2025年线性代数易错题集锦试题

2025年线性代数易错题集锦试题一、行列式与矩阵运算1.行列式计算题目：设三阶行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}$，求其值。答案：0易错点分析：常见错误：直接按对角线法则展开计算，忽略行列式行（列）成比例的性质。正确思路：观察到行列式第2行与第1行的差为（3，3，3），第3行与第2行的差也为（3，3，3），即后两行元素对应成比例，根据行列式性质，此时行列式值为0。2.逆矩阵运算题目：设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。答案：$A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$易错点分析：常见错误：忘记逆矩阵公式中需除以行列式的值（即伴随矩阵乘以$\frac{1}{|A|}$）；伴随矩阵元素位置错误（应为$A_{ij}$的转置）。正确步骤：计算行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$；伴随矩阵$A^*=\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix}$；$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}$。二、线性方程组与向量组3.齐次线性方程组解的判定题目：齐次线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\x_1+tx_2+x_3=0\x_1+x_2+tx_3=0\end{cases}$只有零解，则$t$应满足什么条件？答案：$t\neq1$易错点分析：常见错误：误认为系数矩阵的秩等于未知数个数时仅有零解，但未正确计算行列式。正确思路：系数矩阵行列式$D=\begin{vmatrix}1&1&1\1&t&1\1&1&t\end{vmatrix}=(t-1)^2$，当$D\neq0$即$t\neq1$时，方程组仅有零解。4.向量组线性相关性题目：设$\alpha_1=(1,0,0)$，$\alpha_2=(1,1,0)$，$\alpha_3=(1,1,1)$，$\alpha_4=(2,3,4)$是四维列向量，则下列说法正确的是（）A.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$一定线性无关B.$\alpha_1$可由$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性表出C.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$一定线性相关D.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$一定线性无关答案：C易错点分析：常见错误：混淆向量维数与向量个数的关系，误认为“向量个数=维数则线性无关”。正确结论：向量组的线性相关性取决于“向量个数>维数”时必线性相关。本题中向量维数为3，个数为4，故$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$一定线性相关（选项C正确）。三、特征值与矩阵对角化5.特征值计算题目：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}4&2&1\2&4&2\1&2&4\end{bmatrix}$，求其特征值。答案：$\lambda_1=7$，$\lambda_2=3$（二重根）易错点分析：常见错误：展开特征多项式时计算错误，或忽略重根情况。正确步骤：特征多项式$|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-4&-2&-1\-2&\lambda-4&-2\-1&-2&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-7)(\lambda-3)^2$，故特征值为7，3，3。6.矩阵相似的性质题目：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2&3\0&x\end{bmatrix}$与$B=\begin{bmatrix}2&0\0&5\end{bmatrix}$相似，求$x$的值。答案：$x=5$易错点分析：常见错误：认为相似矩阵的对应元素相等，错解$x=0$。正确性质：相似矩阵的迹（主对角线元素之和）相等，即$2+x=2+5\Rightarrowx=5$。四、二次型与正定矩阵7.二次型正定性判定题目：二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3$正定，则$t$的取值范围是（）A.$-\frac{4}{5}<t<0$B.$-\frac{4}{5}<t<\frac{4}{5}$C.$0<t<\frac{4}{5}$D.$-\frac{4}{5}<t<-\frac{1}{5}$答案：A易错点分析：常见错误：未计算各阶顺序主子式，或混淆正定的充要条件（各阶顺序主子式均大于0）。正确计算：二次型矩阵$A=\begin{bmatrix}1&t&-1\t&1&2\-1&2&5\end{bmatrix}$，顺序主子式：$D_1=1>0$，$D_2=1-t^2>0\Rightarrow-1<t<1$，$D_3=|A|=-5t^2-4t>0\Rightarrow-\frac{4}{5}<t<0$，综上，$-\frac{4}{5}<t<0$（选项A正确）。五、综合应用题8.矩阵方程求解题目：设矩阵$B=\begin{bmatrix}1&2&3&4\0&2&1&3\0&0&1&-1\0&0&0&1\end{bmatrix}$，$C=\begin{bmatrix}1&-1&0&0\0&1&-1&0\0&0&2&1\0&0&0&2\end{bmatrix}$，且满足$X(C-B^T)=E$，求$X$。答案：$X=(C-B^T)^{-1}=\begin{bmatrix}1&1&1&1\0&1&1&2\0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\0&0&0&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$易错点分析：常见错误：未先计算$C-B^T$而直接求逆，或矩阵减法运算错误。正确步骤：计算$B^T=\begin{bmatrix}1&0&0&0\2&2&0&0\3&1&1&0\4&3&-1&1\end{bmatrix}$；$C-B^T=\begin{bmatrix}0&-1&0&0\-2&-1&-1&0\-3&0&1&1\-4&-3&1&1\end{bmatrix}$（此处需仔细核对元素位置）；求$(C-B^T)^{-1}$，通过初等行变换得$X=(C-B^T)^{-1}$（具体过程略）。六、高频易错公式与结论知识点易错公式/结论正确公式/结论行列式性质$kA逆矩阵运算$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$（错误）$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$矩阵相似与合同相似矩阵一定合同（错误）实对称矩阵相似必合同，反之未必二次型正定条件所有特征值非负（错误）所有特征值大于0（严格正定）通过以上易