★命题域聚焦　平行四边形中的折叠问题

第一部分知识梳理课程重构

第五章四边形本章知识导图★命题域聚焦平行四边形中的折叠问题例1

[2025·合肥瑶海区一模]如图所示，在▱ABCD中进行折叠操作，使得点C恰好落在AD边上的点C'处.已知∠1＝60°，∠2＝42°，那么∠C的度数为(

)

A.102°B.108°C.126.5°D.130°B类型1一次折叠问题变式

如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，沿AE将△ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处.若△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，则FD的长为(

)

A.5B.6C.7D.8C

3

类型2多次折叠问题

例4

[2023·广西]【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连接AB'，BB'，BE'.请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；图1【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接P'B'.请完成：(3)证明BB'是∠NBC的一条三等分线.图2

1.如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'处，连接DB'，CB'.已知∠BCD＝120°，∠BAE＝50°，则∠CDB'的度数为(

)A.5°B.10°C.15°D.20°针对训练D

A3.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于点G，连接AG，CF.现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②GF＝CF；③FC∥AG；④S△GFC＝14.4.其中结论正确的是(

)

A.①③④B.②③④C.①②③D.①②④A

5.[2024·淮北期末]在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，E为线段CD上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，当△CEF为直角三角形时，DE的长为

.

图1

图26.【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.【操作实践】如图，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B'处，折痕交AB于点E，再沿着过点B'的直线折叠，使点D落在B'C上的点D'处，折痕交CD于点F.将纸片展平，画出对应点B'，D'及折痕CE，B'F，连接B'E，B'C，D'F.

BE＝CF

∠ECB'＝∠CB'F

经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一.方法一：证明△AB'E≌△D'CF，得到B'E＝CF，再由B'E＝BE可得结论.方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB'G，然后证B'G＝B'E可得结论.请补充上述过程中横线上的内容.【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程.解：(2)方法一：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝AD.由折叠可得∠EB'C＝∠B＝90°，B'D＝B'D'，BC＝B'C＝AD，∠B'D'F＝∠D＝90°，BE＝B'E，∴AD－B'D＝B'C－B'D'，即AB'＝CD'.由(1)知∠CB'D＝∠BCB'，又∵∠AB'E＋∠CB'D＝180°－∠EB'C＝90°，∠BCB'＋∠D'CF＝∠BCD＝90°，