2025年下学期高二数学周测（第八周）

2025年下学期高二数学周测（第八周）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）若$a>b>0$，则下列不等式一定成立的是（）A.$a^2>b^2$B.$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$C.$ac^2>bc^2$D.$a-c>b-c$已知$x>0$，$y>0$，且$x+2y=1$，则$xy$的最大值为（）A.$\frac{1}{8}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.1不等式$x^2-3x+2<0$的解集是（）A.$(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$B.$(1,2)$C.$(-\infty,1]$D.$[2,+\infty)$若关于$x$的不等式$ax^2+bx+c>0$的解集为$(-1,2)$，则关于$x$的不等式$cx^2+bx+a<0$的解集是（）A.$(-\infty,-1)\cup(\frac{1}{2},+\infty)$B.$(-1,\frac{1}{2})$C.$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(1,+\infty)$D.$(-\frac{1}{2},1)$已知变量$x$，$y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq2\0\leqy\leq3\end{cases}$，则目标函数$z=2x+y$的最大值为（）A.7B.8C.9D.10若$a$，$b\inR$，且$ab>0$，则下列不等式中，恒成立的是（）A.$a^2+b^2>2ab$B.$a+b\geq2\sqrt{ab}$C.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{2}{\sqrt{ab}}$D.$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2$设$x$，$y$为正数，则$(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})$的最小值为（）A.6B.9C.12D.15已知点$P(x,y)$在不等式组$\begin{cases}x-2\leq0\y-1\leq0\x+2y-2\geq0\end{cases}$表示的平面区域上运动，则$z=x-y$的取值范围是（）A.$[-2,-1]$B.$[-2,1]$C.$[-1,2]$D.$[1,2]$若关于$x$的不等式$x^2-ax+1\leq0$的解集为空集，则实数$a$的取值范围是（）A.$(-2,2)$B.$[-2,2]$C.$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$D.$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$某公司生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该公司在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨。那么该公司可获得最大利润是（）A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元设$a>0$，$b>0$，若$\sqrt{3}$是$3^a$与$3^b$的等比中项，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（）A.8B.4C.1D.$\frac{1}{4}$已知函数$f(x)=x+\frac{4}{x}$，$x\in[1,3]$，则函数$f(x)$的值域是（）A.$[4,5]$B.$[5,\frac{13}{3}]$C.$[4,\frac{13}{3}]$D.$[4,+\infty)$二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若$x>1$，则$x+\frac{1}{x-1}$的最小值为________。不等式$\frac{x-1}{x+2}\leq0$的解集是________。已知变量$x$，$y$满足约束条件$\begin{cases}x\geq1\x+y\leq3\y\geq1\end{cases}$，则$z=x-2y$的最小值为________。若关于$x$的不等式$ax^2+bx+2>0$的解集是$(-\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，则$a+b=$________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）解不等式：$|x-1|+|x+2|\geq5$。（本小题满分12分）已知$a$，$b$，$c$均为正数，且$a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9$。（本小题满分12分）已知函数$f(x)=x^2+ax+b(a,b\inR)$的值域为$[0,+\infty)$，若关于$x$的不等式$f(x)<c$的解集为$(m,m+6)$，求实数$c$的值。（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1件需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1件需消耗A原料2千克、B原料1千克。每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元。工厂在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过12千克，B原料不超过10千克。问：工厂每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能使利润总额最大？最大利润是多少？（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}$，$x\in[1,+\infty)$。（1）当$a=\frac{1}{2}$时，求函数$f(x)$的最小值；（2）若对任意$x\in[1,+\infty)$，$f(x)>0$恒成立，试求实数$a$的取值范围。（本小题满分12分）已知关于$x$的不等式$kx^2-2x+6k<0(k\neq0)$。（1）若不等式的解集是${x|x<-3或x>-2}$，求$k$的值；（2）若不等式的解集是$R$，求$k$的取值范围；（3）若不等式的解集为$\varnothing$，求$k$的取值范围。参考答案一、选择题A2.A3.B4.A5.C6.D7.B8.C9.A10.D11.B12.C二、填空题314.$(-2,1]$15.-316.-14三、解答题解：当$x<-2$时，不等式可化为$-(x-1)-(x+2)\geq5$，解得$x\leq-3$；当$-2\leqx\leq1$时，不等式可化为$-(x-1)+(x+2)\geq5$，即$3\geq5$，无解；当$x>1$时，不等式可化为$(x-1)+(x+2)\geq5$，解得$x\geq2$。综上，不等式的解集为$(-\infty,-3]\cup[2,+\infty)$。证明：因为$a$，$b$，$c$均为正数，且$a+b+c=1$，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}$。因为$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2$，$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\geq2$，$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\geq2$，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq3+2+2+2=9$，当且仅当$a=b=c=\frac{1}{3}$时等号成立。解：因为函数$f(x)=x^2+ax+b$的值域为$[0,+\infty)$，所以$\Delta=a^2-4b=0$，即$b=\frac{a^2}{4}$。所以$f(x)=x^2+ax+\frac{a^2}{4}=(x+\frac{a}{2})^2$。因为不等式$f(x)<c$的解集为$(m,m+6)$，所以方程$(x+\frac{a}{2})^2=c$的两根分别为$m$和$m+6$，即$x+\frac{a}{2}=\pm\sqrt{c}$，解得$x=-\frac{a}{2}\pm\sqrt{c}$。所以$(-\frac{a}{2}+\sqrt{c})-(-\frac{a}{2}-\sqrt{c})=2\sqrt{c}=6$，解得$c=9$。解：设每天生产甲产品$x$件，乙产品$y$件，利润总额为$z$元。根据题意，得$\begin{cases}x+2y\leq12\2x+y\leq10\x\geq0,y\geq0\x,y\inN\end{cases}$，目标函数$z=300x+400y$。作出可行域如图所示，由图可知，当直线$z=300x+400y$经过点$A(2,5)$时，$z$取得最大值，$z_{max}=300\times2+400\times5=600+2000=2600$。所以每天生产甲产品2件，乙产品5件时，利润总额最大，最大利润为2600元。解：（1）当$a=\frac{1}{2}$时，$f(x)=x+\frac{1}{2x}+2$，因为$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，所以$f(x){min}=f(1)=1+\frac{1}{2}+2=\frac{7}{2}$。（2）因为$f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}=x+\frac{a}{x}+2$，当$a\geq0$时，$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，$f(x){min}=f(1)=3+a>0$，所以$a\geq0$；当$a<0$时，$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，$f(x)_{min}=f(1)=3+a>0$，解得$a>-3$，所以$-3<a<0$。综上，实数$a$的取值范围是$(-3,+\infty)$。解：（1）因为不等式的解集是${x|x<-3或x>-2}$，所以$-3$和$-2$是方程$kx^2-2x+6k=0$的两根，所以$\begin{cases}-3+(-2)=\frac{2}{k}\-3\ti