2025年下学期高二数学复数代数形式的四则运算试题

2025年下学期高二数学复数代数形式的四则运算试题一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）已知复数(z)满足(z(1+i)=2i)（(i)为虚数单位），则(z)的虚部为（）A.1B.(i)C.-1D.-i复数(\frac{2-i}{1+2i})的虚部为（）A.(-1)B.(1)C.(-\frac{4}{5})D.(-\frac{3}{5})若复数(z)满足(|z-2i|=1)，则(|z|)的最大值为（）A.1B.2C.3D.4已知(z=(m^2-3m+2)+(m-1)i)（(m\in\mathbb{R})），若(z)为纯虚数，则(m)的值为（）A.1B.2C.1或2D.-1复数(z=\frac{1}{1+i}+i^3)在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限设(z_1=2+i)，(z_2=1-2i)，则(|z_1\cdotz_2|=)（）A.(\sqrt{5})B.5C.(5\sqrt{5})D.25欧拉公式(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta)被誉为“数学中的天桥”，若复数(z=e^{\frac{\pi}{3}i})，则(z^3=)（）A.1B.-1C.(i)D.-i若复数(z)的共轭复数(\overline{z})满足(\overline{z}(1+i)=2)，则(z=)（）A.(1+i)B.(1-i)C.(-1+i)D.(-1-i)已知(z_1=a+bi)，(z_2=c+di)（(a,b,c,d\in\mathbb{R})），则下列结论正确的是（）A.若(z_1=z_2)，则(a=c)且(b=d)B.(|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|)C.若(z_1)为虚数，则(z_1^2)也为虚数D.(|z_1\cdotz_2|=|z_1|\cdot|z_2|)复数(z)满足(z^2=-3+4i)，则(|z|=)（）A.(\sqrt{5})B.5C.(\sqrt{13})D.13二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得3分，错选或不选得0分）已知复数(z=1-i)，则下列结论正确的有（）A.(z)的共轭复数为(1+i)B.(|z|=\sqrt{2})C.(z^2=-2i)D.(z)在复平面内对应的点位于第四象限关于复数的四则运算，下列说法正确的有（）A.对任意复数(z_1,z_2)，有(z_1+z_2=z_2+z_1)B.对任意复数(z_1,z_2,z_3)，有((z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3))C.存在复数(z_1,z_2)，使得(|z_1-z_2|>|z_1|+|z_2|)D.对任意复数(z\neq0)，存在唯一复数(z^{-1})，使得(z\cdotz^{-1}=1)已知复数(z)满足(z+\overline{z}=4)，(z\cdot\overline{z}=5)，则下列结论正确的有（）A.(z=2+i)或(z=2-i)B.(|z|=\sqrt{5})C.(z-\overline{z}=\pm2i)D.(z^2=3+4i)设(z_1,z_2)为复数，则下列命题正确的有（）A.若(|z_1|=|z_2|)，则(z_1^2=z_2^2)B.若(z_1\cdot\overline{z_2}=0)，则(z_1=0)或(z_2=0)C.若(z_1^2+z_2^2=0)，则(z_1=z_2=0)D.若(|z_1+z_2|=|z_1-z_2|)，则(z_1\cdot\overline{z_2})为纯虚数三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）计算((1+i)^2+(1-i)^2=)__________．已知复数(z=\frac{m+2i}{1-i})（(m\in\mathbb{R})）为实数，则(m=)__________．若复数(z)满足(z(2-i)=5)，则(z)的共轭复数(\overline{z}=)__________．已知复向量(\overrightarrow{a}=(z_1,z_2))，(\overrightarrow{b}=(z_3,z_4))（其中(z_1,z_2,z_3,z_4)为复数），定义运算(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=z_1z_3+z_2z_4)，若(\overrightarrow{a}=(1+i,2-i))，(\overrightarrow{b}=(i,1-i))，则(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=)__________．四、解答题（本大题共6小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（10分）计算下列各式：（1）(\frac{2+i}{1-i}+(1+2i)^2)；（2）(\frac{(1-i)^3}{1+i})．（10分）已知复数(z=(m^2-4m+3)+(m^2-m)i)（(m\in\mathbb{R})）．（1）若(z)为实数，求(m)的值；（2）若(z)在复平面内对应的点位于第二象限，求(m)的取值范围．（10分）已知复数(z_1=3+4i)，(z_2=t+i)（(t\in\mathbb{R})），且(z_1\cdot\overline{z_2})为实数．（1）求(t)的值；（2）求(|z_1+z_2|)．（10分）已知(z)是虚数，且(z+\frac{1}{z})为实数．（1）求证：(|z|=1)；（2）若(z^2+z+1=0)，求(z^{2025})的值．（10分）在复平面内，点(A,B,C)对应的复数分别为(z_A=1+i)，(z_B=2-i)，(z_C=3+2i)．（1）求向量(\overrightarrow{AB})和(\overrightarrow{AC})对应的复数；（2）若四边形(ABCD)为平行四边形，求点(D