电路技术基础 第3章

第3章正弦交流电路的稳态分析3.1正弦交流电的基本概念3.3单一参数元件正弦交流电路3.2正弦量的相量表示3.4RLC的串联和并联电路3.5正弦交流电路的功率及功率因数提高3.6电路谐振3.1.1正弦电压和电流

如果电流或电压每经过一定时间（T

）就重复变化一次，则此种电流

、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波等。记做：u(t)=u(t+T)TutuTt3.1正弦交流电路的基本概念

如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。正弦交流电路TitTut

传输经济；

变压方便；

交流电机运行稳定，价格便宜

波形不畸变。正弦交流电的优点3.1.2正弦量的三要素

()ω+=tIim

sin

i

：电流幅值（最大值）：角频率（弧度/秒）：初相角mI

ω

三要素:1)周期T：变化一周所需的时间。单位：S，mS3)角频率ω：每秒变化的弧度。单位：rad/s2)频率f：每秒变化的次数。单位：Hz，kHzT1、周期与频率表示正弦量的变化速度i

电网频率：中国50Hz

美国、日本60Hz

有线通讯频率：300-5000Hz

无线通讯频率：

30kHz-3×104MHz最大值:电量名称必须大写,下标加

m。如：Um、Im、Em2、幅值（最大值）与有效值表示正弦量的大小utwUm瞬时值:正弦量每一瞬间都有一个确定的值与之对应，成为瞬时值，必须用小写字母表示。u、i、e交流直流热效应相当有效值概念（方均根值）可得,当

时，有效值:与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值同理

电器~220V最高耐压=300V若购得一台耐压为300V的电器，是否可用于220V的线路上?不能用！有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压？3初相位与相位差()

ω+=tIi

sin2

）（ω+t正弦波的相位角或相位t=0

时的相位，称为初相位或初相角。

i

i

：初相位时间起点距离变化起点的角度

可正负

若时间起点在变化起点的右边，则

为正若时间起点在变化起点的左边，则

为负

i时间起点变化起点j

：相位差两个同频率正弦量的初相之差i2i1

1

2j=

1-

2i2i1

1

2i2

1=0

2i1j=

1-

2>0称i1超前于i2j=

1-

2<0称i1滞后于i2j=

1-

2=0称i1与i2同相位i1

1

2i2j=

1-

2=1800i1与i2反相位i1

1

2i2注意！瞬时值：小写字母表示正弦量每一瞬间的数值。最大值：大写字母加下标m表示瞬时值中最大的数值。有效值：大写字母表示正弦量的大小。

交流电压、电流表测量数据为有效值

交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值u

，i，e瞬时值U

，I，E有效值Um

，Im

，Em最大值3.2.1复数及其运算+1jA实部a虚部b模r幅角

指数式和极坐标式代数式3.2正弦量的相量表示三角函数式指数形式极坐标形式欧拉公式图解法A1A2ReImoA1+A2-A2ReImoA1-A2A1A2复数的加、减运算

——

采用代数式则

A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)若

A1=a1+jb1，A2=a2+jb2复数的乘、除运算

除法：——

采用极坐标式模相乘角相加模相除角相减若

A1=|A1|

1，A2=|A2|

2则:=A·（-j）Aj旋转因子设：任一复数A=)·(j±

±o901A·A一个相量乘以j，该相量模不变，逆时针转90°j11

90°=+j1-90°=-j=一个相量除以j（乘以-j），该相量模不变，顺时针转90°.问题的提出两个同频正弦量的相加：KCL、KVL方程运算：RLC+-uCiLu+-结论：同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量复数变换的思想3.2.2正弦量的相量表示法i1I1I2I3wwwi1+i2

i3i2

1

2

3角频率：有效值：初相位：因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，

tu,ii1

i20i3正弦量复数正弦波的相量表示方法在线性正弦交流电路中的电源频率单一时，电路中所有的电压电流为同频率正弦量，此时，

可不考虑，主要研究正弦量的幅度与初相位的变化可用一个有向线段（矢量）表示正弦量：其长度表示正弦量的有效值；其与横轴的夹角表示正弦量的初相位。描述正弦量的有向线段称为相量

(phasor)：相量的模（长度）表示正弦量的有效值；相量的幅角（与横轴的夹角）表示正弦量的初相位。1)正弦量的相量表示2)相量的两种表示形式3)相量的书写方式相量图:相量式:把相量表示在复平面的图形（可省略坐标轴）U

