第3章 刚体和流体

第3章刚体和流体1刚体,就是在外力作用下,形状和大小都不改变的物体.也就是说,刚体内各质点之间的距离保持不变,刚体的各部分之间没有相对运动。气体或液体的分子可以以整体的形式从一个位置流动到另一个位置,这是它们与固体不同的一个特点,即具有流动性.由于这种流动性,把气体和液体统称为流体.其特殊性主要表现为连续性和流动性.流体力学又分为流体静力学、流体动力学。本章前部分主要研究刚体的基本运动规律.后部分介绍流体的基本概念和规律。2第一节刚体的运动学一、刚体的平动和转动1、平动：运动过程中,如果各个时刻刚体中任意一条直线始终保持彼此平行。特点：各点运动轨迹的形状相同,且彼此平行;每一瞬时各点的速度、加速度相等。因此可用刚体上任意一点的运动来描述平动刚体的运动.32、转动:如果刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动就称这一运动为刚体转动，此直线称为转轴。转轴固定于参考系(即转轴的位置和方向相对于参考系是固定的)的情况称为定轴转动。若转轴上有一点静止于参考系，而转轴的方向在变化，这种转动称为定点转动。二、刚体的定轴转动描述刚体的运动,首先要确定刚体的位置.在定轴转动的情况下,转轴已固定,取垂直于转轴(z轴)的平面为转动平面,如图所示,在此转动平面内取一坐标轴,这样就可以对刚体转动作定量描述.41.刚体角坐标和角位移在转动平面内任选一点A,设A的位置矢量为r,因其大小不变,故其位置可由自x轴转至OA的角θ表示，此θ称为定轴转动刚体的角坐标。规定自x轴逆时针转向OA时θ为正。运动方程：2、角速度刚体上各点的角速度都相同。因此角速度是描述整个刚体转动快慢的物理量。5在工程中,把每分钟转动的圈数称为转速,用n表示,单位为转／分,则ω与n的关系为3.角加速度角速度和角加速度在描述刚体定轴转动中所起的作用与质点运动中速度和加速度的作用相似。因此常把它们对应起来看待，速度与角速度相对应,加速度与角加速度相对应。6与质点运动学相似，对于定轴转动的刚体，若已知运动方程，容易求出角速度和角加速度(求导数)；若已知角加速度和初始条件，亦很容易求出角速度和运动方程(积分)。对于匀速定轴转动有对于匀变速定轴转动有4、定轴转动的刚体上某点的速度和加速度定轴转动刚体上的各点都在绕轴上的一点作圆周运动,具有相同的角速度。7M点的加速度分别用切向加速度和法向加速度表示例3.1(P77)：本题为已知运动方程，求角速度和角加速度，进而求线速度和线加速度的问题。作业（P112）：3.98第二节刚体动力学一、刚体的转动动能刚体绕定轴转动时，构成刚体的所有质点的动能和，称为刚体的转动动能。设某时刻刚体绕z轴转动的角速度为ω,刚体中任一质元的动能为对构成刚体的所有质元求和即得整个刚体的动能9二、刚体的转动惯量1、转动惯量

