2025年下学期高二数学排列与组合应用试题

2025年下学期高二数学排列与组合应用试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）从5个不同元素中取出3个元素的组合数是（）A.60B.20C.10D.5若(C_{n}^2=10)，则(n)的值为（）A.4B.5C.6D.7把4个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放1个球，有（）种放法A.3B.4C.5D.6从1，2，3，4，5，6这6个数中任取3个数，其和为偶数的取法有（）种A.8B.10C.12D.20用0，1，2，3这4个数字组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数是（）A.8B.10C.12D.14从(n)个不同元素中取出(r)个元素的排列数(A_{n}^r)与组合数(C_{n}^r)的关系是（）A.(A_{n}^r=C_{n}^r)B.(A_{n}^r=r!C_{n}^r)C.(C_{n}^r=r!A_{n}^r)D.(A_{n}^r=\frac{C_{n}^r}{r!})某班有50名学生，要从中选出5名学生代表，不同的选法有（）种A.(C_{50}^5)B.(A_{50}^5)C.(50^5)D.(5^50)用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）个A.30B.32C.36D.405名同学排成一排，甲不站排头，乙不站两端，则不同的排列种数为（）A.54种B.48种C.36种D.42种高二（1）班5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）A.42B.30C.21D.15二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有______种排法。两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有_______种。将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有____________种。某停车场有一整排11个空车位。甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有______种不同的停放方式。人的身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有__________种排法。用1，2，3，4，5，6这六个数字，能组成_________个没有重复数字的五位数。三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）计算下列各题：（1）(A_{8}^{3}+C_{7}^{3})（2）(C_{n+1}^{n-1}=21)，求(n)的值（12分）4件不同的礼品，按以下各种情况，各有几种分法？（1）平均分成两堆；（2）平分给两人；（3）分成两堆，一堆3件，一堆1件；（4）分给两人，一人3件，一人1件。（12分）一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单。（1）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（2）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？（12分）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，求下列情况的放法种数：（1）没有空盒子的方法共有多少种？（2）恰有1个盒子不放球的方法共有多少种？（3）没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有多少种？（12分）已知安排3名男生和2名女生参加A，B，C三项不同的公益活动，每人只能参加1项公益活动，每项公益活动至少有1人参加。（1）求不同安排方案的种数；（2）若每项活动都必须安排1名男生，求不同安排方案的种数；（3）若公益活动A需要1人，公益活动B和C都需要2人，求不同安排方案的种数。（12分）有6名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答。（1）从中选出3名男生和2名女生排成一列；（2）全体站成一排，男生互不相邻；（3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；（4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起。四、综合应用题（本大题共2小题，共20分）（10分）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有多少种？（10分）为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请A、B、C、D、E五位党的二十大代表分别到一中、五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加。若其中A、B因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲。