西师大版八年级上册压轴题数学模拟试卷

西师大版八年级上册压轴题数学模拟试卷一、压轴题1．问题背景：（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，请直接写出B点的坐标．2．在中，，是直线上一点，在直线上，且．（1）如图1，当D在上，在延长线上时，求证：；（2）如图2，当为等边三角形时，是的延长线上一点，在上时，作，求证：；（3）在（2）的条件下，的平分线交于点，连，过点作于点，当，时，求的长度．3．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．4．如图，若要判定纸带两条边线a，b是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB折叠的方式来进行探究．（1）如图1，展开后，测得，则可判定a//b，请写出判定的依据_________；（2）如图2，若要使a//b，则与应该满足的关系是_________；（3）如图3，纸带两条边线a，b互相平行，折叠后的边线b与a交于点C，若将纸带沿（，分别在边线a，b上）再次折叠，折叠后的边线b与a交于点，AB//，，求出的长．5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点的坐标，过点作轴，垂足为点，过点作直线轴，点从点出发在轴上沿着轴的正方向运动．（1）当点运动到点处，过点作的垂线交直线于点，证明，并求此时点的坐标；（2）点是直线上的动点，问是否存在点，使得以为顶点的三角形和全等，若存在求点的坐标以及此时对应的点的坐标，若不存在，请说明理由．6．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．7．请按照研究问题的步骤依次完成任务．（问题背景）（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．（简单应用）（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）（问题探究）（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；（拓展延伸）（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．8．在中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为3倍角三角形．（1）在中，，，则为________倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的，求的最小内角．（3）若是2倍角三角形，且，请直接写出的最小内角的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，，，，点、在轴上且关于轴对称．（1）求点的坐标；（2）动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿轴正方向向终点运动，设运动时间为秒，点到直线的距离的长为，求与的关系式；（3）在（2）的条件下，当点到的距离为时，连接，作的平分线分别交、于点、，求的长．10．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP=cm，CQ=cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？11．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．（1）a=；b=；直角三角形AOC的面积为．（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．12．已知：如图1，直线，EF分别交AB，CD于E，F两点，，的平分线相交于点K．（1）求的度数；（2）如图2，，的平分线相交于点，问与的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；（3）在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，请用含的n式子表示的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）13．如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．（2）如图3，在非等腰中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．14．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC=40°，则∠ACE=，∠DCE=，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．15．（阅读材料）：（1）在中，若，由“三角形内角和为180°”得．（2）在中，若，由“三角形内角和为180°”得．（解决问题）：如图①，在平面直角坐标系中，点C是x轴负半轴上的一个动点．已知轴，交y轴于点E，连接CE，CF是∠ECO的角平分线，交AB于点F，交y轴于点D．过E点作EM平分∠CEB，交CF于点M．（1）试判断EM与CF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，过E点作PE⊥CE，交CF于点P．求证：∠EPC=∠EDP；（3）在（2）的基础上，作EN平分∠AEP，交OC于点N，如图③．请问随着C点的运动，∠NEM的度数是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由．16．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．17．探究发现：如图①，在中，内角的平分线与外角的平分线相交于点．（1）若，则；若，则；（2）由此猜想：与的关系为(不必说明理由)．拓展延伸：如图②，四边形的内角与外角的平分线相交于点，．（3）若，，求的度数，由此猜想与，之间的关系，并说明理由．18．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．19．如图，在中，，过点做射线，且，点从点出发，沿射线方向均匀运动，速度为；同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动．连接，设运动时间为．解答下列问题：（1）用含有的代数式表示和的长度；（2）当时，请说明；（3）设的面积为，求与之间的关系式．20．如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．点P在线段AB上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）证明见解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）B(1，4)【解析】【分析】（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形解答即可；（3）根据△AEC≌△CFB，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°∴∠CAE＝∠ABD∵在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE即：DE＝BD＋CE（2）解：数量关系：DE＝BD＋CE理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）解：如图，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，由（1）可知，△AEC≌△CFB，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B的坐标为B（1，4）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；（2）过E作EF∥AC交AB于F，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，推出△BEF是等边三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH=CF=3．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF与△CAD中，，∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）连接AF，如图3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，，△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=AF=CF=3，∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键．3．