2025年下学期高二数学函数的极值与最值试题

2025年下学期高二数学函数的极值与最值试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）下列函数中存在极值点的是（）A.(f(x)=x^3)B.(f(x)=\lnx)C.(f(x)=e^x)D.(f(x)=x^2-2x)函数(f(x)=x^3-3x^2+2)的极大值点为（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)若函数(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)处取得极大值，在(x=3)处取得极小值，则（）A.(a=-3),(b=-9)B.(a=-3),(b=9)C.(a=3),(b=-9)D.(a=3),(b=9)函数(f(x)=xe^{-x})在区间([0,2])上的最大值为（）A.(0)B.(e^{-1})C.(2e^{-2})D.(e^{-2})已知函数(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+mx+1)在区间([1,2])上单调递减，则实数(m)的取值范围是（）A.(m\leq0)B.(m\geq0)C.(m\leq-1)D.(m\geq-1)函数(f(x)=\sinx+\cosx)在区间([0,\frac{\pi}{2}])上的最小值为（）A.(-1)B.(0)C.(1)D.(\sqrt{2})若函数(f(x)=x^3-3ax+2)在区间((1,+\infty))内有极小值，则实数(a)的取值范围是（）A.(a>0)B.(a>1)C.(0<a<1)D.(a<1)函数(f(x)=\lnx-x)的最大值为（）A.(-1)B.(0)C.(1)D.不存在已知函数(f(x)=x^2-2x+a\lnx)有两个极值点，则实数(a)的取值范围是（）A.(a<1)B.(a>1)C.(0<a<1)D.(a\leq0)若不等式(x^3-3x+m\geq0)在区间([-2,2])上恒成立，则实数(m)的最小值为（）A.(-2)B.(0)C.(2)D.(4)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）函数(f(x)=x^3-3x)的极小值为________。函数(f(x)=e^x-x-1)在区间([-1,1])上的最大值为________。若函数(f(x)=\frac{1}{2}x^2-\lnx)在区间([a,a+1])上单调递增，则(a)的取值范围是________。已知函数(f(x)=x^3+bx^2+cx+d)的图象过点((0,2))，且在(x=-1)处的切线方程为(6x-y+7=0)，则(b=)，(c=)，(d=)________。函数(f(x)=x^2-4x+3)在区间([t,t+2])上的最小值为(g(t))，则(g(t)=)________。三、解答题（本大题共6小题，共75分）（12分）求函数(f(x)=x^3-3x^2-9x+5)的极值。解析：(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1))令(f'(x)=0)，得(x=-1)或(x=3)。当(x<-1)时，(f'(x)>0)，函数单调递增；当(-1<x<3)时，(f'(x)<0)，函数单调递减；当(x>3)时，(f'(x)>0)，函数单调递增。因此，(f(x))在(x=-1)处取得极大值(f(-1)=10)，在(x=3)处取得极小值(f(3)=-22)。（12分）已知函数(f(x)=xe^x-a(x+1)^2)有两个极值点，求实数(a)的取值范围。解析：(f'(x)=e^x+xe^x-2a(x+1)=(x+1)(e^x-2a))令(f'(x)=0)，得(x=-1)或(e^x=2a)。若(a\leq0)，则(e^x=2a)无解，此时(f(x))仅有一个极值点(x=-1)，不符合题意；若(a>0)，则(x=\ln(2a))。当(\ln(2a)\neq-1)，即(a\neq\frac{1}{2e})时，(f(x))有两个极值点。综上，(a>0)且(a\neq\frac{1}{2e})。（13分）已知函数(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}mx^2+4x-3)在区间([1,2])上的最大值为(\frac{10}{3})，求实数(m)的值。解析：(f'(x)=x^2-mx+4)若(f'(x)\geq0)在([1,2])上恒成立，则(m\leqx+\frac{4}{x})。由于(x+\frac{4}{x}\geq4)（当(x=2)时取等号），则(m\leq4)，此时(f(x))在([1,2])上单调递增，最大值为(f(2)=\frac{8}{3}-2m+8-3=\frac{20}{3}-2m=\frac{10}{3})，解得(m=\frac{5}{3})，符合题意；若(f'(x))在([1,2])内有零点，则需分类讨论极值点与区间的关系，此处略。综上，(m=\frac{5}{3})。（12分）已知函数(f(x)=\lnx+\frac{a}{x})，若对任意(x\in(0,+\infty))，都有(f(x)\geq1)，求实数(a)的取值范围。解析：由(f(x)\geq1)，得(a\geqx(1-\lnx))。令(g(x)=x(1-\lnx))，则(g'(x)=-\lnx)。当(x\in(0,1))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增；当(x\in(1,+\infty))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减。因此，(g(x))的最大值为(g(1)=1)，故(a\geq1)。（13分）已知函数(f(x)=x^3-3x^2+3x+1)，求其在区间([-1,3])上的最值。解析：(f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0)，因此(f(x))在([-1,3])上单调递增。最小值为(f(-1)=-6)，最大值为(f(3)=10)。（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量(x)（吨）与每吨产品的价格(p)（元/吨）之间的关系为(p=24200-\frac{1}{5}x^2)，且生产(x)吨的成本为(C=50000+200x)元。问每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解析：利润函数(L(x)=xp-C=x(24200-\frac{1}{5}x^2)-(50000+200x)=-\frac{1}{5}x^3+24000x-50000)(L'(x)=-\frac{3}{5}x^2+24000)，令(L'(x)=0)，得(x=200)（负值舍去）。当(x=200)时，(L(x))取得最大值(L(200)=3150000)元。因此，每月生产200吨时利润最大，最大利润为315万元。四、附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）已知函数(f(x)=e^x-ax^2-bx-1)，若(f(1)=0)，且(f(x))在区间((0,1))内有零点，求(a)的取值范围。设函数(f(x)=\lnx+\frac{k}{x})（(k\in\mathbb{R})），若对任意两个不相等的正数(x_1,x_2)，都有(\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>2)恒成立，求(k)的取值范围。参考答案1-5:DABBA6-10:CBACC11.-212.(e-2)1