实验内容基础作图题（15分）给定函数(f(x)=x^2-4x+3)，完成以下操作：（1）用配方法将函数化为顶点式(f(x)=a(x-h)^2+k)，确定顶点坐标和对称轴；（2）在坐标纸上建立平面直角坐标系（x轴范围[-1,5]，y轴范围[-2,8]），标出至少5个关键点（顶点、与坐标轴交点、对称点）；（3）用平滑曲线连接各点，绘制函数完整图像，并标注顶点坐标和对称轴方程。操作步骤示例：配方过程：(f(x)=x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-1=(x-2)^2-1)，顶点为(2,-1)，对称轴(x=2)；关键点计算：与y轴交点：令(x=0)，得(f(0)=3)，即(0,3)；与x轴交点：令(f(x)=0)，解得(x=1)或(x=3)，即(1,0)、(3,0)；对称点：取x=4，得(f(4)=3)，即(4,3)（与(0,3)关于对称轴对称）。性质探究题（25分）给定函数(g(x)=\frac{2x+1}{x-1})（(x\neq1)），完成以下探究：（1）用分离常数法将函数变形为(g(x)=a+\frac{b}{x-1})的形式，确定渐近线方程；（2）在坐标纸上绘制函数图像（x轴范围[-3,5]且x≠1，y轴范围[-5,5]），要求标注渐近线（用虚线表示）、至少4个关键点；（3）根据图像判断函数的单调性（写出单调区间），并通过定义证明在区间(1,+∞)上的单调性；（4）判断函数是否具有奇偶性，说明理由。解答过程示例：分离常数：(g(x)=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1})，垂直渐近线(x=1)，水平渐近线(y=2)；单调性证明：任取(x_1,x_2\in(1,+\infty))，且(x_1<x_2)，则(g(x_1)-g(x_2)=\left(2+\frac{3}{x_1-1}\right)-\left(2+\frac{3}{x_2-1}\right)=\frac{3(x_2-x_1)}{(x_1-1)(x_2-1)})因为(x_1<x_2)，所以(x_2-x_1>0)，且(x_1-1>0)，(x_2-1>0)，故(g(x_1)-g(x_2)>0)，即(g(x_1)>g(x_2))，因此函数在(1,+∞)上单调递减。实验二：分段函数与实际应用模型（30分）实验目的通过构建分段函数模型解决实际问题，掌握分段函数的定义域划分、求值及图像绘制方法。实验器材坐标纸、直尺、铅笔、计算器实验内容问题情境：某快递公司收费标准如下：重量不超过1kg的包裹，收费10元；超过1kg但不超过5kg的部分，每增加0.5kg加收3元（不足0.5kg按0.5kg计算）；超过5kg的部分，每增加1kg加收5元（不足1kg按1kg计算）。设包裹重量为(x)kg（(x>0)），费用为(y)元，完成以下任务：建立函数模型（10分）写出费用(y)关于重量(x)的分段函数表达式，并注明各段定义域。解答示例：[y=\begin{cases}10&,0<x\leq1\10+3\times2(x-1)&,1<x\leq5\quad(\text{注：每0.5kg加收3元即每kg加收6元})\10+6\times4+5(x-5)&,x>5\quad(\text{注：5kg时费用为10+6×4=34元})\end{cases}]化简后：[y=\begin{cases}10&,0<x\leq1\6x+4&,1<x\leq5\5x+9&,x>5\end{cases}]图像绘制与求值（20分）（1）在坐标纸上绘制该分段函数的图像（x轴范围[0,8]，y轴范围[0,60]），注意各段端点的虚实线表示（定义域内包含端点用实心点，不包含用空心点）；（2）计算以下包裹的费用：重量2.3kg的包裹（按3kg计算，费用=6×3+4=22元）；重量5.8kg的包裹（按6kg计算，费用=5×6+9=39元）；（3）若某包裹费用为49元，反求包裹重量的取值范围。解答过程：费用49元时，由(5x+9=49)解得(x=8)，结合计费规则，重量范围为(7,8]kg。实验三：函数与方程的综合应用（30分）实验目的通过图像法和代数法结合，探究函数零点与方程解的关系，掌握二分法求近似解的基本步骤。实验器材坐标纸、计算器、直尺、铅笔实验内容零点存在性判断（10分）已知函数(h(x)=2^x-x^2)，判断在区间(3,4)内是否存在零点，并说明理由。解答过程：计算(h(3)=8-9=-1)，(h(4)=16-16=0)，因为(h(3)<0)，(h(4)=0)，且函数在R上连续，所以x=4是零点，但题目要求区间(3,4)，故需进一步判断(3,4)内是否有其他零点。计算(h(3.5)=2^{3.5}-(3.5)^2\approx11.31-12.25=-0.94<0)，因此在(3,4)内除x=4外无其他零点。二分法求近似解（20分）用二分法求方程(x^3-3x+1=0)在区间(0,1)内的近似解（精确到0.1），要求完成以下步骤：（1）验证函数(m(x)=x^3-3x+1)在(0,1)内存在唯一零点；（2）按二分法步骤计算，填写下表（至少完成4次迭代）：迭代次数区间(a,b)中点cm(c)符号新区间1(0,1)0.5m(0.5)=-0.375<0(0,0.5)2(0,0.5)0.25m(0.25)=0.2656>0(0.25,0.5)3(0.25,0.5)0.375m(0.375)≈-0.072<0(0.25,0.375)4(0.25,0.375)0.3125m(0.3125)≈0.093>0(0.3125,0.375)（3）根据表中数据，确定近似解为0.3（精确到0.1）。操作说明：每次迭代需计算中点函数值，根据符号确定新区间，直