【《飞行器数学建模分析案例》3100字】

飞行器数学建模分析案例SEQseq\hSEQseq\h目录TOC\o"1-3"\h\u22924飞行器数学建模分析案例 1210151.1引言 1244181.2坐标系和坐标转换 1127181.2.1坐标系定义 1285261.2.2坐标变换 2283421.3飞行器运动方程模型 310151.3.1飞行器质心运动的动力学方程 353341.3.2飞行器质心运动的运动学方程 747371.3.3飞行器绕质心转动的动力学方程 7251131.3.4飞行器绕质心转动的运动学方程 8197661.3.5几何关系推导 989941.4飞行器运动模型的线性化 10114631.4.1线性化方法 10148621.4.2小偏差线性化模型 11引言飞行器的运动模型呈现复杂的非线性，需要建立其运动方程并进行简化，为下一步的姿态控制方法的研究奠定基础。本章首先定义了建立飞行器数学模型所需的坐标系并给出了相互之间的坐标系变换，然后基于运动学和动力学原理推导了飞行器运动方程，随后通过小偏差线性化的方法，建立了线性化运动方程组，进而简化推导了其三阶和二阶的传递函数及状态空间形式。坐标系和坐标转换坐标系定义(1)发射惯性坐标系(惯性坐标系)发射点为坐标原点，与重力方向相反，与垂直指向发射方向，与面垂直，构成右手坐标系，为一静坐标系。(2)机体坐标系飞行器质心点为坐标原点，沿机体纵轴指向飞行器头部，在飞行器纵向对称面内与轴垂直，向上为正，与面垂直，且构成右手坐标系。(3)轨道坐标系飞行器质心点为原点，轴指向运动速度方向，在过的重力平面内且垂直于，与面垂直，且构成右手坐标系。(4)速度坐标系飞行器质心点为坐标原点，轴指向运动速度方向，在飞行器纵向对称平面内且垂直于，与面垂直并构成右手坐标系。坐标变换(1).发射惯性坐标系到机体坐标系的变换角定义：俯仰角；偏航角；滚动角；变换顺序：发射惯性系转到机体系，采用3-2-1的转序。即：绕轴转俯仰角，得坐标；绕转偏航角，得坐标；绕转滚动角得坐标，即。有时也用来表示转换矩阵。 (2.SEQ(2.\*ARABIC1)式中，，其中各基元变换矩阵为：，，由以上基元转换矩阵可得发射惯性系到机体坐标系的坐标转换矩阵为： (2.SEQ(2.\*ARABIC2)(2).发射惯性坐标系到轨道坐标系的变换转动顺序：先绕发射惯性系的轴转动，得坐标；再绕转动，得。 (2.SEQ(2.\*ARABIC3)式中，。：轨道倾角――速度与发射惯性坐标系水平面的夹角；：轨道偏角――速度在发射惯性坐标系水平面内的投影与的夹角。(3).速度坐标系到机体坐标系的变换先绕速度坐标的轴转角，在绕新坐标的轴转角。 (2.SEQ(2.\*ARABIC4)式中，。(4).轨道坐标系到速度坐标系的转换将轨道系绕轴转动角，得到速度坐标系，转换矩阵为。速度倾斜角：轨道坐标系与速度坐标系之间夹角。 (2.SEQ(2.\*ARABIC5)式中，。飞行器运动方程模型飞行器质心运动的动力学方程应用原理：令动坐标系为轨道坐标系，取任意矢量为轨道坐标系相对于发射惯性坐标系的平移位移速度矢量(绝对速度)；轨道坐标系相对于发射惯性坐标系的转动角速度矢量(绝对角速度)为，则有式成立。方程两边同乘以飞行器的质量，得： (2.SEQ(2.\*ARABIC6)其中，为轨道坐标系相对于发射惯性坐标系的平移位移速度矢量，即飞行器的绝对速度；为轨道坐标系相对发射惯性坐标系的旋转角速度；为所受的空气动力；为飞行器所受的重力；为机体所受的扰动力，暂时不考虑扰动力的作用，即。然后将矢量方程REF_Ref58520335\h(2.6)投影到轨道坐标系上，变成标量方程进行求解根据轨道坐标系的定义，设轨道坐标系的单位方向矢量为，则 (2.SEQ(2.\*ARABIC7) (2.SEQ(2.\*ARABIC8) (2.SEQ(2.\*ARABIC9)又因： (2.SEQ(2.\*ARABIC10)式中，。所以： (2.SEQ(2.\*ARABIC11)对于，由轨道坐标系和发射惯性坐标系的转换关系，可得： (2.SEQ(2.\*ARABIC12)由于分别在发射惯性坐标系轴和轨道坐标轴上，有 (2.SEQ(2.\*ARABIC13)因此， (2.SEQ(2.\*ARABIC14)所以： (2.SEQ(2.\*ARABIC15)式REF_Ref58520335\h(2.6)中，表示空气动力(含控制力)，在机体坐标系上表示为： (2.SEQ(2.\*ARABIC16)其中，为轴向力系数，为法向力系数，为侧向力系数，q为动压头，为飞行器的特征面积。经过变换转换到轨道坐标系上，其分量为： (2.SEQ(2.\*ARABIC17)式REF_Ref58520335\h(2.6)中，将重力项变换到轨道坐标系上，有： (2.SEQ(2.\*ARABIC18)故可得， (2.SEQ(2.\*ARABIC19)综合式REF_Ref58571940\h(2.15)、式REF_Ref58571944\h(2.17)和式REF_Ref58571967\h(2.19)，可以得到飞行器的质心运动的动力学方程： (2.SEQ(2.\*ARABIC20)飞行器质心运动的运动学方程是飞行器在发射惯性坐标系位置，是飞行器绝对速度在发射惯性坐标系中的三个分量。即有： (2.SEQ(2.\*ARABIC21)飞行器绕质心转动的动力学方程由角动量定理有： (2.SEQ(2.