双曲线的简单几何性质课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章

圆锥曲线的方程3.2.2

双曲线的简单几何性质椭圆双曲线定义方程焦点在x轴上焦点在y轴上焦点a、b、c的关系F1(－c，0)、F2(c，0)a>0，b>0，c2=a2+b2

a、b、c中

c最大a>b>0，a2=b2+c2

a、b、c中

a最大||MF1|－|MF2||=2a(a<c)|MF1|+|MF2|=2a(a>c)F1(0，－c)、F2(0，c)F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)复习引入范围、对称性、顶点、离心率思考：类比椭圆的几何性质的研究，双曲线应该研究哪些几何性质？双曲线的几何性质(一)双曲线的顶点xyO以双曲线

为例：★

A1(-a,0)、A2(a,0)叫做双曲线的顶点令

y＝0，得

x＝±a但也在

y

轴上画出特殊点

B1(0,-b)、B2(0,b)⇒与

x轴有两个交点令

x＝0，得

y2＝－b2无解

⇒与

y轴无交点★

线段

A1A2叫实轴，长等于2a，a叫实半轴长.★

线段

B1B2

叫虚轴，长等于2b，b叫虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线

知识运用1.求出

的实轴和虚轴的长、顶点坐标和焦点坐标说明双曲线位于直线

x＝-a的左侧与直线

x＝a的右侧的区域，向左右两边无限延伸.x≤－a或

x≥a，y∈ROxF1F2y★

范围：以双曲线

为例：(二)双曲线的范围xyO同理，双曲线

两支分别位于直线

y＝-a

的下侧与直线

y＝a

的上侧，向上下两边无限延伸．x∈R，y≤－a或

y≥a★

范围：(二)双曲线的范围观察图像，双曲线具有怎样的对称性？.xyOxyO原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形★

双曲线关于

x轴、y轴和原点都对称..(三)双曲线的对称性定义：双曲线的焦距(2c)与实轴长(2a)的比

叫做双曲线的离心率(c＞a＞0)范围：

e＞1(四)双曲线的离心率含义：离心率表示双曲线的开口大小；离心率越大，双曲线开口越大。知识运用Cxyo当双曲线的两支向外延伸时，与矩形的两条对角线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.以双曲线

为例：直线

x＝±a

和直线

y＝±b

围成了一个矩形，

(五)双曲线的渐近线(五)双曲线的渐近线★

焦点在

x轴上的渐近线方程：★

焦点在

y轴上的渐近线方程：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交辨析：双曲线与椭圆的不同点(3)双曲线有实轴、虚轴，椭圆有长轴、短轴．(4)渐近线：双曲线两条渐近线是特有的．(6)a，b，c：双曲线中

c²＝a²＋b²，椭圆中a²＝b²＋c²．(1)曲线支数：双曲线是

2支曲线，椭圆是

1条封闭曲线．(2)顶点个数：双曲线有

2个顶点，椭圆有

4个顶点．(5)离心率：双曲线离心率e∈(1，＋∞)，椭圆离心率e∈(0，1)．例题讲解例1

求双曲线

的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率．即实半轴长

a＝3，虚半轴长b＝4；

所以c²＝a²＋b²＝25，即c＝5．

故焦点坐标为F1(-5,0)、F2(5,0)；离心率解：由双曲线的标准方程

可知，

渐近线方程为

，a2＝9，b2＝16，练1

已知双曲线方程为4x2－y2＝-4，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.变式训练例题讲解例2

已知双曲线的中心在原点，焦点在

x

轴上，虚半轴长为

，离心率为

3，求该双曲线的标准方程．解：由已知得，b2＝8，则

所以

a2＝1由于双曲线的焦点在

x

轴上，该双曲线的标准方程为∴双曲线的方程为解：∵2a＝16，即a＝8，又∵渐近线方程练2

已知双曲线顶点间距离是16，离心率

，焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.焦点坐标为F1(-10，0)，F2(10，0).所以

c＝10，变式训练变式训练练3

求离心率

，经过点M(-5，3)的双曲线的标准方程.解：由题意知

，

，

则

所以

.①若焦点在

x轴上，设标准方程为

.代入点M(-5，3)，解得.②若焦点在

y轴上，设标准方程为

.代入点M(-5，3)，解得

，故舍去综上：双曲线标准方程为例3

求出下列双曲线的渐近线方程．(1)(2)(3)解：(1)因为

，

，渐近线方程为.(2)方程化为

，所以

，

，渐近线方程为.(3)方程化为

，所以

，

，渐近线方程为.例题讲解形如

的双曲线渐近线方程都为.总结归纳因为双曲线过点(－1，2)，所以将坐标代入方程可得解：设所求双曲线的方程为练4求与双曲线

有相同的渐近线，且过点(－1，2)的双曲线的标准方程．变式训练方程焦点顶点范围对称性虚实轴离心率渐近线F1(-c，0)，F2(c，0)A1(-a，0)，A2(a，0)x≤-a或x≥a

y≤-a或y≥a

中心：原点；对称轴：x轴、y轴实轴长：2a；虚轴长：2bF1(0，-c)，F2(0，c)A1(0，-a)，A2(0，a)归纳总结

BCD多选

C√

C【解析】由题意得，

，所以

5.中心在原点，焦点在

x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是

.

x2－y2=8结论：双曲线的焦点到渐近线的距离恒等于b.6.xyOF1F2••【解析】

，故双曲线的右焦点为F(4，0)双曲线的渐近线的方程为：则右焦点到渐近线的距离为：

7.已知双曲线的标准方程为

的左右焦点分别为F1、F2，点P为双曲线上一点，且

，

，则双曲线的离心率为

.

课后作业(课本P124第1题)解：

1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.课后作业(课本P124第1题)解：

1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.课后作业(课本P124第1题)解：

1.求下列双