2025年线性代数扬帆起航版试题

2025年线性代数扬帆起航版试题一、行列式与矩阵基础（共30分）（一）填空题（每小题5分，共15分）设四阶行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}=5$，则行列式$\begin{vmatrix}2a_{11}&-a_{12}&3a_{13}&a_{14}\2a_{21}&-a_{22}&3a_{23}&a_{24}\2a_{31}&-a_{32}&3a_{33}&a_{34}\2a_{41}&-a_{42}&3a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}=$______。设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\-1&0\end{pmatrix}$，则$A^TB^{-1}=$______（其中$A^T$为$A$的转置矩阵，$B^{-1}$为$B$的逆矩阵）。已知矩阵$A$满足$A^2-3A+2E=O$（$E$为单位矩阵），则$A^{-1}=$______。（二）计算题（15分）计算五阶行列式$D_5=\begin{vmatrix}2&1&0&0&0\1&2&1&0&0\0&1&2&1&0\0&0&1&2&1\0&0&0&1&2\end{vmatrix}$的值，并说明该行列式的结构特征（如是否为三对角行列式、是否可通过递推公式求解等）。二、向量组与线性方程组（共40分）（一）选择题（每小题5分，共15分）设向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,t)^T$，$\alpha_3=(3,6,9)^T$线性相关，则$t$的取值范围是（）A.$t=6$B.$t\neq6$C.$t=0$D.任意实数非齐次线性方程组$Ax=b$有唯一解的充要条件是（）A.$r(A)=r(A,b)$B.$A$为方阵且$|A|\neq0$C.$r(A)=n$（$n$为未知数个数）D.$r(A)=r(A,b)=n$设$A$为$m\timesn$矩阵，$B$为$n\timesm$矩阵，且$m>n$，则（）A.$|AB|\neq0$B.$|BA|=0$C.$AB$可逆D.$BA$可逆（二）解答题（25分）设向量组$\alpha_1=(1,1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3=(1,-1,1,-1)^T$，$\alpha_4=(1,-1,-1,1)^T$。（1）求该向量组的秩及一个极大线性无关组；（2）将其余向量用该极大线性无关组线性表示；（3）判断该向量组是否为$\mathbb{R}^4$的一组基，并说明理由。已知线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3+x_4=0\x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\2x_1+3x_2+4x_3+5x_4=a\end{cases}$，其中$a$为常数。（1）当$a$为何值时，方程组有非零解？（2）当方程组有非零解时，求其通解（用基础解系表示）。三、矩阵的特征值与二次型（共40分）（一）计算题（每小题10分，共20分）设矩阵$A=\begin{pmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2\end{pmatrix}$，求：（1）$A$的特征值与特征向量；（2）正交矩阵$Q$，使得$Q^TAQ$为对角矩阵（要求$Q$的列向量组为标准正交基）。用正交变换法化二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$为标准形，并写出所用的正交变换矩阵。（二）证明题（20分）设$A$为$n$阶实对称矩阵，证明：（1）$A$的特征值全为实数；（2）$A$正定的充要条件是$A$的所有顺序主子式都大于0；（3）若$A$正定，则存在可逆矩阵$P$，使得$A=P^TP$。四、线性空间与线性变换（共40分）（一）综合题（20分）设$\mathbb{R}^3$中的两组基为：基$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(0,1,0)^T$，$\alpha_3=(0,0,1)^T$；基$\beta_1=(1,1,1)^T$，$\beta_2=(1,1,0)^T$，$\beta_3=(1,0,0)^T$。（1）求从基${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}$到基${\beta_1,\beta_2,\beta_3}$的过渡矩阵$P$；（2）设向量$\xi$在基${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}$下的坐标为$(1,2,3)^T$，求$\xi$在基${\beta_1,\beta_2,\beta_3}$下的坐标；（3）设线性变换$T$在基${\beta_1,\beta_2,\beta_3}$下的矩阵为$A=\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$，求$T$在基${\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}$下的矩阵。（二）应用题（20分）设某公司有3个工厂$A_1,A_2,A_3$，生产2种产品$B_1,B_2$，其产量矩阵为$M=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}$（其中$a_{ij}$为工厂$A_i$生产产品$B_j$的数量），成本矩阵为$C=\begin{pmatrix}c_1&c_2\end{pmatrix}$（其中$c_j$为产品$B_j$的单位成本），售价矩阵为$P=\begin{pmatrix}p_1&p_2\end{pmatrix}$（其中$p_j$为产品$B_j$的单位售价）。（1）用矩阵乘法表示该公司的总成本向量和总收益向量；（2）若$M=\begin{pmatrix}100&200\150&250\120&180\end{pmatrix}$，$C=(5,8)$，$P=(10,15)$，求各工厂的利润（利润=收益-成本）；（3）若产品$B_1$的产量增加10%，$B_2$的产量减少5%，用矩阵变换表示新的产量矩阵，并计算此时公司的总利润变化率。五、拓展题（共20分）（1）用MATLAB软件计算矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\5&6&7&8\9&10&11&12\13&14&15&16\end{pmatrix}$的秩，并写出对应的代码（提示：使用rank函数）；（2