用符号:表示。IUE包含幅度与相位信息。同样可以建立正弦电流与相量的对应关系：已知例1试用相量表示i,u.解例2试写出电流的瞬时值表达式。解()30

ow-=t6i2

sin2()60

ow+=t8i1

sin2I1I260

o30

o有效值有效值初相位初相位相量图相量式例3例4同频率正弦量的运算UaU1U2=+()30ow-=t30u2

sin2()60ow+=t40u1

sin2ua

=

u1+

u2U1U260o30oUaUbU2ub

=

u1-

u2UbU1U2=-

b

a

加减用相量图—平行四边形法则23oÐ50=97oÐ50=()23ow+=t50ua

sin2()97

ow+=t50ub

sin2注意！1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上进行比较运算，不同频率不行。3.复数只能表示正弦量，不等于正弦量。4.用复数表示正弦量时，要注意正弦量所在象限。)153sin(25o·.+=tu1w)153.sin(25o-=tu4w)9126.sin(25o+=tu2w)9126.sin(25o-=tu3w43jU1+=43jU3--=43jU2+-=43jU4-=+1+jU1U4U3U2例5已知:相量

求:u1,u2,u3,u4

.解:在下列几种情况下，哪些可以用相量进行运算，如何运算？1.2.3.解:只能用相量法计算3式:同频率正弦量例6判断下列各式的正误：10000tu==

sin100w瞬时值复数瞬时值复数)15sin(2505015o+==°teUjw例7有效值

o50100Ð=I最大值瞬时值表达式波形图i小结相量图相量式I

I正弦量的四种表示法瞬时值

--小写u,i,e；有效值

–大写U,I,E；最大值

--大写+下标m；复数、相量

---大写

+“.”3.2.3

基尔霍夫定律的相量形式1.相量形式KCL

基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集总参数电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路电流的代数和等于零。其数学表达式为

相量形式的KCL定律表示对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一结点，流出该结点的全部支路电流相量的代数和等于零。在列写相量形式KCL方程时，对于参考方向流出结点的电流取“+”号，流入结点的电流取“-”号。

特别注意的是例8电路如图所示,已知

试求电流i(t)及其有效值相量。2.相量形式KVL

基尔霍夫电压定律(KVL)叙述为：对于任何集中参数电路中的任一回路，在任何时刻，沿该回路全部支路电压代数和等于零。其数学表达式为

这就是相量形式的KVL定律，它表示对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零。在列写相量形式KVL方程时，对于参考方向与回路绕行方向相同的电压取“＋”号，相反的电压取“－”号。值得特别注意的是沿任一回路全部支路电压振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说例9电路如图所示，试求电压源电压uS(t)和相

应的电压相量，并画出相量图。已知解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量

模型，并计算出电压相量。

对于图(b)相量模型中的回路，以顺时针为绕行方向，列出的相量形式KVL方程3.3.1

电阻元件电压电流关系的向量形式uiRu=i·R=则twsinU2=twsinI2·RitwsinI2=

设twsinIm=twsinUm=3.3正弦交流电路中的电路元件1.频率关系2.相位相同3.大小关系IRU=4.相量关系

则

或u=twsinUm=twsinI2·RitwsinI2=twsinIm=电阻元件上电压、电流同频率电阻元件上电压、电流同相位ImRUm=IUo0Ð=II

0oÐ=RUIo0Ð=I·RURIU=即相量关系亦满足欧姆定律5.功率RuiRiu·p/22===

uiR

瞬时功率p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写twsinI2t·wsinU2=twsinUI2=2=UI（1-cos2wt）uipωtωtiup==UI-UIcos2wt

瞬时功率以2

交变，始终大于零，表明电阻始终吸收功率平均功率（有功功率）P：UI=（UI-UIcos2wt）

dtTTò=01大写RUIRIU·P/22===瞬时功率在一周期内的平均值为平均功率(有功功率)P

的单位：W（瓦）平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率.u，i基本关系式:设：3.3.2电容元件电压电流关系的向量形式uiC则：电容电路中电流、电压的关系iu1.频率关系2.相位关系电感元件上电压、电流同频率i领先

u

90

°CUwUIU3.大小关系或定义容抗（Ω）则：XC=I/U=1/wC，

称为容抗，单位为

(欧姆)①容抗和频率成反比

0，|XC|

直流开路(隔直)