\*ARABIC22)为推力矢量，在这里为0。飞行器绕质心转动的标量方程为： (2.SEQ(2.\*ARABIC23)其中力矩M在机体坐标系上的分量可以如下表示： (2.SEQ(2.\*ARABIC24)其中：为气动力矩，为阻尼力矩，为干扰力矩。在这里忽略干扰力矩，即：、。则具体分量表达式为： (2.SEQ(2.\*ARABIC25)其中：为滚转力矩系数，为偏航力矩系数，为俯仰力矩系数，为滚转阻尼力矩系数，为偏航阻尼力矩系数，为俯仰阻尼力矩系数，为加速度仪到飞行器理论顶尖的距离，为飞行器相对于风的速度在发射惯性坐标系的投影。飞行器绕质心转动的运动学方程要确定飞行器在空间的姿态，即建立姿态角、和的变化率与飞行器相对发射惯性系的转动角速度(绝对角速度)在机体坐标系上分量、和之间的关系。飞行器机体相对于发射惯性坐标系角速度用表示，其在机体坐标系上的分量分别是。根据机体坐标系与发射惯性系之间的变换关系，可知飞行器相对发射惯性系的转动角速度实际上是三次旋转的转动角速度的矢量合成。因此，飞行器转动角速度在机体坐标系中的分量为： (2.SEQ(2.\*ARABIC26)即 (2.SEQ(2.\*ARABIC27)几何关系推导在前面所列的方程中使用了四种坐标系，相互八个角度、、、、、、、。然而这八个角之间只有五个是独立的变量，即可以列出三个方程，称为坐标角度间的几何关系。图2.SEQ图2.\*ARABIC1坐标系间转换关系Fig.2.1Transformationrelationshipbetweencoordinatesystems通过采用角速度的关系和有关矢量运算的知识来建立角度几何关系方程。飞行器相对于发射惯性系的角速度，即机体坐标系在发射惯性系的转动角速度在机体坐标系的投影可表示为，而机体坐标系相对于轨道坐标系的角速度为，轨道坐标系相对于发射惯性系的角速度在轨道坐标系的投影为，并对于各矢量、、有如下关系式成立：。首先将上面的矢量关系投影到速度坐标系中，有： (2.SEQ(2.\*ARABIC28)代入坐标系间的转换矩阵就可得到关于和的关系式： (2.SEQ(2.\*ARABIC29) (2.SEQ(2.\*ARABIC30)综合上式以及式REF_Ref58596534\h(2.20)、式REF_Ref58596661\h(2.21)、式REF_Ref58596663\h(2.23)和式REF_Ref58596723\h(2.27)即可得到飞行器运动的方程组。飞行器运动模型的线性化线性化方法REF_Ref58597768\r\h2.3节中导出的飞行器运动模型具有变系数、非线性的特点，虽然可以通过数值积分的方法得出飞行器的扰动运动解，但是这种方法计算复杂，并且不利于分析飞行器的稳定性和进行控制系统设计，一般采用“小扰动法”将非线性运动方程进行线性化。飞行器的任意一个运动方程可以表示为如下形式： (2.SEQ(2.\*ARABIC31)式中变量为运动参数或其导数。根据前述，运动参数可以表示成基准运动参数和偏离量之和： (2.SEQ(2.\*ARABIC32)于是式REF_Ref58598484\h(2.31)可写成： (2.SEQ(2.\*ARABIC33)在基准点处展开成泰勒级数，并略去二阶及以上各阶小量，得到： (2.SEQ(2.\*ARABIC34)显然，基准运动也应满足运动方程式REF_Ref58598484\h(2.31)，即： (2.SEQ(2.\*ARABIC35)将式REF_Ref58920095\h(2.34)减去式REF_Ref58920103\h(2.35)，得到： (2.SEQ(2.\*ARABIC36)这是由非线性方程式REF_Ref58598484\h(2.31)简化得到的一个线性化方程，或称线性化小扰动方程。方程中为变量。为由基准运动状态确定的导数。小偏差线性化模型根据第REF_Ref58597768\r\h2.3节中建立的飞行器运动方程，采用REF_Ref58935550\r\h2.4.1中方法对其进行线性化，忽略平稳风、风切变等因素引起的干扰，最终得到飞行器小偏差线性化数学模型如下：俯仰通道： (2.SEQ(2.\*ARABIC37) (2.SEQ(2.\*ARABIC38) (2.SEQ(2.\*ARABIC39)偏航通道： (2.SEQ(2.\*ARABIC40) (2.SEQ(2.\*ARABIC41) (2.SEQ(2.\*ARABIC42)滚动通道： (2.SEQ(2.\*ARABIC43)小偏差方程中各系数物理意义如表2.1所示。以俯仰通道为例，选，，为状态变量，为控制变量，将俯仰通道的状态方程写成状态空间形式为： (2.SEQ(2.\*ARABIC44)而对于俯仰通道的小偏差系数方程组来说，当其初值为零时，其拉式变换是： (2.SEQ(2.\*ARABIC45) (2.SEQ(2.\*ARABIC46) (2.SEQ(2.\*ARABIC47)表2.SEQ表2.\*ARABIC1符号说明Tab.2.1explanationofsymbols符号说明单位、俯仰、偏航通道与推力和升力有关的动力系数1/s、俯仰、偏航通道重力系数1/s、俯仰、偏航通道控制力系数1/s、俯仰、偏航通道控制发动机摆动部分惯性力系数、俯仰、偏航通道气动阻尼力矩系数1/s、俯仰、偏航通道气动力矩系数1/s2、俯仰、偏航通道控制力矩