由前面讨论可知,刚体的转动惯量转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方的乘积的和，而与质元的运动速度无关。与平动动能比较，转动惯量相当于平动时的质量。是物体在转动中惯性大小的量度。10如果刚体的质量是连续分布的，将求和变为积分刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布、转轴的位置有关。因此，在谈及转动惯量时，必须明确哪一刚体对哪一转轴的转动惯量。转动惯量的单位和量纲：2、平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量等于它对通过刚体质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴距离的平方的乘积。即113、正交轴定理：薄板状刚体的质量均匀分布时，它对于板面内的两条正交轴的转动惯量之和，等于过这两轴的交点且垂直于板面的轴的转动惯量例3.2（P79）例3.3（P79）12三、刚体的重力势能构成刚体的所有质点与地球组成的物体组的重力势能之和,称为刚体的重力势能表明：在计算刚体的重力势能时，刚体的质量可看作集中于刚体的质心。因此，只要确定了刚体的质心位置，其重力势能就确定了，而与刚体的方位无关。四、力矩与转动定理1、力矩：前已介绍在外力矩的作用下，刚体获得加速度。(以XOY平面为参考水平面)132、转动定律先以一质点为研究对象进行讨论。设有质量为m的质点与刚性轻杆相连,杆与转轴相连且垂直,现在对此质点作用一个大小为Fτ的切向力，如图3.6所示,则质点在此力作用下作圆周运动。根据牛顿第二定律有对于任意的刚体,可认为是由无穷个质点组成14表明：作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。此即为刚体定轴转动的转动定律。与牛顿第二定律比较可知,合外力矩与合外力对应;刚体的转动惯量J与质点的质量m对应。因此，转动定律可以看成是刚体定轴转动时的牛顿定律,它反映了力矩对定轴转动刚体的瞬时作用规律,它是刚体动力学的基本规律。转动定律15五、力矩的功与动能定理1、力矩的功在质点运动中，当外力作用于一质点上使它发生位移时，外力在作功.在刚体绕定轴转动的情况下，外力矩使刚体中的每一质元都作圆周运动，转过一定的角位移，我们就说外力矩对刚体作了功。如图所示,刚体绕Z轴转动.设外力Fi作用于点处A。经时间dt后，A沿半径为ri的圆周移动了微小的圆弧dsi,相应的角位移为dθi,则有16上式表明：外力的元功等于力矩与角位移的乘积.因此,对于定轴转动的刚体,外力的功与力矩有关.当刚体在外力矩作用下,从角位置θ0转到角位置θ时,力矩对刚体所作的总功为由此可见,当刚体转动时,外力矩所作的总功等于外力对转轴的合力矩对角位移的积分.上式是力矩对刚体作功的一般表达式。17说明：1）力矩所作的功并不是新的概念,本质上仍然是力的功,只是在刚体转动的特殊情况下可表示为力矩对角位移的积分而已。2）当力矩为常量时,力矩的功为3）对于内力矩的功也应有同样的形式,但由于刚体对转轴的合内力矩为零,内力矩的总功也为零.因此只考虑刚体所受的合外力矩的功.力矩的功率182、动能定理

对质点来说,外力的功等于质点动能的增量.这是质点的动能定理.那么外力矩的功与刚体的转动动能有什么关系?这就是绕定轴转动的刚体的动能定理所要讨论的内容.对于定轴转动的刚体,在沿轴向的外力矩(对转轴的外力矩)作用下,就要产生角加速度,从而引起角速度的大小的变化,使刚体的转动动能发生改变.由转动定律得19此式只对定轴转动的刚体适用,非刚体不再适用,因为非刚体内力矩的功不一定为零。例3.4一根质量为m,长为l的匀质棒AB,如图所示,棒可绕一水平的光滑转轴O在竖直平面内转动,O轴离A端的距离为l/3,今使棒从静止开始由水平位置绕O轴转动,求:1)棒在水平位置(启动时)的角速度和角加速度.2)棒转到竖直位置时的角速度和角加速度.3)棒在竖直位置时,棒的两端和中点的速度和加速度.20对细棒AB进行受力分析:重力,作用在棒中心(重心),方向竖直向下,重力的力矩是变力矩,大小等于mglcosθ/6,其中θ是棒的B端从水平位置下转的角度;轴与棒之间没有摩擦力,轴对棒作用的支撑力垂直于棒与轴的接触面而且通过点o,在棒的转动过程中,这力的方向和大小将是随时间改变的,但对轴的力矩等于零.1)212)棒从水平位置转到任意位置θ的过程中,合外力矩所作总功为由定轴转动刚体的动能定理有由此得作业(P112)：3.1022第三节定轴转动刚体的角动量守恒在质点力学的讨论中,我们知道力作用于质点有时间积累效应和空间积累效应,而力的时间积累效应表现为力具有冲量,此冲量可使质点的动量发生变化;力的空间积累效应则为力对质点所作的功。当力作用于定轴转动的刚体上时,力的两种效应将表现为力矩的两种效应,力矩的空间积累效应亦表现为力矩的功,而力矩的时间积累效应则为本节要讨论的内容。23一、角动量(动量矩)刚体定轴转动时,刚体上所有质元都在转动平面上作圆周运动。刚体上各个质元对轴的角动量的方向都相同，垂直于转动平面并沿转轴的方向。因此，定轴转动刚体的角动量大小等于刚体中各个质元角动量大小的总和。设刚体中某一质元的质量为Δmi,它到转轴的垂直距离为ri矢量性及单位ML2T-124同理可定义在dt时间内刚体对转轴的元冲量矩为那么在t1到t2时间内的冲量矩变为

