2025年下学期高二数学一元线性回归模型试题

2025年下学期高二数学一元线性回归模型试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）下列关于变量间关系的说法中，正确的是（）A.函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系B.商品销售额与广告费用之间只能用函数关系描述C.相关系数r的绝对值越接近0，两个变量的线性相关性越强D.回归直线方程必过所有样本点某研究小组调查了10名学生的每日学习时间（单位：小时）与数学成绩（单位：分），计算得相关系数r=0.85，则下列说法正确的是（）A.学习时间与数学成绩正相关，且相关性较弱B.学习时间与数学成绩负相关，且相关性较强C.学习时间与数学成绩正相关，且相关性较强D.学习时间与数学成绩负相关，且相关性较弱已知变量x与y的散点图如图所示，则x与y的相关关系为（）（注：散点图呈现从左下角到右上角的分布趋势）A.正线性相关B.负线性相关C.非线性相关D.无相关关系若回归直线方程为ŷ=0.5x+2，则下列结论正确的是（）A.x每增加1个单位，y平均增加2个单位B.x每增加1个单位，y平均增加0.5个单位C.回归直线必过点（0，0.5）D.当x=5时，y的实际值必为4.5某同学对一组数据（xi，yi）进行线性回归分析，得到回归直线方程ŷ=bx+a，若样本点的中心为（3，5），且b=2，则a的值为（）A.-1B.1C.2D.3在一元线性回归模型Y=bx+a+e中，随机误差e满足（）A.E(e)=0，D(e)=σ²（σ²为非零常数）B.E(e)=1，D(e)=σ²C.E(e)=0，D(e)随x变化D.E(e)=1，D(e)随x变化某地区近5年的居民人均收入（单位：万元）与恩格尔系数（单位：%）的统计数据如下表：|年份|2020|2021|2022|2023|2024||------|------|------|------|------|------||人均收入x|3.2|3.5|3.8|4.2|4.5||恩格尔系数y|38|36|34|32|30|根据表中数据，恩格尔系数y与人均收入x的相关关系为（）A.正线性相关B.负线性相关C.非线性相关D.无法判断已知回归直线方程为ŷ=-1.5x+10，若某样本点的残差为2，且该样本点的x值为4，则其实际y值为（）A.4B.6C.8D.10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）某班级学生的物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程为ŷ=0.6x+20，若某学生的数学成绩为100分，则其物理成绩的预测值为________分。已知一组样本数据（x1,y1），（x2,y2），…，（xn,yn），其样本点中心为（5，8），回归直线的斜率为1.2，则回归直线方程为________。某工厂生产的产品产量x（单位：千件）与生产成本y（单位：万元）的线性回归方程为ŷ=0.8x+2，当产量增加1千件时，生产成本平均增加________万元。对两个变量x和y进行线性相关检验，若相关系数r=-0.92，则这两个变量的线性相关性________（填“强”或“弱”）。三、解答题（本大题共4小题，共70分）（15分）某农场为研究施肥量x（单位：kg/亩）与水稻产量y（单位：kg/亩）的关系，收集了5组数据如下表：|施肥量x|10|15|20|25|30||---------|----|----|----|----|----||水稻产量y|400|450|500|550|600|（1）画出散点图，并判断x与y是否线性相关；（2）计算样本相关系数r，并根据r判断相关性强弱（参考：|r|≥0.75时相关性较强）；（3）求y关于x的回归直线方程。（20分）某电商平台统计了2024年1月至6月的月广告投入（单位：万元）与月销售额（单位：万元），数据如下表：|月份|1|2|3|4|5|6||------|----|----|----|----|----|----||广告投入x|2|3|4|5|6|7||销售额y|30|40|45|55|60|70|（1）求销售额y关于广告投入x的回归直线方程；（2）若2024年7月广告投入为8万元，预测该月销售额；（3）计算第3个月的残差（实际值-预测值）。（参考公式：(\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2})，(\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x})；参考数据：(\sum_{i=1}^{6}x_i=27)，(\sum_{i=1}^{6}y_i=300)，(\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=75)，(\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2=17.5)）（15分）某中学为研究学生身高x（单位：cm）与体重y（单位：kg）的关系，随机抽取10名学生，得到数据如下表：|身高x|160|165|170|175|180|162|168|172|178|182||-------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----||体重y|50|53|56|60|65|52|55|58|62|68|（1）画出散点图，直观判断x与y的线性相关性；（2）若x与y线性相关，求回归直线方程；（3）利用回归直线方程，预测身高为185cm的学生的体重。（20分）某环保部门监测了某城市2019-2024年的空气质量优良天数y（单位：天）与工业废气排放量x（单位：万吨），数据如下表：|年份|2019|2020|2021|2022|2023|2024||------|------|------|------|------|------|------||废气排放量x|100|90|80|70|60|50||优良天数y|180|200|220|240|260|280|（1）计算相关系数r，判断y与x的线性相关性（参考：|r|≥0.75时相关性较强）；（2）求优良天数y关于废气排放量x的回归直线方程；（3）若2025年该城市废气排放量控制在40万吨，预测优良天数，并说明回归系数的实际意义。（参考公式：(r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}})，(\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=-3000)，(\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2=1750)，(\sum_{i=1}^{6}(y_i-\bar{y})^2=5200)）参考答案及评分标准一、选择题A2.C3.A4.B5.A6.A7.B8.A二、填空题8010.ŷ=1.2x+211.0.812.强三、解答题（1）散点图略，x与y正线性相关；（2）r≈0.99，相关性较强；（3）ŷ=10x+300（1）ŷ=7.5x+15；（2）预测销售额为75万