函数的极值和最值与导数

高二理科数学下学期训练四

函数的极值与最值

姓名学号分数

1-已知函数y=f(x)在定义域内可导，则函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数

f(x)在这点处取得极值的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

32

2.已知函数f(x)=2x+ax+36x—24在x=2处有极值，贝!该函数的一个递增区间是()

A.(2,3)B.(3,+8)

C.(2,+8)D.(—8,3)

3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值，

则函数y=xf'(x)的图象可能是()

4,函数f(x)=ax*x在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为()

A-1,-3B.1,3

C.—1,3D.—1,—3

只si3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，贝Ua的取值范围是()

5.已知f(x)=x11

A.(-1,2)B.(-3,6)

C.(—8,—3)U(6,+8)D.(—8,—1)u(2,+8)

6.函数尸京一3对-协+5在［-2,1］上的最大值、最小值分别是()

A.12,-8B.1,-8

C.12,-15D.5,-16

7.函数lnxv=7x

的最大值为()

-12D.10

A.eB.eC.e

隹若函数f(x)=x」3xJ9x+k在区间L-4,4]上的最大值为10,则其最小值为(

A.-10•-71

C.-15D.-22

力函数f(x)=x'+ax—2在区间[1,+8)上是增函数，则实数a的取值范围是(

A.[3,+8)B.[-3,+8)

C.(一3,+8)D.(—8,—3)

10.一知函数f(x)的导数广G0=a(x+1)(XLa),若f(x).在x=a处取到极大值，则一a

取值范围是()

A.(—8,—1)B.(0,)

C.(0,1)D-(-1,0)

11.函数f(x)=ax2在一1处有极值，贝lb的值为a

与，s语n物〃sv若当xe[-2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，则数m的取值

]4・坟曲双T(X)=X

2

范围是

*_2+mx+1在区阡2,—13上的最大值就是函数f(x)的极大值，则

13.已知t(X)=—X

m的取值范围是

二、解答题

1.已知函数f(x)=ax3+、2+bx供中常数a,bcR)'g(x)=f(x)+f(x)是奇函数.

(1)求f(x)的表达式;

(2)求g(x)在区闾2］上的最大值与最小值.

X—k

2—X.

2.设函数f(x)=ex

2

⑴若k=0,求f(x)的最小值;

(2)若k=1,讨论函数f(x)的单调性

3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1.

⑴求a,b的值；

⑵求y=f(x)在［—3,1］上的最大值.

4、已知函数f(x)=ax“ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在［-1,2］上取得最大值3,

最小值一29,若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由.

山们1〃*o|zlK2—X在X=0处取得极值.

5.已知f(x)=2ln(x+a)—x

(1)求实数a的值.

(2)若关于x的方程f(x)+b=O的区间［—1,1］上恰巧两个不同的实数根，求实数匕的取值范

a

6.已知函数f(x)=Inx+—•x

⑴当avo时,求函数f(x)的单调区间;

3

(2)若函数f(x)在［1,e］上的最小值是，求a的值.

2

7.已知函数f(x)=-

2+2x-a

x

⑴若a=1,求f(x)在x=1处的切线方程：

(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围.

1、解析：班根据导数的性质可知若函数y=f(x)在这点处取得极值，则x)=0,

3在R上是增函数，f(x)=3x2,网))即必要

性成立；反之不一定成立，如函数f(x)=X

=0,但在x=0处函数不是极值,即充分性不成立.故函数y=f(x)在某点处的导数值为0

是函数y=f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件故瞌

2、解析：跛因为函数f(x)=2x3+136x-24在x=2处有极值，又f'(x)=6x2

+2ax+36,所以f(2)=0解得a=-15.令f(x)>0,解得x>3或xV2,所以函数的一

个递增区圈(3,+8),

/3、解析：遂由题意可得f'(-2)=0,而且当xe(-a),—2)时，f(x)VO,此时

xf'(x)>0;排除B、D,当xe(-2,+0。)时,f(x)>0,此时若XE(—2,0),xf(x)vO,若xe(O,+oo),xf(x)>0,所以

函数y=xf(x)的图象可能是C.

2+b,由题意即1)=0,f(1)=-2,3a+b=0,

4、解析：M.f(x)=3axa+b=—2,

.\a=1,b=—3.

2+2ax+a+6,

瓜解析：既f(x)=3x

2—12(3+6)>0,..3V~,

・.・f(x)有极大值与极小值，.・・f(x)=0有两不等实根,•・・N4a

3或a>6./

6,解析：&y=6x-6x—12,由y=。？x=—1或x=2(舍去).

x=—2时，尸1；x=—1时，y=12；x=1时，y=—8..,.ymax=12,ymin=—8.故选(_)

A.

Inxx—Inx1—Inx

〃、解析：密令丫=2=22=O?x=e.当x>e时，yV0；当0

X

X

vxve时">0,所以v-1,在定义域内只有一个极值，所以v

max=e

2—6x—9=3(x—3)(x+1).由f'(x)=O,得x=3或x=—

8、解析：Bef(x)=3x

1.又f(—4)=k—76,f(3)=k—27,f(—1)=k+5,f(4)=k-20.由f(x)max=k+5=10,得k=5,

19、解析：匿-Ff(x)=x3+ax—2在［1,+“)上是增函数，「(x)=3x2+a>0在［1,

+s)上恒成立，即a>-3x2在［1,+时上恒成立,又・.•在［1,+时上(一3x2)max=—3,

的、若av_—a(x+1)(x—a),-----------------------------------------------------------------

..f(x)在(-oo,a)上单调递减在(a,・1)士单调递增，.・•f(x)在x=a处取得极小值,

与题意不符；

若一ivavo,Wk)在(一1,a)上单调递增，在(a,+“)上单调递减，从而在x=a处取

得极大值.