，|XC|0

高频短路②由于容抗的存在使电流领先电压w|XC|容抗容抗：电容在正弦条件下阻抗电流通过的能力容抗的性质有效值4.相量关系设：o901-Ð=Cw则：o0Ð=UUoo9090Ð=Ð=CUIIwIUIUUo-Ð90CI=1wCXIj-=CI=1wj5、功率ui瞬时功率p

瞬时功率以2

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。充电p放电放电P<0释放能量充电P>0储存能量uiuiuiuiiuωt平均功率P纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）无功功率Q（电容性无功取负值）Q<0，表示网络“发出”无功功率。已知：C＝1μF求：I

、iuiC解：电流有效值求电容中的电流。例10瞬时值i领先于

u90°电流有效值IU3.3.3电感元件电压电流关系的向量形式dtdiLu=u、i

基本关系式：iuL设=dtdiLu)90sin(2o+=tLIwwcos2=tLI·ww则)90sin(2o+=tUw电感电路中电流、电压的关系

1.频率关系2.相位关系iu电感元件上电压、电流同频率u

领先

i

90

°UI3.大小关系定义：感抗（Ω）)90sin(2)90sin(2oo+=+=tUtLIuwww则：感抗是频率的函数，表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。ωXLω=0时XL=0e+_LRE+_R感抗的性质表示限制电流的能力；感抗和频率成正比。wXLXL=U/I=L=2fL，称为感抗，单位为

(欧姆)

感抗感抗:电感在正弦条件下阻抗电流通过的能力③由于感抗的存在使电流落后电压。有效值4.相量关系)90sin(2o+=tUuwtIiwsin2=则：o0Ð=IIo90o90Ð=Ð=LIUwU90LIUIU=Ð=90ÐoowUIU)(LjXI==IjL5、功率

瞬时功率

p

：iuL

瞬时功率以2

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消，表明电容只储能不耗能。储存能量P<0释放能量+P>0P<0可逆的能量转换过程uiuiuiuiiuL+PP>0ui

平均功率P（有功功率）纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。无功功率QQ

的单位：乏、千乏

(var、kvar)

电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。Q

的大小反映网络与外电路交换功率的速率。是由储能元件L、C的性质决定的1.XC、XL与R一样，有阻碍电流的作用。2.适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比。3.XL与

f成正比，XC

与

f成反比，R与f无关。对直流电f=0，L可视为短路，，C可视为开路。对交流电f愈高，XL愈大，XC愈小。注意R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UI=I2R=U2/RiuL+-PL=0QR=0QL=UIsin90=UI=U2/XL=I2XL>0iuC+-PC=0QC=

-UI=U2/XC=I2XC<01.正弦量三要素：Im,w,

时域表达式u=Ri相量表达式有效值关系U=RIU=XLIXL=w

LU=XCIXC=1/(wC)相位图电阻电容电感2.相量关系小结：3.4RLC的串联和并联电路对正弦交流电路的任一节点:KCL:对正弦交流电路的任一回路:KVL:基尔霍夫定律的相量形式设则CLRuuuu++=uRLCi3.4.1R，L，C串联电路相量方程式相量模型CLRUUUU++=电压和电流的相量关系设（参考相量）RjXL-jXCRULUCUIU相量图先画出参考相量相量表达式：电压三角形RjXL-jXCRULUCUIUIURULUCLUU+CUCLRUUUU++=相量模型IURULUCLUU+CU

=arctanRXXCL-jIURULUCLUU+CU当UL>UC时（XL>XC），

>0

u超前i一个

角。IURULUCLUU+CU电路呈感性当UL<UC时（XL<XC），

<0

u滞后i一个

角。电路呈容性相量图的三种情况当UL=UC时（XL=XC），

=0u与I同相位。电路呈电阻性IURULUCU参数设置造成电路性质的不同。若要改变电路的性质，只要改变电路的参数设置

Z=2000

，f=1000Hz，若从电容两端输出u2，通过相量图说明输出电压与输入电压的相位关系，若两者之间的相位差为30o，计算R和C。解：1、画相量图（因是串联电路，取电流为参考相量）IURU2U130o2、输出电压滞后于输入电压3、I·XCI·Rtan30o=I·RI·XCR2+XC2=

Z

2

=20002

解得：R

=1000

，C

=0.1F=0.577RXCu1u2RCuR例11例12、图示电路的答案正确否？V1V23

5

6V10VV1V210

8

20V16V(a)(b)(b)正确。tUuwsin2=设则CLRiiii++=3.4.2R，L，C并联电路uRLCiRiiLiC相量图先画出参考相量电流三角形UIRICICLII+LI相量表达式：CLRIIII++=URjXL-jXCIRIILIC其中：相量模型=arctanIRIILC-

