2025年下学期高二数学逻辑推理能力测试题（二）

2025年下学期高二数学逻辑推理能力测试题（二）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）已知命题(p:\existsx\in\mathbb{R},x^2-2x+3\leq0)，则命题(\negp)为（）A.(\forallx\in\mathbb{R},x^2-2x+3>0)B.(\forallx\in\mathbb{R},x^2-2x+3\geq0)C.(\existsx\in\mathbb{R},x^2-2x+3>0)D.(\existsx\in\mathbb{R},x^2-2x+3\geq0)设(a,b\in\mathbb{R})，则“(a^3>b^3)”是“(a>b)”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件某超市为促销设计了“满减券”活动：单日消费满200元减20元，满400元减50元，满600元减90元，满800元减140元。若顾客甲在该超市单日消费了750元，实际支付金额为（）A.610元B.660元C.700元D.730元已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|x^2-ax+a-1=0})，若(A\cupB=A)，则实数(a)的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2若数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)（(n\in\mathbb{N}^*)），则(a_5)的值为（）A.15B.31C.63D.127某班级有50名学生，其中30人参加数学竞赛，25人参加物理竞赛，15人同时参加数学和物理竞赛，则该班级参加竞赛的学生人数为（）A.40B.45C.50D.55已知函数(f(x)=\log_2(x+1))，若(f(a)=3)，则(a)的值为（）A.7B.8C.9D.10若(\alpha)为锐角，且(\sin\alpha=\frac{3}{5})，则(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4}))的值为（）A.(\frac{\sqrt{2}}{10})B.(\frac{7\sqrt{2}}{10})C.(-\frac{\sqrt{2}}{10})D.(-\frac{7\sqrt{2}}{10})某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.12cm³B.18cm³C.24cm³D.36cm³已知直线(l_1:ax+2y+6=0)与直线(l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0)平行，则实数(a)的值为（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）已知命题“若(x>2)，则(x^2>4)”的逆否命题为________。若函数(f(x)=x^2+2ax+3)在区间([-1,2])上的最小值为4，则实数(a)的值为________。某学校高二年级有A、B、C三个班，各班人数分别为40人、45人、50人。现从三个班中抽取一个容量为27人的样本，若采用分层抽样的方法，则从B班抽取的人数为________。已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec{b}=(m,1))，若(\vec{a}\perp\vec{b})，则(m)的值为________。若关于(x)的不等式(x^2-ax+1>0)对任意(x\in\mathbb{R})恒成立，则实数(a)的取值范围为________。三、解答题（本大题共5小题，共70分）（12分）已知集合(A={x|x^2-4x+3<0})，(B={x|2x-3>0})，求(A\capB)和(A\cupB)。（14分）已知函数(f(x)=x^3-3x^2+2x)，求：（1）函数(f(x))的单调区间；（2）函数(f(x))在区间([-1,2])上的最大值和最小值。（14分）某工厂生产A、B两种产品，已知生产1件A产品需要3小时，生产1件B产品需要2小时，且每天生产时间不超过12小时。A产品每件利润为50元，B产品每件利润为30元。若每天生产A、B两种产品的数量分别为(x)件和(y)件，求该工厂每天的最大利润。（15分）已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求数列({a_n})的通项公式；（2）若数列({b_n})满足(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}})，求数列({b_n})的前(n)项和(T_n)。（15分）已知函数(f(x)=x^2-2ax+3)（(a\in\mathbb{R})）。（1）若函数(f(x))在区间([1,+\infty))上单调递增，求实数(a)的取值范围；（2）若函数(f(x))在区间([-1,1])上的最小值为(g(a))，求(g(a))的表达式。四、附加题（本大题共2小题，共30分）（15分）已知(a,b,c)均为正实数，且(a+b+c=1)，求证：(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9)。（15分）某学校组织学生参加社会实践活动，现有甲、乙、丙三个地点可供选择，每个地点至少有1名学生参加，且每个学生只能选择一个地点。若有5名学生参加该活动，求不同的分配方案共有多少种？参考答案一、单项选择题A2.C3.A4.C5.B6.A7.A8.A9.B10.A二、填空题若(x^2\leq4)，则(x\leq2)(-\frac{1}{2})或(\sqrt{2})9-2((-2,2))三、解答题解：由(x^2-4x+3<0)，得(1<x<3)，所以(A=(1,3))。由(2x-3>0)，得(x>\frac{3}{2})，所以(B=(\frac{3}{2},+\infty))。因此，(A\capB=(\frac{3}{2},3))，(A\cupB=(1,+\infty))。解：（1）(f'(x)=3x^2-6x+2)，令(f'(x)=0)，得(x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3})。当(x<1-\frac{\sqrt{3}}{3})或(x>1+\frac{\sqrt{3}}{3})时，(f'(x)>0)，函数(f(x))单调递增；当(1-\frac{\sqrt{3}}{3}<x<1+\frac{\sqrt{3}}{3})时，(f'(x)<0)，函数(f(x))单调递减。所以函数(f(x))的单调递增区间为((-\infty,1-\frac{\sqrt{3}}{3}))和((1+\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty))，单调递减区间为((1-\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3}))。（2）计算函数在区间端点和极值点处的值：(f(-1)=-1-3-2=-6)，(f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9})，(f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9})，(f(2)=8-12+4=0)。所以函数(f(x))在区间([-1,2])上的最大值为(0)，最小值为(-6)。解：由题意得(3x+2y\leq12)（(x,y\in\mathbb{N})），目标函数为(z=50x+30y)。作出可行域，当(x=2)，(y=3)时，(z)取得最大值，(z_{\text{max}}=50\times2+30\times3=190)元。解：（1）设等差数列({a_n})的公差为(d)，则(\begin{cases}a_1+d=5\5a_1+\frac{5\times4}{2}d=35\end{cases})，解得(\begin{cases}a_1=3\d=2\end{cases})，所以(a_n=2n+1)。（2）(b_n=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}))，所以(T_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})=\frac{n}{3(2n+3)})。解：（1）函数(f(x))的对称轴为(x=a)，由题意得(a\leq1)，所以实数(a)的取值范围为((-\infty,1])。（2）当(a<-1)时，(g(a)=f(-1)=4+2a)；当(-1\leqa\leq1)时，(g(a)=f(a)=3-a^2)；当(a>1)时，(g(a)=f(1)=4-2a)。综上，(g(a)=\begin{cases}4+2a,a<-1\3-a^2,-1\leqa\leq1\4-2a,a>1\end{cases})。四、附加题证明：(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\geq3+2+2+2=9)，当且仅当(a=b=