苏教七年级下册期末解答题压轴数学必考知识点试卷(比较难)

苏教七年级下册期末解答题压轴数学必考知识点试卷(比较难)一、解答题1．如图，已知直线a∥b，∠ABC＝100°，BD平分∠ABC交直线a于点D，线段EF在线段AB的左侧，线段EF沿射线AD的方向平移，在平移的过程中BD所在的直线与EF所在的直线交于点P．问∠1的度数与∠EPB的度数又怎样的关系？（特殊化）（1）当∠1＝40°，交点P在直线a、直线b之间，求∠EPB的度数；（2）当∠1＝70°，求∠EPB的度数；（一般化）（3）当∠1＝n°，求∠EPB的度数（直接用含n的代数式表示）．2．（生活常识）射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2.（现象解释）如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.求证AB∥CD.（尝试探究）如图3，有两块平面镜OM，ON，且∠MON=55，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，求∠BEC的大小.（深入思考）如图4，有两块平面镜OM，ON，且∠MONα，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β,α与β之间满足的等量关系是.（直接写出结果）3．如图①，平分，⊥，∠B=450,∠C=730．（1）求的度数；（2）如图②，若把“⊥”变成“点F在DA的延长线上，”，其它条件不变，求的度数；（3）如图③，若把“⊥”变成“平分”，其它条件不变，的大小是否变化，并请说明理由．4．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；【问题迁移】如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC=°.（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC与α、β之间的数量关系，并说明理由．（图1）（图2）5．互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系．小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决．（1）请你在横线上补全小明的探究过程：∵，（______）∴，（等式性质）∵，∴，∴．（______）（2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题：①如图①，在凹四边形中，，，求______；②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______；④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______；⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数．6．阅读材料：如图1，点是直线上一点，上方的四边形中，，延长，，探究与的数量关系，并证明.小白的想法是：“作（如图2），通过推理可以得到，从而得出结论”.请按照小白的想法完成解答：拓展延伸：保留原题条件不变，平分，反向延长，交的平分线于点（如图3），设，请直接写出的度数（用含的式子表示）.7．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．（1）如图1，若，求的度数．（2）在（1）的条件下，分别作和的平分线交于点，求的度数．（3）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知．则判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①为定值；②为定值．8．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，，则__________；②如图3，__________；（2）拓展应用：①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．9．（想一想）在三角形的三条重要线段（高、中线、角平分线）中，能把三角形面积平分的是三角形的______；（比一比）如图，已知，点、在直线上，点、在直线上，连接、、、，与相交于点，则的面积_______的面积；（填“＞”“＜”或“＝”）（用一用）如图所示，学校种植园有一块四边形试验田STPQ．现准备过点修一条笔直的小路（小路面积忽略不计），将试验田分成面积相等的两部分，安排“拾穗班”、“锄禾班”两班种植蔬菜，进行劳动实践，王老师提醒同学们先把四边形转化为同面积的三角形，再把三角形的面积二等分即可．请你在下图中画出小路，并保留作图痕迹．10．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①，若入射光线EF与反射光线GH平行，则α＝________°．（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．（3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）【参考答案】一、解答题1．（1）∠EPB＝170°；（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝20°，②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝160°，③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当解析：（1）∠EPB＝170°；（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝20°，②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝160°，③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝180°﹣|n°﹣50°|；②当交点P在直线a上方或直线b下方时：∠EPB＝|n°﹣50°|.【分析】（1）利用外角和角平分线的性质直接可求解；（2）分三种情况讨论：①当交点P在直线b的下方时；②当交点P在直线a，b之间时；③当交点P在直线a的上方时；分别画出图形求解；（3）结合（2）的探究，分两种情况得到结论：①当交点P在直线a，b之间时；②当交点P在直线a上方或直线b下方时；【详解】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝50°，∵∠EPB是△PFB的外角，∴∠EPB＝∠PFB+∠PBF＝∠1+（180°﹣50°）＝170°；（2）①当交点P在直线b的下方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；②当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝50°+（180°﹣∠1）＝160°；③当交点P在直线a的上方时：∠EPB＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当交点P在直线a，b之间时：∠EPB＝180°﹣|n°﹣50°|；②当交点P在直线a上方或直线b下方时：∠EPB＝|n°﹣50°|；【点睛】考查知识点：平行线的性质；三角形外角性质．