则不同的选派方案共有多少种？五、拓展探究题（本大题共1小题，共10分）对于函数(f(x))，若关于(x)的方程(f(x)=k)（(k\in\mathbb{R})）恰有(m)个实数根，则称函数(f(x))为"m根函数"。已知函数(f(x))同时满足以下两个条件：①函数的定义域为({1,2,3,4})且(f(x)\in{1,2,3,4})；②函数(f(x))是"2根函数"，也是"3根函数"。那么同时满足条件①②的函数共有多少个？参考答案及解析一、单项选择题C解析：(C_{5}^{3}=\frac{5!}{3!2!}=10)B解析：(C_{n}^{2}=\frac{n(n-1)}{2}=10)，解得(n=5)A解析：采用隔板法，4个相同球中间有3个空，插入2个隔板分成3组，(C_{3}^{2}=3)B解析：分两类：3个偶数或1偶2奇，(C_{3}^{3}+C_{3}^{1}C_{3}^{2}=1+9=10)B解析：分两类：0在个位和2在个位，(A_{3}^{2}+2\times2=6+4=10)B解析：排列数与组合数关系为(A_{n}^{r}=r!C_{n}^{r})A解析：从50名学生中选5名代表，不考虑顺序，是组合问题B解析：分两类：0在个位和2、4在个位，(A_{4}^{2}+2\times3\times3=12+18=30)D解析：分两类：甲在两端和甲在中间，(2\timesA_{3}^{1}A_{3}^{3}+3\timesA_{3}^{1}A_{3}^{3}=36+6=42)A解析：采用插空法，原来5人有6个空，插入2人，(A_{6}^{2}+6=42)二、填空题32解析：先排甲在中间，剩余6人分左右各3人，(C_{6}^{3}=20)，每边3人身高有序，所以共20种30解析：分两步：先分图画书(A_{3}^{2}=6)，再分音乐书(2^{2}+2=6)，共(6\times5=30)6解析：先分组(C_{3}^{2}=3)，再分配(A_{2}^{2}=2)，共(3\times2=6)20解析：先排空车位，再插入车辆，(C_{8}^{3}\times2=56\div2=28)（注：原答案可能有误，正确应为28）252解析：从10人中选5人排前排，后排随之确定，(C_{10}^{5}=252)600解析：首位有5种选择，其余四位全排列，(5\timesA_{5}^{4}=5\times120=600)三、解答题解：（1）(A_{8}^{3}+C_{7}^{3}=8\times7\times6+\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=336+35=371)（2）(C_{n+1}^{n-1}=C_{n+1}^{2}=\frac{(n+1)n}{2}=21)，解得(n=6)解：（1）平均分成两堆：(\frac{C_{4}^{2}}{2}=3)种（2）平分给两人：(C_{4}^{2}=6)种（3）分成两堆，一堆3件，一堆1件：(C_{4}^{3}=4)种（4）分给两人，一人3件，一人1件：(C_{4}^{3}\timesA_{2}^{2}=8)种解：（1）先排首尾两个唱歌节目：(A_{3}^{2}=6)，再排中间3个节目：(A_{3}^{3}=6)，共(6\times6=36)种（2）间接法：总排法-前3个无相声，(A_{5}^{5}-A_{3}^{3}A_{2}^{2}=120-12=108)种解：（1）没有空盒子：全排列(A_{4}^{4}=24)种（2）恰有1个盒子不放球：(C_{4}^{1}\times(2^{4}-2)=4\times14=56)种（3）恰好一个对号入座：(C_{4}^{1}\times2=8)种解：（1）总安排方案：(3^{5}-3\times2^{5}+3\times1^{5}=243-96+3=150)种（间接法）（2）每项活动1名男生：先分男生(A_{3}^{3}=6)，再分女生(3^{2}=9)，共(6\times9=54)种（3）按人数分配：先选A活动1人(C_{5}^{1}=5)，再选B活动2人(C_{4}^{2}=6)，共(5\times6=30)种解：（1）选3男2女排列：(C_{6}^{3}C_{4}^{2}A_{5}^{5}=20\times6\times120=14400)种（2）男生互不相邻：先排女生(A_{4}^{4}=24)，再插男生(A_{5}^{6}=720)，共(24\times720=17280)种（3）甲不站两端：(A_{8}^{1}A_{8}^{8}=8\times40320=322560)种（4）甲乙必须站一起：(A_{2}^{2}A_{9}^{9}=2\times362880=725760)种四、综合应用题解：先分语文老师(A_{2}^{2}=2)，再分数学老师(C_{3}^{1}C_{2}^{2}=3)，后分体育老师(C_{3}^{1}C_{2}^{2}=3)，最后分配到两个村(2\times3\times3\times2=36)种，答案：36种解：分两类：蒙中1人和蒙中2人，(C_{3}^{1}\times[C_{4}^{2}A_{3}^{3}+C_{4}^{1}A_{3}^{2}]=3\times[36+24]=180)种，答案：180种五、拓展探究题解：函数定义域和值域都是{1,2,3,4}，既是"2根函数"也是"3根函数"，说明方程f(x)=k有2个根和3个根的情况都存在，即函数值域大小为2或3。当值域大小为2时，有(C_{4}^{2}(2^{4}-2)=6\times14=84)；当值域大小为3时，有(C_{4}^