（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a∥b，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；（3）分两种情况：①当B1在B的左侧时，如图2，当B1在B的右侧时，如图3，分别求出的长，即可得到答案．【详解】（1）∵，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故答案是：内错角相等，两直线平行；（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，若a∥b，则∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a∥b，则与应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①当B1在B的左侧时，如图2，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC-AA1=7-3=4；②当B1在B的右侧时，如图3，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC+AA1=7+3=10．综上所述：=4或10．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．5．（1）证明见解析；；（2）存在，，或，或，或，或，或，．【解析】【分析】（1）通过全等三角形的判定定理ASA证得△ABP≌△PCD，由全等三角形的对应边相等证得AP＝DP，DC＝PB＝3，易得点D的坐标；（2）设P（a，0），Q（2，b）．需要分类讨论：①AB＝PC，BP＝CQ；②AB＝CQ，BP＝PC．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a、b的值，得解．【详解】（1）轴在和中，（2）设，①，，解得或，或，或，或，②，，，解得，或，综上：，或，或，或，或，或，【点睛】考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．6．（1）（1）①125°；②，（2）；（3）【解析】【分析】（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得，结合（1）②的结论可得答案．【详解】解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α．故答案分别为125°，90°+α．（2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE∴，，∴＝即．（3）由轴对称性质知：，由（1）②可得，∴．【点睛】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．7．（1）见解析；（2）∠P=23º；（3）∠P=26º；（4）∠P=；（5）∠P=．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题；（4）根据题意得出∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，再结合∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，得到y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），从而可得∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=；（5）根据题意得出∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，再结合AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，所以∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=.【详解】解：（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的结论得：，①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=23°；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；故答案为：26°；（4）由题意可得：∠B+∠CAB=∠C+∠BDC，即y+∠CAB=x+∠BDC，即∠CAB-∠BDC=x-y，∠B+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+∠BAP=∠P+∠PDB，即y+（∠CAB-∠CAP）=∠P+（∠BDC-∠CDP），即y+（∠CAB-∠CAB）=∠P+（∠BDC-∠CDB），∴∠P=y+∠CAB-∠CAB-∠CDB+∠CDB=y+（∠CAB-∠CDB）=y+（x-y）=故答案为：∠P=；（5）由题意可得：∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠DAP+∠P=∠PCD+∠D，∴∠B-∠D=∠BCD-∠BAD，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠BAP=∠DAP，∠PCE=∠PCB，∴∠BAD+∠P=（∠BCD+∠BCE）+∠D，∴∠BAD+∠P=[∠BCD+（180°-∠BCD）]+∠D，∴∠P=90°+∠BCD-∠BAD+∠D=90°+（∠BCD-∠BAD）+∠D=90°+（∠B-∠D）+∠D=，故答案为：∠P=.【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型．8．（1）4；（2）的最小内角为15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据倍角三角形的定义判断即可得到答案；(2)根据△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答即可得到答案；(3)可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．【详解】解：(1)∵在中，，，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故为4倍角三角形；(2)设其中一个内角为x°，3倍角为3x°，则另外一个内角为：①当小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的时，即：x=（90°-3x），解得：x=15°，②3倍内角的度数是小内角的余角的度数的时，即：3x=（90°-x），解得：x=9°，③当时，解得：，此时：=，因此为最小内角，因此，△DEF的最小内角是9°或15°或．(3)设最小内角为x，则2倍内角为2x，第三个内角为（180°-3x），由题意得：2x＜90°且180°-3x＜90°，∴30°＜x＜45°，答：△MNP的最小内角的取值范围是30°＜x＜45°．9．（1）C（4，0）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根据对称的性质知为等边三角形，利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案；（2）利用面积法可求得，再利用坐标系中点的特征即可求得答案；（3）利用(2)的结论求得，利用角平分线的性质证得，求得，利用面积法求得，再利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案．【详解】（1）∵点、关于轴对称，∴，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴点C的坐标为：；（2）连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即：；（3）∵点到的距离为，∴，∴，∴，延长交于点，过点作轴于点，连接、，∵为的角平分线，为等边三角形，∴，，∵，，∴，∴，设，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，，∴，∴．【点睛】本题是三角形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理、灵活运用面积法求线段的长是解本题的关键．10．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由详见解析；（3）；（4）经过s点P与点Q第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和时间相乘可得BP、CQ的长；（2）利用SAS可证三角形全等；（3）三角形全等，则可得出BP=PC，CQ=BD，从而求出t的值；（4）第一次相遇，即点Q第一次追上点P，即点Q的运动的路程比点P运动的路程多10+10=20cm的长度．