冲量矩也是矢量,其方向与力矩的方向相同。在国际单位制中,冲量矩的单位为N•m•s,量纲为ML2T-1。可见冲量矩和动量矩的量纲相同，它们之间必有某种关系。下面讨论它们之间的关系。二、动量矩定理在刚体绕定轴转动中,若转动惯量为恒量,则刚体的转动定律可以写成25这样,刚体转动定律用角动量可表述为：定轴转动物体的角动量的时间变化率等于物体所受的合外力矩。说明：上式表示的转动定律比转动定律具有更广泛的适用性，它既适用于刚体，又适用于一般物体，即也适用于质点间距离不恒定，转动惯量可变化的物体。变形角动量定理26三、动量矩守恒定律如果刚体所受合外力矩M=0，则在日常生活中,动量矩守恒的例子很多.例如：(1)对于单个刚体，如果转动惯量为常数，在外力矩为零的条件下，角速度将保持不变。如磨削用的砂轮，在切断电源后，由于阻力矩很小，可以旋转很长的时间。如果考虑其间一小段时间，可以认为外力矩为零，故角速度恒定，刚体靠惯性作匀角速度转动。动量矩守恒定律27(2)对于转动惯量可变的力学系统。在外力矩为零的条件下，转动惯量减小，角速度增加；反之，转动惯量增加，角速度减小。如舞蹈演员、溜冰运动员在做旋转动作时，往往出现两臂张开旋转,然后迅速把两臂收回靠拢身体，使自己的转动惯量迅速减小，从而使转速加快。停止时，又把两臂和腿伸开，使转动惯量增加，以降低转速，运动员就可以平稳地停下来。(3)当转动物体由几个刚体组成时，若整个系统所受合外力矩为零，则系统的动量矩守恒,即有28在工程上,两飞轮常用摩擦齿合器使它们以相同的转速一起转动例3.5(P88)：一根质量为m，长为2l的均匀细棒,可以在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动。开始时细棒在水平位置.一质量为m1的小球以速度u垂直落到棒的端点.设小球与棒作完全弹性碰撞.求碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度各等于多少?2930

