2025年下学期高一数学中档题巩固练习（三）

2025年下学期高一数学中档题巩固练习（三）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|log₂(x+1)=1}，则A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅下列函数中既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A.f(x)=x³B.f(x)=2ˣC.f(x)=log₂xD.f(x)=sinx函数f(x)=√(x-1)+1/(x-2)的定义域是（）A.[1,2)∪(2,+∞)B.(1,+∞)C.[1,2)D.[1,+∞)已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cos(α-π/4)=（）A.-√2/10B.7√2/10C.-7√2/10D.√2/10若函数f(x)=x²+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.a≤-3B.a≥-3C.a≤5D.a≥5已知向量a=(2,3)，b=(m,4)，若a⊥(a-b)，则m=（）A.1B.2C.3D.4函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分别是（）A.π,1B.2π,1C.π,2D.2π,2已知a=log₂3，b=log₃2，c=log₄1/2，则a,b,c的大小关系是（）A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b不等式|2x-1|≤3的解集是（）A.[-1,2]B.(-∞,-1]∪[2,+∞)C.[-2,1]D.(-∞,-2]∪[1,+∞)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，若f(1)=0，则不等式f(x-2)>0的解集是（）A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,1)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2，b=√3，A=π/3，则B=（）A.π/6B.π/4C.π/3D.2π/3已知函数f(x)=2ˣ+2⁻ˣ，则下列结论正确的是（）A.f(x)是奇函数B.f(x)的最小值为2C.f(x)在(0,+∞)上单调递减D.f(x)的图像关于原点对称二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(x)在区间[0,3]上的最大值是_______。已知tanα=2，则sin2α=_______。已知向量a=(1,2)，b=(3,1)，则向量a与b的夹角为_______。已知函数f(x)=logₐ(x+1)(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是_______。三、解答题（共6小题，共70分）（10分）计算下列各式的值：（1）log₂8+log₁/₂4-2log₅25（2）sin(-150°)cos(-210°)tan(-60°)（12分）已知集合A={x|x²-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，求：（1）A∩B（2）(∁RA)∪B（12分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos²x-1。（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。（12分）已知函数f(x)=x²-2ax+3在区间[1,3]上的最小值为-1。（1）求实数a的值；（2）若函数g(x)=f(x)/(x)，求g(x)在区间[2,4]上的最大值。（12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=3，b=4，cosC=1/4。（1）求边c的长；（2）求sinA的值。（12分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x²-2x。（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增，求实数a的取值范围。参考答案与详细解析一、选择题A解析：解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}；由log₂(x+1)=1得x+1=2，即x=1，所以B={1}，则A∩B={1}。A解析：f(x)=x³是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增；f(x)=2ˣ是非奇非偶函数；f(x)=log₂x的定义域为(0,+∞)，是非奇非偶函数；f(x)=sinx在(0,+∞)上不是单调函数。A解析：要使函数有意义，需满足x-1≥0且x-2≠0，解得x≥1且x≠2，即定义域为[1,2)∪(2,+∞)。C解析：因为α∈(π/2,π)，所以cosα=-4/5，cos(α-π/4)=cosαcosπ/4+sinαsinπ/4=(-4/5)(√2/2)+(3/5)(√2/2)=-√2/10。A解析：函数f(x)的对称轴为x=1-a，因为函数在(-∞,4]上是减函数，所以1-a≥4，解得a≤-3。C解析：a-b=(2-m,-1)，因为a⊥(a-b)，所以a·(a-b)=0，即2(2-m)+3(-1)=0，解得m=3。A解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/2=π，振幅为1。A解析：a=log₂3>1，0<b=log₃2<1，c=log₄1/2=-1/2<0，所以a>b>c。A解析：由|2x-1|≤3得-3≤2x-1≤3，解得-1≤x≤2。A解析：因为f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，f(1)=0，所以f(x-2)>0等价于|x-2|>1，解得x<1或x>3。A解析：由正弦定理得a/sinA=b/sinB，即2/sin(π/3)=√3/sinB，解得sinB=1/2，因为b<a，所以B=π/6。B解析：f(x)=2ˣ+2⁻ˣ是偶函数，f(x)≥2√(2ˣ·2⁻ˣ)=2，当且仅当x=0时取等号，所以f(x)的最小值为2。二、填空题6解析：f(x)=x²-2x+3=(x-1)²+2，在区间[0,3]上，当x=3时，f(x)取得最大值6。4/5解析：sin2α=2sinαcosα=2tanα/(1+tan²α)=4/5。45°解析：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(1×3+2×1)/(√5×√10)=5/(5√2)=√2/2，所以θ=45°。(0,0)解析：令x+1=1，得x=0，此时f(0)=0，所以函数图像恒过定点(0,0)。三、解答题解：（1）原式=log₂2³+log₂⁻¹2²-2log₅5²=3-2-4=-3（2）原式=(-sin150°)cos210°(-tan60°)=sin150°cos210°tan60°=sin(180°-30°)cos(180°+30°)tan60°=sin30°(-cos30°)tan60°=1/2×(-√3/2)×√3=-3/4解：（1）A={x|1<x<3}，B={x|x>3/2}，所以A∩B={x|3/2<x<3}（2）∁RA={x|x≤1或x≥3}，所以(∁RA)∪B={x|x≤1或x>3/2}解：（1）f(x)=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π/4)，所以最小正周期T=2π/2=π（2）因为x∈[0,π/2]，所以2x+π/4∈[π/4,5π/4]，当2x+π/4=π/2，即x=π/8时，f(x)取得最大值√2；当2x+π/4=5π/4，即x=π/2时，f(x)取得最小值-1。解：（1）f(x)=(x-a)²+3-a²，当a≤1时，f(x)在[1,3]上单调递增，f(x)min=f(1)=4-2a=-1，解得a=5/2（舍去）；当1<a<3时，f(x)min=3-a²=-1，解得a=2；当a≥3时，f(x)在[1,3]上单调递减，f(x)min=f(3)=12-6a=-1，解得a=13/6（舍去），综上，a=2。（2）g(x)=f(x)/x=x+3/x-4，因为g(x)在[2,√3]上单调递减，在[√3,4]上单调递增，又g(2)=1/2，g(4)=3/4，所以g(x)在区间[2,4]上的最大值为3/4。解：（1）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=9+16-2×3×4×1/4=22，所以c=√22。（2）由cosC=1/4得sinC=√(1-cos²C)=√15/4，由正弦定理得a/sinA=c/sinC，即3/sinA=√22/(√15/4)，解得sinA=3√330/88