《概率论与数理统计》（第3版）课件 第2章 随机变量及其分布

概率论与数理统计（第三版）12第二章随机变量及其分布2.1随机变量2.2随机变量的分布函数2.3离散型随机变量2.4连续型随机变量2.5随机变量函数的分布3§2.1随机变量2.1随机变量4一般而言，试验结果会因随机试验的不同而不同,这给随机现象的进一步研究带来了不便.为了更加深入地研究随机现象，本章由随机试验的一般特点引出随机变量的概念，并讨论其统计规律的表达，即随机变量的分布.

研究随机现象时，可以建立由样本空间到实数的映射，以映射的不同取值表示随机试验的不同结果．事实上这样的映射总是可以建立的，这是因为很多随机试验的结果本身就与数有关，即便试验的结果与数无关，也可以通过定义的方式建立试验结果与数量之间的对应．5例2.1.1将一枚质地均匀的硬币抛三次，观察正、反面出现的情况，令X表示试验中正面出现的次数，则X确定了试验结果与实数之间如下的对应关系：

“正正正”对应3；“正正反”“正反正”“反正正”对应2；“正反反”“反正反”“反反正”对应1；“反反反”对应0.此时，X的所有可能取值为0,1,2,3.如果只关心试验中是否出现了“三次同面”，可以引入映射Y，规定：若试验结果为“三次同面”，则Y取1；若试验结果为“三次非同面”，则Y取0.这样，Y的所有可能取值为0,1.定义2.1.1定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量.随机变量一般用大写英文字母X,Y,Z等表示，而以小写英文字母x,y,z等表示实数.一般地，设L是一些实数构成的集合，将X在L上取值记为{X∈L},它表示事件{e|X(e)∈L，e∈S}，即由S中使得X(e)∈L的样本点e构成的集合，因此进而有6例2.1.2(续例2.1.1)求解结合X的可能取值可知结合X,Y的可能取值易见，{X<Y}等价于{X=0}且{Y=1}，而仅在样本点“反反反”上两个随机变量才这样取值，故7谢谢！8中国人民大学出版社概率论与数理统计（第三版）9刘强郭文英孙阳陈江荣10第二章随机变量及其分布2.1随机变量2.2随机变量的分布函数2.3离散型随机变量2.4连续型随机变量2.5随机变量函数的分布11§2.2随机变量的分布函数2.2随机变量的分布函数4定义2.2.1设X是一个随机变量，x是任意实数，函数称为随机变量X的分布函数．若随机变量X的分布函数为F(x)，则对任意实数a,b(a<b)，有分布函数有以下性质:(1)对任意的实数X，，且5(2)F(x)是单调不减函数；

(3)F(x)是右连续的，即F(x+0)=F(x).证只证（2）.对任意实数x1,

x2

(x1<x2)故F(x)单调不减.任意满足上述三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数，因此，满足这三个性质的函数通常称为分布函数.例2.2.1设随机变量X的分布函数为F(x)，(1)证明(2)求(1)证任取单调递增且以a为极限的数列{an},有从而(2)由(1)有由于F(x)单调有界，故16例2.2.2将两枚质地均匀的硬币各抛一次，以X表示正面出现的次数,求X的分布函数.解

X的可能取值为0,1,2.为不可能事件，有当x<0时，由当0≤x<1时,当1≤x<2时,当x≥2时,所以随机变量X的分布函数为17例2.2.3设有边长为1的正方体无盖容器，内部装有3/4的液体，4个侧面及底部随机地出现一个漏洞，液体从漏洞漏出，以X表示液面最后的高度，求X的分布函数F(x).解依题意，随机变量X可能的取值范围是当x<0时，当0≤x<3/4时，当x≥3/4时，所以随机变量X的分布函数为谢谢！18中国人民大学出版社概率论与数理统计（第三版）19刘强郭文英孙阳陈江荣20第二章随机变量及其分布2.1随机变量2.2随机变量的分布函数2.3离散型随机变量2.4连续型随机变量2.5随机变量函数的分布21§2.3离散型随机变量2.3离散型随机变量42.3.1离散型随机变量及其分布律定义2.3.1若随机变量的全部可能取值为有限个或可列无限个，则称其为离散型随机变量.设离散型随机变量X的全部可能取值为

，并且X

取xi

的概率为pi

，则称表达式X的分布律.分布律也可以表示为为离散型随机变量5随机变量X的分布律具有如下基本性质:(1)(2)证

(1)显然成立.(2)由随机变量的定义及概率的可列可加性有例2.3.1设随机变量X的分布律如下，其中a未知，求a的值.解由分布律的性质有解得

67例2.3.2已知随机变量X的分布律为求：(1)X的分布函数F(x)；(2)

解

(1)由分布函数的定义，有:当时，当时，当时，当x≥3时,故X的分布函数为(2)26一般地，设离散型随机变量X的分布函数为F(x)，分布律为则对任意的x∈R，有272.3.2常见分布1、0-1分布若随机变量X的分布律为其中0<p<1为常数,则称X服从参数为p的0-1分布,记为.2.二项分布若随机变量X的分布律为其中0<p<1为常数,则称X服从参数为n,p的二项分布，记为若，则当时，X=k的概率最大.28例2.3.3一批商品共200件，该商品在运输过程中包装损坏的概率是0.05，当包装损坏时商品损坏的概率是0.3，且运输过程中商品的包装损坏与否相互独立.求：(1)包装损坏的商品件数不大于2的概率；(2)若包装损坏的商品恰有5件，求商品损坏的件数为2的概率.解

(1)记200件商品中包装损坏的件数为X，则X~b(200,0.05)，即因此故包装损坏的商品件数不大于2的概率为0.002336.29(2)记损坏的商品件数为Y,当包装损坏的商品为5件时Y~b(5,0.3),即从而故商品损坏的件数为2的概率为0.3087.303.泊松分布若随机变量X的分布律为其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记X~π(λ).

