2025年下学期高一数学用样本估计总体试题

2025年下学期高一数学用样本估计总体试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）某学校为了解学生的课外阅读时间，从高一年级随机抽取了100名学生进行调查，得到如下数据：课外阅读时间（小时/周）[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]人数153035155则该样本的平均数为（）A.3.5B.4.2C.4.6D.5.0已知一组数据的方差为$s^2$，将这组数据中的每个数据都乘以2后，得到新数据的方差为（）A.$s^2$B.$2s^2$C.$4s^2$D.$8s^2$某班50名学生的数学考试成绩如下表所示：成绩区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数31015175则该班数学成绩的中位数所在区间是（）A.[60,70)B.[70,80)C.[80,90)D.[90,100]为了解某小区居民的用电量情况，随机抽取了50户居民的月用电量数据，得到样本的平均数为180度，方差为100，则估计该小区居民月用电量的总体方差为（）A.100B.102C.104D.106某中学高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人。为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法从中抽取容量为50的样本，则应抽取的男生人数为（）A.20B.30C.40D.50已知一组数据$x_1,x_2,\cdots,x_n$的平均数为$\bar{x}$，方差为$s^2$，则数据$ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b$的平均数和方差分别为（）A.$a\bar{x},a^2s^2$B.$a\bar{x}+b,a^2s^2$C.$a\bar{x}+b,as^2$D.$a\bar{x},as^2$某工厂生产的零件尺寸服从正态分布$N(50,4)$，现从一批零件中随机抽取10个，测得尺寸如下（单位：mm）：52,48,50,51,49,53,47,50,51,48。则样本方差为（）A.2.8B.3.0C.3.2D.3.4为比较甲、乙两种水稻品种的产量稳定性，分别从两种水稻中抽取10亩进行试验，得到如下数据（单位：kg/亩）：甲：520,530,540,550,560,570,580,590,600,610乙：500,520,540,560,580,600,620,640,660,680则下列说法正确的是（）A.甲的方差大于乙的方差，甲的产量更稳定B.甲的方差小于乙的方差，甲的产量更稳定C.甲的方差大于乙的方差，乙的产量更稳定D.甲的方差小于乙的方差，乙的产量更稳定某学校为了解学生的体育锻炼时间，采用系统抽样的方法从高一年级1200名学生中抽取40名进行调查，则分段间隔为（）A.20B.30C.40D.50已知一组数据的频率分布直方图如下所示，则该组数据的众数为（）（注：此处应有频率分布直方图，假设直方图中最高矩形对应的区间为[60,70)）A.60B.65C.70D.75某班学生的身高数据如下表所示：身高区间（cm）[150,160)[160,170)[170,180)[180,190]人数5201510则该班学生身高的第75百分位数为（）A.170cmB.175cmC.180cmD.185cm为了解某地区居民的收入情况，随机抽取了100户居民进行调查，得到样本的中位数为3500元，平均数为4200元，则下列说法正确的是（）A.该地区居民收入的中位数一定为3500元B.该地区居民收入的平均数一定为4200元C.该地区约有50%的居民收入低于3500元D.该地区居民收入的分布一定是正态分布二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知一组数据：2,4,6,8,10，则该组数据的方差为________。某学校高一年级有500名学生，其中男生300人，女生200人。为了解学生的数学学习情况，采用分层抽样的方法从中抽取容量为50的样本，则应抽取女生的人数为________。某班40名学生的英语考试成绩的频率分布直方图如下所示（注：此处应有频率分布直方图，假设直方图中各区间的频率分别为：[60,70)：0.1，[70,80)：0.3，[80,90)：0.4，[90,100]：0.2），则该班英语成绩的平均分为________。已知一组数据的平均数为5，方差为9，若将这组数据中的每个数据都加上3，则新数据的平均数为________，方差为________。（注：本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共70分）（10分）某工厂生产的零件直径服从正态分布$N(10,0.04)$，现从一批零件中随机抽取10个，测得直径如下（单位：mm）：10.1,9.8,10.2,10.0,9.9,10.3,9.7,10.0,10.1,9.8（1）计算样本的平均数和方差；（2）用样本估计总体，判断这批零件的质量是否合格（若零件直径的方差不超过0.04，则认为合格）。（12分）某学校为了解学生的体育锻炼情况，从高一年级随机抽取了100名学生进行调查，得到如下数据：每周锻炼时间（小时）[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10]人数1025352010（1）计算样本的平均数和中位数；（2）估计该校高一年级学生每周锻炼时间的平均数和中位数。（12分）某中学高一年级有学生1200人，其中男生720人，女生480人。为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法从中抽取容量为100的样本，得到如下数据：视力情况正常轻度近视中度近视重度近视男生人数20251510女生人数151087（1）计算样本中男生和女生视力正常的频率；（2）估计该校高一年级学生中视力正常的人数。（12分）某班50名学生的数学考试成绩如下表所示：成绩区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数2815205（1）计算该班数学成绩的平均数和方差；（2）若规定成绩在80分及以上为优秀，估计该班数学成绩的优秀率。（12分）为了解某地区居民的用电量情况，随机抽取了100户居民的月用电量数据，得到如下频率分布直方图（注：此处应有频率分布直方图，假设直方图中各区间及频率分别为：[100,120)：0.1，[120,140)：0.2，[140,160)：0.3，[160,180)：0.25，[180,200]：0.15）。（1）计算样本的平均数和方差；（2）估计该地区居民月用电量的平均数和方差。