确定一个物体的位置所需要的独立坐标数，称为这个物体的自由度数。在空间自由运动质点的位置需要三个独立坐标来确定其位置,因此,具有三个自由度;限制在平面或曲面上运动的质点,需要两个独立的坐标，因此具有两个自由度，限制在直线或曲线上运动的质点，只需一个坐标确定其位置，因此具有一个自由度。如果将飞机、轮船、火车都看成质点,那么,它们分别具有三个、两个和一个自由度。第四节刚体的自由度31对于一个可以在空间自由运动的刚体,具有几个自由度呢？通常,可将刚体的一般运动分解为刚体中任意一点c(例如质心)的平动和绕c点的转动.确定点c的位置需要三个独立坐标,为确定绕点c的转动除需要确定通过c点的任一转轴的三个方位角,还需确定刚体绕转轴转过的角度,由于三个方位角中只有两个是独立的,因此自由刚体具有6个自由度.当刚体的运动受到某种限制时,其自由度数将减少,例如沿直线滚动的车轮具有三个自由度(由于在平面内运动,质心需要两个自由度,另一个为绕转轴转过的角度),绕固定轴转动的刚体具有一个自由度,32完整地描述一个物体的运动所涉及到的坐标数不可能少于该物体的自由度数.通过对一个物体自由度的分析,有助于对该物体运动的描述。(p89图)作业(P113)：3.14、3.1833第六节流体的基本概念一、理想流体实际流体的运动是很复杂的.为了抓住问题的主要矛盾,并简化我们的讨论,即对实际流体的性质提出一些限制,然而这些限制条件并不影响问题的主要方面.在此基础上用一个理想化的模型来代替实际流体进行讨论.此理想化的模型即为理想流体。1.理想流体：不可压缩、没有粘滞性的流体即为理想流体。说明：1)实际流体是可压缩的,但就液体来说,压缩性很小.例如水,每增加一个大气压,水体积只34减小约二万分之一,这个数值十分微小,可忽略不计,所以液体可看成是不可压缩的.气体虽然比较容易压缩,但对于流动的气体,很小的压强改变就可导致气体的迅速流动,因而压强差不引起密度的显著改变,所以在研究流动的气体问题时,也可以认为气体是不可压缩的.2）实际流体在流动时都或多或少地具有粘滞性.所谓粘滞性,就是当流体流动时,层与层之间有阻碍相对运动的内摩擦力(粘滞力).例如瓶中的油,若将油向下倒时,可看到靠近瓶壁的油几乎是粘在瓶壁上,靠近中心的油流速最大,其它均小于中心的流速.35但有些实际流体的粘滞性很小,例如水和酒精等流体的粘滞性很小,气体的粘滞性更小,对于粘滞性小的流体在小范围内流动时,其粘滞性可以忽略不计.2.稳定流动流线：

流体的流动,可看作组成流体的所有质点的运动的总和,在某一时刻,流过空间任一点的流体质点都有一个确定的速度矢量,一般情况下,这个速度矢量是随时间改变的.但在任一瞬间,可以在流体中画出这样一些线,使这些线上各点的切线方向与流体质点在这一点的速度方向相同,这些线就叫这一时刻的流线。稳定流动：流体中流线上各点的速度都不随时间变化36流体作稳定流动时,流线的形状不会发生变化,流线也就成了流体质点的运动轨迹。例如:化工生产中常用管道输运流体物料.开始时,管内各处的流速都随时间变化,这时物料的流动就不是稳定流动;但在转入正常工作后,管内各处流速随时间变化就不显著了,这时物料的流动就可以看作稳定流动.又如水龙头流出的细水;水缓慢地流过堤坝等现象,在不太长的时间内都可以看作稳定流动。流管：如果在稳定流动的流体中划出一个小截面S,并且通过它的周边各点作许多流线,由这些流线所组成的管状体叫流管。流管是为了讨论问题方便所设想的.因为在稳定流动的流体中一点只能37有一个速度,所以流线是不能相交的.又由于速度矢量相切于流线,所以管内流体不会流出管外,管外流体也不可能流入流管里面,流管确实和真实的管道相似.我们可以把整个流动的流体看成是由许多流管组成的,只要知道每一个流管中流体的运动规律,就可以知道流体的运动规律.图3.1938二、实际流体在前面的讨论中,我们把流体当作理想流体看待.理想流体是不可压缩,没有粘滞性或粘滞性可忽略的流体.但是有些液体,例如前面讲过的油类,粘滞性较大,内摩擦阻力就必须考虑,既使粘滞性较小,内摩擦较小,但在长距离流动中,内摩擦力所引起的能量损失也不能忽略.所以我们还需要讨论实际流体.1.层流：愈靠近管壁,液体的速度愈慢,和管壁接触的液粒附着在管壁上,速度为零（紧靠管壁的液层由于液体分子与管壁分子之间的附着力作用,流速为零）.在中央轴线上的液粒速度最大.这种现象说明管内的液体是分层流动的,称为层流。39实际液体作层流时,相邻液层作相对滑动,两层之间存在着切向的相互作用力,称为内摩擦力或粘滞力.在图3.21中,为了表示得清楚一些,我们把相邻的两个液层画得分开远一点,并假设左边的液层流速比右边的液层流速要快.F是右液层作用于左液层的内摩擦力,F‘是左液层作用于右液层的内摩擦力.根据牛顿第三定律,它们是大小相等方向相反的.通过内摩擦力,流速快的液层对流速慢的相邻液层有推动前进的作用,而流速慢的液层对流速快的相邻液层则有阻止作用.图3.2140内摩擦力是由分子间的相互作用力引起的.液体的内摩擦力比气体大得多.内摩擦力和温度很有关系.液体的温度越高,内摩擦力越小,而气体则相反,内摩擦力随温度增加而增加。2.粘滞系数