若X~π(λ)，则当时，X=k的概率最大.31例2.3.4资料表明，某种商品每月的销售量(单位：件)X~π(5)，问月初至少应保持多大库存才能使当月不脱销的概率在0.9以上？

解设月初保持n件库存.由有因此由附表Ⅱ查得n≥8，即月初至少应保持8件库存才能使当月不脱销的概率在0.9以上.32定理2.3.1(泊松定理)设随机变量Xn~b(n,pn

)(n=1,2,…)，又设npn=λ>0是常数，则有证由于Xn~b(n,pn

)及npn=λ，因而对于任意正整数k，有谢谢！33中国人民大学出版社概率论与数理统计（第三版）34刘强郭文英孙阳陈江荣35第二章随机变量及其分布2.1随机变量2.2随机变量的分布函数2.3离散型随机变量2.4连续型随机变量2.5随机变量函数的分布36§2.4连续型随机变量2.3离散型随机变量42.4.1连续型随机变量的定义及性质定义2.4.1对于随机变量X的分布函数F(x)，若存在非负可积函数f(x)，使对任意实数x都有则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度.若X为连续型随机变量，则X取任意单点值的概率为零.5概率密度f(x)具有如下性质：(1)对任意实数x，有f(x)≥0；(2)；(3)对于任意实数，有(4)设X的分布函数为F(x)，则在f(x)的连续点处，有6例2.4.1设连续型随机变量X的分布函数为其中的a,b,c,d为未知常数.求:(1)a,b,c,d的值;(2)X的概率密度f(x).解(1)由分布函数的性质有再由X分布函数F(x)为连续函数，有可解得c=1/2，d=1/2.7

(2)当x<-1或x≥1时，F'(x)=0，当-1≤x<1时，可得41例2.4.2设随机变量X的概率密度为求：(1)；(2)

X的分布函数F(x).解

(1)依题意有(2)由分布函数的定义，有：

当x<0时，当0≤x<1时，42当1≤x<2时，当x≥2时，故X的分布函数为432.4.2常见分布1.均匀分布若随机变量X的概率密度为则称X服从区间(a,b)内的均匀分布,记为X~U(a,b)均匀分布的分布函数为442.指数分布

若随机变量X的概率密度为其中θ>0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布，记为指数分布的分布函数为45指数分布具有如下性质：对于任意的s,t>0，有证这个性质称为指数分布的无记忆性.46例2.4.3设随机变量X服从参数为1的指数分布，a为正常数，求解由指数分布的无记忆性，有473.正态分布若随机变量X的概率密度为其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X

服从参数为μ,σ的正态分布或高斯分布，记为正态分布

的概率密度f(x)具有如下性质:(1)关于x=μ对称，当x=μ时，f(x)取得最大值(2)概率密度f(x)以x轴为渐近线.48对于正态分布

，当固定μ时，σ的值越大，f(x)的最大值越小，曲线的形状因此变得宽且平，反之曲线的形状则变得窄且尖，称σ为形状参数.当固定σ且改变μ时，曲线的形状不变，但位置发生平移，称μ为位置参数.49正态分布的分布函数为参数μ=0,σ=1的正态分布称为标准正态分布，其概率密度为分布函数为分布函数Φ(x)满足：对任意实数x，50定理2.4.1若随机变量

，令

，则

证记随机变量Y的分布函数为FY(y)，则令

，有即随机变量Y~N(0,1).若随机变量

，则对于任意实数a，有51例2.4.4设随机变量X~N(3,22)，求P{-3≤X≤5}，.解52当随机变量

时，有正态分布的这个特点称为3σ原则.53设X~N(0,1)，若zα满足则称点zα为标准正态分布的上α分位点.下面列出了几个常用的zα的值由标准正态分布的性质可知54例2.4.5设计公交车的车门时，要求男性与门框上边缘碰头的可能性要小于0.01.设男性的身高(单位:cm)X~N(175,52)，问车门的高度最低应该是多少?解设车门的高度为h，由题意有即查附表Ⅰ有Φ(2.33)≈0.99，从而解得故车门的高度最低应该为186.65cm.谢谢！55中国人民大学出版社概率论与数理统计（第三版）56刘强郭文英孙阳陈江荣57第二章随机变量及其分布2.1随机变量2.2随机变量的分布函数2.3离散型随机变量2.4连续型随机变量2.5随机变量函数的分布58§2.5随机变量函数的分布2.5随机变量函数的分布42.5.1离散型随机变量函数的分布例2.5.1设随机变量X的分布律如下，求随机变量2X+1，X2的分布律.解2X+1的可能取值为-1,1,3，并且故2X+1的分布律为5X2的可能取值为0,1，并且故X2的分布律为.一般地，设随机变量X的分布律为若随机变量Y=g(X)，则Y的分布律为62.5.2连续型随机变量函数的分布例2.5.2设随机变量X~N(0,1)，令Y=X2，求Y的概率密度.解设随机变量X,Y的分布函数分别为FX(x),FY(y)，依题意，Y的取值范围为[0,∞)，故当y<0时，有当y≥0时，有因此Y的分布函数与概率密度为7例2.5.3设随机变量X的概率密度如下，求Y=1-|X|的概率密度.解