根据动点P的位置，分类画图，结合图形求解是解决本题的关键．数形结合思想的运用是解题的突破口．2．【现象解释】见解析；【尝试探究】BEC70；【深入思考】2.【分析】[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠解析：【现象解释】见解析；【尝试探究】BEC70；【深入思考】2.【分析】[现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可得出∠DCB+∠ABC=180°，即可证得AB∥CD；[尝试探究]根据三角形内角和定理求得∠2+∠3=125°，根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定义得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°，根据三角形内角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°；[深入思考]利用平角的定义得出∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，利用外角的性质∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，而∠BOC=∠3-∠2=α，即可证得β=2α．【详解】[现象解释]如图2，∵OM⊥ON，∴∠CON=90°，∴∠2+∠3=90°∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠DCB+∠ABC=180°，∴AB∥CD；【尝试探究】如图3，在△OBC中，∵∠COB=55°，∴∠2+∠3=125°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°，∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°，∴∠BEC=180°-110°=70°；【深入思考】如图4，β=2α，理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，∴∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，∵∠BOC=∠3-∠2=α，∴β=2α．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的性质是解题的关键．3．（1）∠DAE=14°；（2）∠DFE=14°；（3）∠DAE的大小不变，∠DAE=14°，证明详见解析.【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE解析：（1）∠DAE=14°；（2）∠DFE=14°；（3）∠DAE的大小不变，∠DAE=14°，证明详见解析.【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE=90°-∠ADE即可求出∠DAE的度数．（3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE=15°即是最好的证明．【详解】（1）∵∠B=45°，∠C=73°，∴∠BAC=62°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=31°，∴∠ADE=∠B+∠BAD=45°+31°=76°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠DAE=90°-∠ADE=14°．（2）同（1），可得，∠ADE=76°，∵FE⊥BC，∴∠FEB=90°，∴∠DFE=90°-∠ADE=14°．（3）的大小不变.=14°理由：∵AD平分∠BAC，AE平分∠BEC∴∠BAC=2∠BAD，∠BEC=2∠AEB∵∠BAC+∠B+∠BEC+∠C=360°∴2∠BAD+2∠AEB=360°-∠B-∠C=242°∴∠BAD+∠AEB=121°∵∠ADE=∠B+∠BAD∴∠ADE=45°+∠BAD∴∠DAE=180°-∠AEB-∠ADE=180°-∠AEB-45°-∠BAD=135°-（∠AEB+∠BAD）=135°-121°=14°【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键.4．∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70；(2)∠DPC=α–β，理由见解析.【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C解析：∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70；(2)∠DPC=α–β，理由见解析.【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【问题探究】解：∠DPC=α+β如图，过P作PH∥DF∵DF∥CE,∴∠PCE=∠1=α，∠PDF=∠2∵∠DPC=∠2+∠1=α+β【问题迁移】（1）70（图1）（图2）(2)如图1，∠DPC=β-α∵DF∥CE,∴∠PCE=∠1=β，∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．∴∠DPC=β-α如图2，∠DPC=α-β∵DF∥CE,∴∠PDF=∠1=α∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．∴∠DPC=α-β5．（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外解析：（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外角，因此延长交于，然后根据外角的性质确定，，即可判断与，，之间的关系；（3）①连接BC，然后根据（1）中结论，代入已知条件即可求解；②连接BC，然后根据（1）中结论，求得的和，进而得到的和，然后根据角平分线求得的和，进而求得，然后利用三角形内角和定理，即可求解；③连接BC，首先求得，然后根据十等分线和三角形内角和的性质得到，然后得到的和，最后根据（1）中结论即可求解；④设与的交点为点，首先利用根据外角的性质将用两种形式表示出来，然后得到，然后根据角平分线的性质，移项整理即可判断；⑤根据（1）问结论，得到的和，然后根据角平分线的性质得到的和，然后利用三角形内角和性质即可求解．