（12分）某工厂生产的两种型号的产品的质量指标如下表所示：型号样本容量平均数方差A5010025B5010536（1）比较两种型号产品质量指标的稳定性；（2）若规定质量指标在[平均数-2倍标准差，平均数+2倍标准差]范围内的产品为合格产品，估计两种型号产品的合格率。参考答案一、选择题B2.C3.C4.A5.B6.B7.C8.B9.B10.B11.B12.C二、填空题814.2015.8216.8,9三、解答题（1）样本平均数为10.0mm，方差为0.034mm²；（2）合格（1）样本平均数为5.1小时，中位数为5小时；（2）估计该校高一年级学生每周锻炼时间的平均数为5.1小时，中位数为5小时（1）样本中男生视力正常的频率为0.2，女生视力正常的频率为0.15；（2）估计该校高一年级学生中视力正常的人数为288人（1）该班数学成绩的平均数为78.4分，方差为129.44；（2）估计该班数学成绩的优秀率为50%（1）样本平均数为156度，方差为484；（2）估计该地区居民月用电量的平均数为156度，方差为484（1）A型号产品质量指标的稳定性更好；（2）估计A型号产品的合格率为95.44%，B型号产品的合格率为95.44%试题解析一、选择题解析：样本平均数的计算公式为$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_if_i}{\sum_{i=1}^{n}f_i}$，其中$x_i$为各区间的中点值，$f_i$为各区间的频数。代入数据得：$\bar{x}=\frac{1\times15+3\times30+5\times35+7\times15+9\times5}{100}=4.2$，故选B。解析：根据方差的性质，若一组数据中的每个数据都乘以$a$，则方差变为原来的$a^2$倍。因此，将数据中的每个数据都乘以2后，方差变为原来的4倍，即$4s^2$，故选C。解析：中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数值。该班共有50名学生，因此中位数是第25和第26名学生成绩的平均值。前两个区间的人数之和为13，前三个区间的人数之和为28，因此第25和第26名学生的成绩均在[80,90)区间内，故选C。解析：在随机抽样中，样本方差是总体方差的无偏估计，因此估计该小区居民月用电量的总体方差为100，故选A。解析：分层抽样中，各层的抽样比相等。男生的抽样比为$\frac{50}{1000}=\frac{1}{20}$，因此应抽取的男生人数为$600\times\frac{1}{20}=30$，故选B。解析：根据平均数和方差的性质，若一组数据中的每个数据都加上$b$，则平均数加上$b$，方差不变；若每个数据都乘以$a$，则平均数乘以$a$，方差乘以$a^2$。因此，数据$ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b$的平均数为$a\bar{x}+b$，方差为$a^2s^2$，故选B。解析：样本方差的计算公式为$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$。首先计算样本平均数$\bar{x}=\frac{52+48+50+51+49+53+47+50+51+48}{10}=50$，然后计算方差：$s^2=\frac{1}{9}[(52-50)^2+(48-50)^2+\cdots+(48-50)^2]=\frac{1}{9}(4+4+0+1+1+9+9+0+1+4)=3.2$，故选C。解析：甲品种的方差为$\frac{1}{9}[(520-565)^2+(530-565)^2+\cdots+(610-565)^2]=\frac{8250}{9}\approx916.7$，乙品种的方差为$\frac{1}{9}[(500-590)^2+(520-590)^2+\cdots+(680-590)^2]=\frac{28500}{9}\approx3166.7$，因此甲的方差小于乙的方差，甲的产量更稳定，故选B。解析：系统抽样的分段间隔为$\frac{N}{n}=\frac{1200}{40}=30$，故选B。解析：众数是频率分布直方图中最高矩形对应的区间的中点值，因此众数为65，故选B。解析：第75百分位数是将数据从小到大排列后，位于75%位置的数值。该班共有50名学生，75%位置对应的人数为$50\times0.75=37.5$，即第38名学生的身高。前两个区间的人数之和为25，前三个区间的人数之和为40，因此第38名学生的身高在[170,180)区间内。该区间的长度为10，共有15人，因此第75百分位数为$170+\frac{37.5-25}{15}\times10=175$，故选B。解析：样本的中位数和平均数只是总体的估计值，不一定等于总体的真实值，因此A、B选项错误；中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数值，因此该地区约有50%的居民收入低于3500元，C选项正确；样本数据无法确定总体的分布类型，D选项错误，故选C。二、填空题解析：该组数据的平均数为6，方差为$\frac{1}{5}[(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2]=8$。解析：女生的抽样比为$\frac{50}{500}=\frac{1}{10}$，因此应抽取女生的人数为$200\times\frac{1}{10}=20$。解析：该班英语成绩的平均分为$65\times0.1+75\times0.3+85\times0.4+95\times0.2=82$。解析：将每个数据都加上3后，新数据的平均数为$5+3=8$，方差不变，仍为9。三、解答题（1）样本平均数为$\frac{10.1+9.8+10.2+10.0+9.9+10.3+9.7+10.0+10.1+9.8}{10}=10.0$mm，方差为$\frac{1}{9}[(10.1-10.0)^2+(9.8-10.0)^2+\cdots+(9.8-10.0)^2]=0.034$mm²；（2）因为样本方差为0.034mm²，小于0.04mm²，所以这批零件的质量合格。（1）样本平均数为$\frac{1\times10+3\times25+5\times35+7\times20+9\times10}{100}=5.1$小时，中位数为5小时；（2）估计该校高一年级学生每周锻炼时间的平均数为5.1小时，中位数为5小时。（1）样本中男生视力正常的频率为$\frac{20}{72}=\frac{5}{18}\approx0.2$，女生视力正常的频率为$\frac{15}{48}=\frac{5}{16}\approx0.15$；（2）估计该校高一年级学生中视力正常的人数为$720\times0.2+480\times0.15=14