在层流中,内摩擦力的大小与从一层到另一层液体流速变化的快慢程度有关，图3.22表示相距Δx的两个液层,它们的速度差为Δυ,比值Δυ/

Δx的极限dυ/

dx表示在A点速度沿x方向的变化率.称为在x方向上的速度梯度.图3.2241实验证明,内摩擦力的大小是和液层的接触面积S以及被考虑地点的速度梯度dυ/

dx成正比的,即式中的比例系数η称为液体的粘滞系数或内摩擦系数.它的值取决于液体的性质,并和液体的温度有关。粘滞系数的SI制单位是N•s•m-2或Pa•s。3.湍流：当流体流动的速度超过一定数值时,流体将不能再保持分层流动.外层的流体粒子不断卷入内层,形成漩涡。整个流动显得杂乱而不稳定，称为湍流。在水管及河流中都可以看到这种现象。42在一根管子中,影响湍流出现的因素除速度υ外,还有流体的密度ρ、粘滞系数η以及管子的半径r.我们可以把这些因素写成从上式可以看出,流体的粘滞性愈小,密度愈大愈容易发生湍流.细的管子不容易出现湍流.流体在作湍流时所消耗的能量要比层流多.另外湍流还有一个区别于层流的特点,就是它能发出声音。43第七节理想流体的流动一、连续性方程在一个流管中任意取两个与流管垂直的截面S1和S2(如图3.19).设流体在这两个截面处的速度分别是υ1和υ2.则在单位时间内流过截面S1和S2的体积应分别等于S1υ1和S2υ2.对于作稳定流动的理想流体来说,在同样的时间内流过两截面的流体体积应该是相等的.由此得:图3.1944这就是说,不可压缩的流体在管中作稳定流动时,流体流动的速度和管的横截面积成反比,粗处流速较慢,细处流速较快。上式称为流体的连续性方程。这一关系对任何垂直于流管的截面都成立.上式表明:理想流体作稳定流动时,流管的任一截面与该处流速的乘积为一恒量.表示单位时间流过任一截面的流体体积,称为流量.单位为米3／秒,那么“沿一流管,流量守恒”.这一关系称为连续性原理。理想流体是不可压缩的,流管内各处的密度是相同的这表示的是流体动力学中的质量守恒定律。45二、伯努利方程伯努利方程式是流体动力学中一个重要的基本规律,用处很广,本质上它是质点组的功能原理在流体流动中的应用.当流体由左向右作稳定流动时,取一细流管,将其中的XY这一流体块作为我们研究对象如图3.23(a)所示.图3.2346在Δt→0的情况下,Δl1

→0Δl2→0，可以认为在这样微小距离内υ1和作用于S1上的压强P1是不变的,高度亦为h1;…同时设想S1和S2面积都未变,而且作用于它们上的压强是均匀的.让我们来分析一下在这段时间内各种力对这段流体所作的功以及由此而引起的能量变化.对这段流体作功的一种外力就是段外流体对它的压力,在图上用F1和F2表示,则：根据功