中海大海洋工程环境学课件02波浪作用下流场计算

2.波浪作用下流场计算

波浪运动是随机过程。设计波是其中的一个单波，具有固定的波高和周期(或波长)。

设计中关心的是海洋结构物在波浪中的运动和荷载。为此，必须关注波浪作用下的流场，即波浪作用下水质点的运动规律。

波浪流体力学理论是讨论在波浪作用下流场中水质点的运动规律，即其速度(加速度)分量和压力。

进一步，可以计算得到水质点对于结构物的作用，包括力(荷载)，以及因此导致的运动。2.1流场计算数学模型推导

1.物理模型2.波浪作用下流场计算

2.1流场计算数学模型推导

坐标系：二维

平面进行波

ox

静止水面，原点在波峰，沿传播方向

oz垂直向上

波型：余弦波波高H，波长L(周期T)，瞬时升高

1.物理模型

水域：水深d

水：无旋，无粘，不可压缩，密度

底部平行ox轴(静止水面)，刚性，不可穿透

流场：重力场，重力加速度g

水质点速度分量：u,w;压力p2.1流场计算数学模型推导

1.物理模型2.数学模型

空间与时间点的物理量：

全导数：2.1流场计算数学模型推导

3.控制方程

连续方程：2.1流场计算数学模型推导

力平衡方程：2.1流场计算数学模型推导

3.控制方程

无旋条件：2.1流场计算数学模型推导

3.控制方程2.1流场计算数学模型推导

联立求解控制方程组(3个方程)，可以得到3个待定变量(u,w,p)的通解。3.控制方程2.1流场计算数学模型推导

为确定特解，尚须给定初始条件和边界条件。对于定常问题，只须给定边界条件。3.控制方程4.边界条件

底部条件：2.1流场计算数学模型推导

4.边界条件

自由表面动力学边界条件：2.1流场计算数学模型推导

自由表面静力学边界条件：5.计算模型推导

速度项：水质点合速度

流体无旋有势2.1流场计算数学模型推导

连续方程：Laplace方程

力平衡方程：对两个方程分别沿x和z向积分相加，得到Bernoulli方程或两个控制方程，解两个待定变量：2.1流场计算数学模型推导

5.计算模型推导

Laplace方程为线性的偏微分方程。

Bernoulli方程为非线性偏微分方程，V2为速度势的平方项，呈非线性。

自由表面动力学边界条件中

为速度势的平方项，呈非线性。2.1流场计算数学模型推导

5.计算模型推导

为求解波浪作用下的流场的速度势和压力项，须联立求解Laplace方程和Bernoulli方程，并须同时满足底部边界条件和自由表面静力学与运动学边界条件。

由于Bernoulli方程和自由表面动力学边界条件方程为非线性的，为简化计算有两种途经可以应用：

将上述两个方程线性化，得到相应的解析解；

对非线性项摄动展开，取有限阶数，得到相应的数值解。2.1流场计算数学模型推导

2.2线性波理论线性波理论来自对于波浪作用下流场计算控制方程的简化,在控制方程和自由表面运动学边界条件中忽略：这一假定在什么样条件下成立？显然，唯有对微幅波才有意义。通常，在H/L<<0.1

和

d/L>1/20

条件下，可以接受线性化的近似。

线性波理论称之为Airy波理论，微幅波理论，小波幅理论。2.波浪作用下流场计算

1.线性化控制方程和边界条件

连续方程(线性)

力平衡方程(线性化)(1)(2)2.2线性波理论

底部边界条件(线性)

自由表面静力学边界条件(线性)(3)(4)2.2线性波理论

自由表面动力学边界条件(线性化)

(5)于是，求解Laplace方程(1)，并同时满足力平衡方程(2)，和边界条件(3)，(4)与(5)，可以得到波浪作用下流场速度势函数的解。2.2线性波理论2.解Laplace方程

分离速度势函数为沿x与z两个方向的函数积：

于是，Laplace方程也被分离成两式：2.2线性波理论

两式的通解形式为：

上述各式中的C

为波速。两个二阶偏微分方程经积分得到的解中含4个积分常数A1，A2，A3，和

A4.它们将由流场中的力平衡条件和所有的边界条件来确定。2.2线性波理论3.确定积分常数与速度势函数设定波为余弦波，即t=0

和x=0时，为波峰位置。由力平衡方程(2),在自由表面有

p=pat-pat=0,所以

由于波为余弦波，速度势函数只能是正弦函数，那么必须有：2.2线性波理论根据底部边界条件(3)，当z=-d：那么，唯有才可以实现2.2线性波理论于是，Laplace方程通解的形式可进一步简化为：2.2线性波理论速度势函数的另一通解：为波幅，由自由表面边界条件得出：2.2线性波理论2.2线性波理论波幅为：