UIRICILI4

4AA2A14

4A4AA2A14

4A4

(c)(d)(d)正确。(c)例13图示电路的答案正确否？电路如图示：已知：XL=XC=R，I1=10A

求：I2=？Ic=？解：1、画相量图（因是并联电路，取电压为参考相量）RCLI1I2IcUIRILICI1I2由相量图得

I2=102AIc=10A

U例141.阻抗正弦稳态情况下Z+-无源线性网络+-欧姆定律的相量形式Z—复阻抗；|Z|—复阻抗的模；

z

—阻抗角；正弦交流电路的阻抗Z的模(阻抗值)为电压和电流有效值之比，Z的幅角(阻抗角)为电压和电流的相位差(电压超前于电流的角度)。阻抗模阻抗角2）.复阻抗的代数形式：

|Z|RXjZ阻抗三角形或R=|Z|cos

zX=|Z|sin

zR—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。是角频率的函数：Z(j

)=R(

)+jX(

)C+-R+-L+-对于单一电阻、电感、电容的复阻抗分别为:Z可以是实数，也可以是虚数。纯电阻纯电感纯电容感抗容抗电抗电阻j

LR+-+-+-+-Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jZ4）.

RLC串联电路阻抗三角形.阻抗三角形：Z和电路性质的关系()CLXXjRZZ-+=Ð=j

一定时电路性质由参数决定

当

时，

u

领先

i

－－电路呈感性CLXX>0>jCLXX<0<j当

时，

u

落后

i

－－电路呈容性CLXX=0=j当

时，

u

、i同相－－电路呈电阻性阻抗角RXXtgCLiu-=-=-1

j+_CR+_L+_+_假设R、L、C已定，电路性质能否确定？不能！当ω不同时，可能出现：

XL>XC，或

XL<XC,或

XL=XC

。对于同一电路,电源的频率不同时，会呈现出不同的性质

1、RLC串联电路中，所有的电压和电流量都是同

频率的正弦量，可以进行加减运算，作相量图。2、复阻抗Z是一个复数：但是Z不代表正弦量，因此不是相量，不能写成：也不能画相量图。注意练习：1、设（1）判断电路性质，画等效串联电路并计算电路参数。（2）U?I?解：（1）电路为感性RLR=XL=5

（2）U=10v2、已知：判断电路性质，画等效串联电路，计算电路参数。解：电路为容性XC=2

U=U1+U2=I（Z1+Z2）Z=Z1+Z2Z1Z2UI2U1UZUIXK中，感抗XL取正，容抗XC取负2.阻抗（导纳）的串联和并联阻抗的串联分压公式

Z1Z2Zn+_+_+_+_Z+-21III+=21ZUZU+=）=（2111ZZU+Z1Z2IiU12IIZiUI阻抗的并联例15：求图示电路的等效复阻抗。已知：

R=1K

，C=1F，=1000rad/sRC解：例16：已知写出i、i1、i2的瞬时值表达式解：10

+_10

20

+_CR1L+_R210例17图示电路中，R1=10

，L=0.5H，R2=1000

C=10F，Us=100V，=314rad/s。求：

各支路的电流和电压Z10为参考相量+_CR1L+_R210+_CR1L+_R210N0+-阻抗的定义：无源单口网络其电压相量与电流相量的比值+-ZZ—阻抗；R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；

|Z|—复阻抗的模；

—阻抗角。单位：

阻抗模阻抗角1阻抗3.4.3复阻抗与复导纳等效变换导纳的定义：无源单口网络其电流相量与电压相量的比值N0+-+-Y单位：SY—导纳；G—电导(导纳的实部)；B—电纳(导纳的虚部)；

|Y|—复导纳的模；'—导纳角。2导纳若已知R和X，问G=？B=？3阻抗和导纳的等效变换同理，若已知G和B,则R2jXG2jB？1、瞬时功率Ni+_uN中不含独立电源，其吸收的瞬时功率为：则:3.5正弦交流电路的功率及功率因数提高p有时为正,有时为负；p>0,电路吸收功率；p<0，电路发出功率；

t

iouUIcos

恒定分量。UIcos

(2t－

)为正弦分量。p2.平均功率和功率因素

=

u-

i：功率因数角。对无源网络，为

其等效阻抗的阻抗角。cos

：功率因数。P

的单位：W（瓦）瞬时功率在一周期内的平均值为平均功率大写总电压总电流u与i

的夹角(阻抗角)