【详解】（1）∵，（三角形内角和180°）∴，（等式性质）∵，∴，∴．（等量代换）故答案为：三角形内角和180°；等量代换．（2）如图，延长交于，由三角形外角性质可知，，，∴．（3）①如图①所示，连接BC，，根据（1）中结论，得，∴，∴；②如图②所示，连接BC，，根据（1）中结论，得，∴，∵与的角平分线交于点，∴，,∴，∵，，∴，∴，∵，∴；③如图③所示，连接BC，，根据（1）中结论，得，∵，，∴，∵与的十等分线交于点，∴，,∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；④如图④所示，设与的交点为点，∵平分，平分，∴，，∵，，∴,∴,∴，即；⑤∵，的角平分线交于点，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形内角和定量，外角的性质，以及辅助线的做法，重点是观察题干中的解题思路，然后注意角平分线的性质，逐渐推到即可求解．6．阅读材料：，见解析；拓展延伸：.【分析】（1）作，，，由平行线性质可得，结合已知，可证，进而得到，从而，，将代入可得.（2）过H点作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，结合（1）的结解析：阅读材料：，见解析；拓展延伸：.【分析】（1）作，，，由平行线性质可得，结合已知，可证，进而得到，从而，，将代入可得.（2）过H点作HP∥MN，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC，结合（1）的结论和CG平分∠ECD可得∠PHC=∠FCH=120°-，即可得.【详解】解：【阅读材料】作，，（如图1）.∵，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∵，∴.∴，.∴.∵，∴.【拓展延伸】结论：.理由：如图，作，过H点作HP∥MN，∴∠PHA=∠MAH=，由（1）得FC∥MN，∴FC∥HP，∴∠PHC=∠FCH，∵,CG平分∠ECD，∴∠ECG=20°+，∴∠FCH==180°-()-(20°+)=120°-∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=+（120°-）=120°-即：.【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．7．（1）（2）（3）②是正确的，证明见解析【分析】（1）过点G作GE∥AB，然后利用平行线性质即可得到结果；（2）分别过G和H作GE∥AB，FH∥AB，然后利用平行线的性质得到对应的边角解析：（1）（2）（3）②是正确的，证明见解析【分析】（1）过点G作GE∥AB，然后利用平行线性质即可得到结果；（2）分别过G和H作GE∥AB，FH∥AB，然后利用平行线的性质得到对应的边角关系，进而∠MHN的具体值；（3）根据角平分线性质，设，然后利用平行线的基本性质，分别推导出和的值即可判断．【详解】（1）如图所示，过点作，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴.（2）如图所示，过点作，过点作，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，，∴.（3）如图所示，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，∴，设，则，∴，∴，，∴②中的值为定值.故②是正确的.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，做题的关键是能够找到辅助线，构造辅助线．8．（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DO解析：（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入计算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入计算即可；③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）计算可得；④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论．【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A）=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-10°=110°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）=142°；④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，联立得：∠B-∠C+2∠D=0．【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．9．想一想：中线；比一比：＝；用一用：见解析【分析】想一想：三角形中线把三角形底边等分成两份，过顶点向底边作垂线，高相同；比一比：和共底边BC，，两平行线之间的距离相等，即和高相等；用一用：利用解析：想一想：中线；比一比：＝；用一用：见解析【分析】想一想：三角形中线把三角形底边等分成两份，过顶点向底边作垂线，高相同；比一比：和共底边BC，，两平行线之间的距离相等，即和高相等；用一用：利用“想一想”中的中线和“比一比”的平行线进行面积的二等分．【详解】想一想：三角形中线把三角形底边等分成两份，过顶点向底边作垂线，高相同，故能把三角形面积平分的是三角形的中线．比一比：∵∴两平行线之间的距离相等，即A到BC的距离=D到BC的距离又∵和共底边BC∴和同底，等高，面积相等．用一用：如图所示，连接SP，过Q点作QM∥SP，延长TP，交QM与点M，连接SP，取TM的中点N．SN即为所求笔直的小路．证明：∵QM∥SP∴∵TM的中点N∴∴【点睛】本题考查中线和平行线的距离．连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线．两条平行线的距离处处相等．10．（1）90°；（2）β=2α-180°，理由见解析；（3）90°+m或150°【分析】（1）根据EF∥GH，得到∠FEG+∠EGH=180°，再根据∠1+∠2+∠FEG=180°，∠3+∠4+∠解析：（1）90°；（2）β=2α-180°，理由见解析；（3）90°+m或150°【分析】（1）根据EF∥GH，得到∠FEG+∠EGH=180°，再根据∠1+∠2+∠FEG=180°，∠3+∠4+∠EGH=180°，以及∠1=∠2，∠3=∠4，可得∠2+∠3=90°，即可求出α=90°；（2）在△BEG中，∠2+∠3+