于是，可以得到波浪作用下流场的速度势函数：其中：k为波数。2.2线性波理论2.3流场要素分析

1)波数：波传播一个波长，水质点震荡一周，2)波速：波峰传播的速度，其中：为波数。于是2.波浪作用下流场计算

3)色散关系：根据自由表面动力学边界条件

和自由表面的Bernoulli方程可以得到为自由表面边界条件(静力学与运动学边界条件)。2.3流场要素分析代入速度势函数，整理后得到

表达了不同水深处水质点的震荡圆频率。相应的波速可以记为

表达了不同水深处波峰的传播速度。2.3流场要素分析2.3流场要素分析4)水质点的运动参数波浪作用下的流场速度势函数

其中2.3流场要素分析

水平速度分量：

垂直速度分量：2.3流场要素分析

水平加速度分量：

垂直加速度分量：2.3流场要素分析

水平位移分量：

垂直位移度分量：2.3流场要素分析5)压力分布：在小波幅假定下，压力中动压力成分不大，所以压力场随水深而改变

波浪作用下每个深度上是一个等压面。2.3流场要素分析6)水深影响

对于深水：假定从速度势函数中的水深项可以看出，由于即所以和有2.3流场要素分析

深水的速度势函数为：相应的色散关系为：注意到当，有

可以看出波浪运动对于水的扰动仅限于厚度为半个波长的表明一层

波浪运动的表面性。2.3流场要素分析

对于浅水：假定从速度势函数中的水深项可以看出，由于即所以，有，2.3流场要素分析

浅水的速度势函数为：相应的色散关系为：2.3流场要素分析7)波面形状

根据Bernoulli方程，在自由表面有：可以看出波面形状为一余弦波，同原设定形状一致。2.3流场要素分析8)水质点的运动轨迹

根据轨迹方程：为圆方程。水质点以其平衡位置(x0,z0)作圆周运动。圆的半径随水深的增加而衰减，当z=-L/2时，几乎为零。

对于深水：2.3流场要素分析

根据轨迹方程：为椭圆方程。水质点以其平衡位置(x0,z0)作椭圆运动。椭圆的短轴随水深的增加而衰减，当z=-d时为零。但长轴不为零。这符合底部不可穿透的假定。

对于浅水：2.3流场要素分析不论是深水还是浅水，水质点在波浪作用下仅在其平衡位置上作震荡(以圆或椭圆为轨迹)，而不改变其平衡位置，也没有宏观移动

波浪运动无质量传递。例：测船航速的应用2.3流场要素分析水质点的运动轨迹:对于深水2.3流场要素分析水质点的运动轨迹:对于有限水深2.3流场要素分析水质点的运动轨迹:对于浅水2.3流场要素分析12.5非线性波理论

线性波理论给出的是非线性波的一次近似解，当波陡H/L

足够大时，必须考虑高阶解的影响。鉴于非线性解的复杂性，工程上通常应用数值方法求解。工程设计中，对于极端海况具有相当大的波陡，如，在北海，百年一遇的波，波高为32m，相应的波长在400m左右，H/L达到0.08，非线性影响是十分严重的。所以，海洋结构物设计中通常须按5

阶或

8

阶波计算。2.波浪作用下流场计算

1目前，广泛应用的是基于摄动解的Stokes理论。原始的Stokes波为5阶的。计算机和数值方法的发展，导致非线性波的速度势函数解不会受到阶数的限制，仅取决于工程计算精度的需要，如，Schwartz算法。2.5非线性波理论

11)Stokes理论的基本原理

Stokes把非线性波作用下流场的速度势函数及其相关变量表达为摄动级数，即

代入Laplace方程，并在Bernoulli方程与自由表面动力学边界条件中，计入非线性项的影响，即

然后，推导出速度势函数及其响应变量的摄动解的各阶系数。这些系数被制成同相对波高H/L，相对水深d/L

的表，供实际应用。和2.5非线性波理论

1

速度势函数：

波面形状：

波速：2.5非线性波理论

1

上式中诸多系数，

均为H/L

和kd

的函数，有专门的对数表可以查得。其中2.5非线性波理论

12)Schwartz算法的基本原理

Schwartz将物理平面上的一个波长的自由表面与海底和两“侧壁”所控制的水域，通过保角变换在映射平面上得到一个同心圆环。2.5非线性波理论

1

变换函数为

映射平面中的复速度势函数为已知的，即

映射平面中的复速度为2.5非线性波理论

13.非线性波的简化算法

给定条件

确定计算水深

计算系数阵2.5非线性波理论

12.5非线性波理论

1

计算系数2.5非线性波理论

1

确定摄动小量

计算速度势函数各阶系数和波速2.5非线性波理论

1

确定速度势函数2.5非线性波理论

14.流场参数变化

波型变化2.5非线性波理论

1

波型变化对于静止水面而言，上波峰增高，下波谷也增高；峰谷关于时间轴对称性改变，波谷在时间轴上的跨距增大；就整个波型来看，波谷趋于平坦，波峰趋于陡峭。

坦谷波。2.5非线性波理论

1

流场水质点速度变化S-1:Stokes一阶近似；S-4-1:Stokes四阶近似，波速一阶近似；S-4-2