若a>0,的<)在(一La)上单调递减，在(a,+口)上单调递增，与题意厢既

1

@11/解析：f'(x)=2ax+b,・.•函数心)在x=

处有极值，

/iy2al

G)+b=0,即b=-2.

a

答案：一2

、+T2_W

玲=x(x+2),

12/解析：f(x)=xex22

由f(x)=0得x=0或x=—2.

F(x)随的变化情况如下

//时，f(x),X是

X-2(—2,0)0(0,2)2

—

f'(x)00+

f(x)递减递增

.••当X=0时,f(X)min=f(O)=O,要使f(x)>m对［—2,2］恒成立，只需mvf(x)min,

m<0.

答案：(一刃，0)

13/答案：(一4,-2)1解.(Df,(x)=3ax2+2x+b,.g(x)=f(x)+F(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.

・「g(x)是奇函数，.，•g(—x)=—g(x),—

从而3a+1=0,b=0,解得a=—1,b=0,因此f(x)的表达式的c)=—1

3+X2.

X

3

b1

(2)由⑴矢口g(x)=-3

3+2x,..g,(x)=g+八~八x

g'(x)=o.

2（舍去）,X2=2,

T“、一542

解得Xi=—

的，g(2)=3

4

因此g(x)在区凤2］上的最大2)=

,最小值那2）=

33

X—〃Y)=AJ2

解：(1)k=0时,f(x)=e

当xe（-oo.0）时.f（xkOr当XE（0.+oo）时.r（x）＞0.所以f（x）在（一皿0）上

调递减，在（0.+8）上单调递增，嫩）的最小佰地））=1.

2—X,定义账.（2）

〃v\_ax—x—1,令g(x)=eA—x—1,SH(x)=eA—1,

.1(Xj-e

由g(x)>0得疟0,所以g(x)在［0,9畴是犀嘀川

由g'(x)vox<0,所以g(x)在(一s,

・.g(X)min=g(0)=0,即f(X)min=0,故f'(X)20.

所以f(x)在R上单调增

3、解：⑴依题意可知点P(1,f(1))为切点，代入切线程y=3x+1可得，f(l)=3x1+1=4,

.・.f⑴=1+a+b+5=4,即a+b=—2,

又由f(x)=x*+ax2+bx+5得'

2+2ax+b,又f(x)=3x

而由切线y=3x+1的斜率可知F(l)=3,

.・.3+2a+b=3,即2a+b=0,ff

〈.a+b=_2,fa=2,

由解得/.a=2,b=—4.

2a+b=0.b=—4,

„3+2X2—4x+5Af(x)=3x2+4x~4=(3x—2)(x+2),

(2)由(1)知f(x)=x'八/

2

令f(x)=0,得乂=或x=—2.

3

8_

..f(x)在［-3,1］上的最大值13.

4、解：存在.显熊0.

单调增极大il调避

-------A-

1=0,X2=4(言

f'(x)=3axk〜f

f(x)的变化情

⑴当a>0,:变化时“X),湖.口表：

X[-1,0)/0(02\

所以当x=0时，f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3.

又f⑵=—16a+3,f(—1)=—7a+3,f(-1)>f(2).所以当x=2时,f(x)取得最小值,即一16a+3=—29,解

得a=2.

(2)当avo,x变化时，f(x),f(x)的变化情况如表：

X[-1,0)0(0,2]

f'(x)0

—+

f(x)单调避普/、值单

所以当x=0宿i-ir-11h_

又f(2)=—16a—29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1).

所以当x=2时，f(x)取得最大值，f(2)=—16a—29=3,解得@=—2,

综上可得，a=2,b=3或a=—2,b=—29.

2

5、解：(1)f(x)=-2x—1，当x=0时，f(x)取得极值,

x+a

所以f'(0)=0,解得a=2,检航a=2符合题意.

2—x+b,

⑵令g(x)=f(x)+b=2ln(x+2)—x、

2zxx2

刎(x)=-2x-1=-X2(x>-2).

x+2+

g(x)，1(—2,4-00)J

X(-2,0)0(0,+8)

g1(x)+/0

g(x)2ln2+b

(2)xe［1,e］时，分如下情况谊

%1当a<1时，f(x)>0,函数f(x)单调递增，其最小W)=av1,这与函数在［1,e］上的

最小宜是I

相矛盾；

%1当a=1时，函数f(x)在［1,e］上单调递增，其最小值的)=1,同样与最小值是言

相矛盾；

%1当1<a<eM,函数f(x)在［1,a)上有fz(x)〈O,f(x)单调递减，在(a,e］上有f(x)>0,

3<

f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值f(司=lna+1,由lna+1=2

，得a=©.

%1当a=e时,函数f(x)在［1,

e］上有f(x)vO,f(x)单调递减，

一十日其最小值融)=2,这与最

小值是；

相矛盾；

⑸当a>e时.显然函数f(x)在「1.e1«调拂减,其最小侑照)=1+

a3

e2

>2,仍与最小值是

相矛盾；综上所述，a的值的

解：⑴当a=1Bt,f(x)=-12+2x一风仲1)=-1

2+2x1—6=3

X1

x