2025年下学期高三数学一模考试仿真试题

2025年下学期高三数学一模考试仿真试题一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合与逻辑用语已知集合(A={x\mid\log_2(x-1)<2})，集合(B={x\midx^2-4x-12\leq0})，则(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B))等于（）A.((1,-2))B.((1,6))C.((1,2))D.((4,6))2.函数与导数某新能源汽车公司2025年1月销量为10万辆，由于技术升级，销量逐月递增，且每月增长率相同。若3月销量达到12.1万辆，设月增长率为(x)，则下列函数模型中能准确描述销量(y)（万辆）与月份(t)（1月记为(t=1)）关系的是（）A.(y=10(1+x)^t)B.(y=10(1+x)^{t-1})C.(y=10+10xt)D.(y=10\ln(1+xt))3.三角函数与解三角形我国古代数学典籍《海岛算经》中记载了“望海岛”问题：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？”（注：1步=6尺，1丈=10尺）。若将问题简化为如图所示的数学模型，其中海岛高度为(h)，两表间距为(d)，前表却行距离为(a)，后表却行距离为(b)，则岛高(h=\frac{cd}{b-a}+c)（(c)为表高）。若(c=3)丈，(d=1000)步，(a=123)步，(b=127)步，则海岛高度(h)为（）A.4里55步B.3里125步C.2里250步D.1里300步4.平面向量与复数已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(1,-2))，若((\vec{a}+\vec{b})\perp\vec{b})，则复数(z=m+2i)的模为（）A.(\sqrt{5})B.(2\sqrt{5})C.(5)D.(10)5.立体几何某快递公司为优化配送路线，需在一个棱长为6米的正方体仓库内放置一个圆柱形快递存储桶，要求圆柱的底面与正方体底面重合，且圆柱的侧面与正方体侧面相切。则该圆柱的体积最大值为（）A.(18\pi)立方米B.(24\pi)立方米C.(36\pi)立方米D.(54\pi)立方米6.概率统计某社区为了解居民对垃圾分类政策的支持度，随机抽取100户居民进行调查，得到如下列联表：支持不支持总计年轻人4010中老年人2030总计6040若用独立性检验的方法推断“支持度与年龄有关”，则在犯错误的概率不超过（）的前提下认为结论成立。（参考公式：(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，临界值：(\chi^2_{0.05}=3.841)，(\chi^2_{0.01}=6.635)）A.0.01B.0.05C.0.1D.0.257.圆锥曲线已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，过点(F)的直线(l)与抛物线交于(A,B)两点，若线段(AB)的中点到(y)轴的距离为3，则(|AB|=)（）A.6B.8C.10D.128.数列与数学归纳法“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就之一，其第(n)行（从0开始计数）的数字之和为(2^n)。若将第(n)行的数字依次记为(a_{n0},a_{n1},\cdots,a_{nn})，则(a_{n0}+a_{n2}+a_{n4}+\cdots=)（）A.(2^{n-1})B.(2^n)C.(2^{n+1})D.(n\cdot2^{n-1})9.数学建模与优化某工厂生产A、B两种产品，每件A产品需消耗原料2kg、工时3小时，利润50元；每件B产品需消耗原料3kg、工时2小时，利润40元。现有原料100kg，工时120小时，为获得最大利润，应生产A、B产品的数量分别为（）A.A:20件，B:20件B.A:24件，B:16件C.A:18件，B:22件D.A:22件，B:18件10.创新探究题已知函数(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若关于(x)的方程(f(x)=m)有三个不同的实根，则实数(m)的取值范围是（）A.((-1,0))B.((-1,1))C.((0,1))D.((1,+\infty))二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）11.复数运算若复数(z=\frac{2-i}{1+i})（(i)为虚数单位），则(z)的共轭复数(\overline{z}=)________。12.立体几何（多空题）已知直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，则异面直线(A_1B)与(AC_1)所成角的余弦值为________；该三棱柱外接球的表面积为________。13.概率与统计某高校为评估教学质量，采用分层抽样的方法从大一、大二、大三学生中抽取容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取150人。若大三学生共有1000人，则该校学生总人数为________。14.数学文化《九章算术》中“粟米术”记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四……”意思是：50单位的粟可换30单位的粝米，30单位的粝米可换27单位的粺米，27单位的粺米可换24单位的糳米。现有粟100单位，若按此比例兑换，最终可得到糳米________单位。15.圆锥曲线与向量已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的左焦点为(F)，右顶点为(A)，上顶点为(B)，若(\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{BA}=3b^2)，则椭圆的离心率为________。16.开放探究题已知数列({a_n})满足(a_1=1)，且(a_{n+1}=2a_n+k)（(k)为常数）。若数列({a_n})为等比数列，则(k=)；若数列({a_n})为等差数列，则(k=)。三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，且满足(b\cosC+c\cosB=2a\sinA)。（1）求角(A)的大小；（2）若(a=2\sqrt{3})，(\triangleABC)的面积为(3\sqrt{3})，求(b+c)的值。18.（本小题满分12分）某科技公司研发了一款智能机器人，为测试其性能，进行了“障碍物规避”实验。机器人在平面直角坐标系中从原点出发，沿x轴正方向匀速前进，速度为2m/s。当检测到前方3m处有障碍物时，机器人立即启动规避程序：先沿与x轴正方向成(\theta)角（(0<\theta<\frac{\pi}{2})）的方向匀加速直线运动，加速度大小为1m/s²，持续时间(t)秒后，再沿与x轴正方向成(\frac{\pi}{2}-\theta)角的方向匀速直线运动，最终到达障碍物右侧3m处停止。（1）若(\theta=\frac{\pi}{4})，求机器人完成规避所需的总时间；（2）求(t)的最小值及此时(\theta)的值。19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥(P-ABCD)中，底面(ABCD)为矩形，(PA\perp)平面(ABCD)，(AB=2)，(AD=4)，(PA=4)，点(M)为(PD)的中点，点(N)在线段(PC)上，且(PN=\frac{1}{3}PC)。（1）求证：(MN\parallel)平面(ABCD)；（2）求二面角(N-AM-D)的余弦值。20.（本小题满分12分）为响应“碳达峰、碳中和”政策，某地区鼓励居民安装太阳能热水器。该地区随机抽取100户已安装热水器的家庭，统计其年均节电量（单位：kWh），得到如下频率分布直方图：（1）求直方图中(a)的值，并估计该地区已安装热水器家庭的年均节电量的中位数；（2）若年均节电量在[2000,2500)的家庭为“节能示范户”，现从样本中“节能示范户”中随机抽取3户，记其中年均节电量在[2200,2500)的户数为(X)，求(X)的分布列及数学期望。21.（本小题满分12分）已知函数(f(x)=e^x-ax^2-bx-1)（(a,b\in\mathbb{R})）。（1）若(a=0)，(b=1)，求(f(x))的单调区间；（2）若(f(x))在(x=0)处取得极值，且对任意(x\geq0)，都有(f(x)\geq0)，求(a)的取值范围。22.（本小题满分14分）已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b