《随机过程学习指导及习题解析》课件 第1章第5节随机过程的特征函数_第1页
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文档简介

随机过程的特征函数一、复习随机变量的特征函数二、随机过程的特征函数-------为何要讲随机变量的特征函数——由于随机变量的数字特征不一存在，所以，要引入。随机变量的特征函数，完美地刻画了随机变量。

一随机变量的特征函数定义2.1

设X为随机变量，称复随机变量eivX的数学期望为X的特征函数，记为，即由于对任意的实数v，总有|eivX|=1，所以对一切随机变量，其特征函数总是存在的。易见，若X为离散型随机变量，概率分布为

则其特征函数为若X为连续型随机变量，概率密度为f(x)，则其特征函数为61

设a,b为常数，则Y=aX+b的特征函数为

特征函数的基本性质2

若随机变量X与Y相互独立，则有

这由于X与Y相互独立，因此其函数eivX与eivY也相互独立，故由数学期望的性质知3

若随机变量X的n阶矩存在，则它的特征函数可微分n次，且当1≤k≤n时，有因为:若设X为连续型随机变量，其概率密度f(x)，则其特征函数为

因而特征函数的k(1≤k≤n)阶导数存在，且有当v=0时,即有

这样由此性质，若已知X的特征函数，就可通过微分运算方便地求出X的k阶矩：特别地，当k=1时，X的数学期望当k=2时,X的二阶矩为4

一维随机变量的分布函数

与其特征函数一一对应。

n维随机变量的特征函数定义2.6

称为其特征函数.

2

多维分布函数与其多维特征函数一一对应。（唯一性）。因此,可以借助特征函数来区别不同类型的随机变量.从而,我们讨论随机变量可从分布函数,数字特征与特征函数来开展随机变量的研究.2、

随机过程的特征函数

2.若X(t)为连续型随机变量，即具有一维概率密度函数f

(x,t)，则其一维特征函数为

1.定义：设有随机过程X(t)，对于每一个固定的t,X(t)为随机变量，依照随机变量的特征函数的定义，可知X(t)的一维特征函数为例

试求随机过程X(t)=X1+X2t的一维特征函数,其中X1与X2相互独立，且均服从正态分布。

解因X1与X2相互独立，且均服从正态分布

因此有例

设{Yn,n=0,1,2,…}为随机过程,

随机变量Xk,k=1,2,…相互独立，且均服从相同的两点分布，即其分布律为试利用特征函数求出Yn的一维概率分布.其中Y0=0,解：因为Yn的特征函数为而随机变量Xk,k=1,2,…相互独立，因此Xk的函数eivXk,k=1,2,…亦相互独立，再将此二项式展开对照得知:3.随机过程X(t)的n维特征函数定义

随机过程X(t)的一维，二维，…，n维特征函数的全体

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