电感元件,

=90ocos

=0电容元件,

=-90ocos

=0电阻元件,

=0ocos

=1一般地,有：0

cos

1X>0,j>0,感性，滞后功率因数X<0,

j

<0,容性，超前功率因数

结论平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率.3.无功功率

Q(reactivepower)单位：var

(乏)。Q>0，表示网络“吸收”无功功率；Q<0，表示网络“发出”无功功率。Q＝0，阻性，网络与外界没有能量交换。Q的大小反映网络与外电路交换功率的速率。是由储能元件L、C的性质决定的瞬时功率的可逆分量在一周期内的最大值为无功功率。R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0=UI=I2R=U2/RiuL+-PL=UIcos

=UIcos90=0QR=UIsin

=UIsin0=0QL=UIsin

=UIsin90=UI=U2/XL=I2XL>0iuC+-PC=UIcos

=UIcos(-90)=0QC=UIsin

=UIsin(-90)=-UI=-U2/XC=-I2XC<04.视在功率S(apparentpower)电气设备的容量定义电压电流有效值的乘积为视在功率有功，无功，视在功率的关系：有功功率:

P=UIcos

单位：W无功功率:

Q=UIsinj

单位：var视在功率:

S=UI

单位：VAjSPQ功率三角形QSPR阻抗三角形电压三角形功率三角形例19.图示电路，试求：（1）二端网络的串联等效电路；（2）二端网络的功率因数，输入的有功功率和无功功率。无源网络iu(1)所以等效电路的R=4.25

，XL=40.48

（2）功率因数：COS

=P/S

：电路的阻抗角1）功率因数低的影响：传递功率一定时，增加线路损耗P=UICOS

cos=jUPICOS

I

I2r

5.功率因数的提高电源的利用率低P=UICOS

=SCOS

当COS

=0.5时，利用率为50%2）功率因数低的原因：工业负载及日常用电中，大部分为感性负载uiRLLUURUI纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载满载

日光灯

（R-L串联电路）)0(=j1=jCOS10<<jCOS)90o90o(+<<-j0=jCOS)90o(=j3.0~2.0=jCOS9.0~7.0=jCOS6.0~5.0=jCOS常用电路的功率因数3)提高功率因数的原则必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。4)提高功率因数的措施:uiRL在感性负载两端并电容C1j5)并联电容值的计算设原电路的功率因数为cos

1，要求补偿到cos

须并联多大电容？（设U、P

为已知）CIURLII

1cos

cos

1显然，uiRLC分析依据：补偿前后P、U

不变。由相量图可知：jjsinsinIII1RLC-=1RLUIPjcos=jcosUIP=CUXUICCw==jjjjwsincossincosUPUPCU11-=\1jCIURLIIcos=jUPIcos=jUPIRL1)(2jjwtgtgUPC1-=jjjjwsincossincosUPUPCU11-=iuRLC

1

：负载的阻抗角

：并联电容后电路的阻抗角呈电容性呈电感性6）提高功率因数的讨论呈电阻性CIUIRLIRLIIUCIRLIIUCI欠补偿全补偿过补偿

一般情况下很难做到完全补偿（即：）从经济上考虑，一般工作在欠补偿状态。感性（C

较小）容性（C

较大）C

较大功率因数补偿成感性好，还是容性好？过补偿欠补偿

CIUIRLIRLIIUCI并联电容补偿后，电路中哪些量发生变化？哪些量不变？不变的量1j<因电容不产生有功功率，所以线路的总功率不变。I，uiRLCIRLI<1jCIURLII变化的量，Q线路的总感性负载的电压不变，所以其IRL、COS

1

、P均不变I提高功率因数除并电容外，用串联电容方法行不行？串电容行否?补偿前RLuiuRL补偿后RLCuiuRLUURL=RLUUCUI大小不等！

串电容功率因数可以提高，甚至可以补偿到1，但不可以这样做！原因是：在外加电压不变的情况下，负载得不到所需的额定工作电压。RLCuRLuiucRLUCUUI已知：f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos

1=0.6，要使功率因数提高到0.9,求并联电容C，并联前后电路的总电流各为多大？例20解未并电容时：并联电容后：LR+_C若要使功率因数从0.9再提高到0.95