【详解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP(SAS)（3）∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP与CQ不是对应边，即BP≠CQ∴若△BPD≌△CPQ，且∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间t=s，∴cm/s；（4）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇．由题意，得x=3x+2×10，解得∴经过s点P与点Q第一次相遇．【点睛】本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．11．（1）6；8；24；（2）存在时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC，见解析【解析】【分析】（1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论,即可求出△ABC的面积；（2）先表示出OQ，OP，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出∠OAC=∠AOD，进而判断出OG∥AC，即可判断出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠GOD，即可得出结论．【详解】解：(1)解：（1）∵，∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；∴S△ABC=6×8÷2=24,故答案为（0，6），（8，0）；6；8；24(2)∵由时,∴存在时,使得△ODP与△ODQ的面积相等(3)）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y轴平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．12．（1）；（2），证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）过作KG∥AB，交于，证出∥KG，得到，，根据角平分线的性质及平行线的性质得到，即可得到答案；（2）根据角平分线的性质得到，，根据求出，根据求出答案；（3）根据（2）得到规律解答即可.【详解】（1）过作KG∥AB，交于，∵，∴∥KG，，，，分别为与的平分线，，，∵，，，，则；（2），理由为：，的平分线相交于点，，，，即，，，，；（3）由（2）知；同理可得=，∴.【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行；角平分线的性质；(3)是难点，注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答.13．（1）见解析；（2）仍然成立，见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和互补等对边四边形的定义可利用SAS证明△ABD≌△BAC，可得∠ADB=∠BCA，从而可推出∠ADB=∠BCA=90°，然后在△ABE中，根据三角形的内角和定理和直角三角形的性质可得∠ABD=∠AEB，进一步可得结论；（2）如图3所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G，F，根据互补等对边四边形的定义可利用AAS证明△AGD≌△BFC，可得AG=BF，进一步即可根据HL证明Rt△ABG≌Rt△BAF，可得∠ABD=∠BAC，由互补等对边四边形的定义、平角的定义和四边形的内角和可得∠AEB+∠DHC=180°，进而可得∠AEB=∠BHC，再根据三角形的外角性质即可推出结论．【详解】（1）证明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，∴△ABD≌△BAC(SAS)，∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=（180°−∠AEB）=90°−∠AEB，∴∠ABD=90°−∠EAB=90°−(90°−∠AEB)=∠AEB，同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；（2）∠ABD=∠BAC=∠AEB仍然成立；理由如下：如图3所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G，F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+∠ADG=180°，∴∠BCA=∠ADG，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∠AGD=∠BFC，∠ADG=∠BCA，AD=BC∴△AGD≌△BFC（AAS），∴AG=BF，在Rt△ABG和Rt△BAF中，∴Rt△ABG≌Rt△BAF（HL），∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．【点睛】本题以新定义互补等对边四边形为载体，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与三角形的外角性质以及四边形的内角和等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．14．（1）70°，40°，BC+DC=CE；（2）①α=β；②当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°．【解析】【分析】（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质和全等三角形的性质求出即可；（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°；（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，同理可证明△ABD≌△ACE（SAS），则∠ABD=∠ACE，推出∠BAC=∠DCE，即α=β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，由①得α=β；（3）当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，由CE∥AB，得∠ABC=∠DCE，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°；当D在线段BC上时，α+β=180°，由CE∥AB，得∠ABC+∠DCE=180°，推出∠ABC=∠BAC，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC，则△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°．【详解】（1）如图1所示：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B（180°﹣40°）=70°，BD=CE，∴BC+DC=CE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=40°，∴∠DCE=40°．故答案为：70°，40°，BC+DC=CE；（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠ACE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β=180°，如图2所示．理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE．∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴∠DAE+∠DCE=180°．∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，∴α+β=180°；（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，如图3所示．理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α=β；综上所述：当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°．理由如下：∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，即∠BAC=∠DCE．∵CE∥AB，∴∠ABC=∠DCE，∴∠ABC=∠BAC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°；∵当D在线段BC上时，α+β=180°，即∠BAC+∠DCE=180°．∵CE∥AB，∴∠ABC+∠DCE=180°，∴∠ABC=∠BAC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°；综上所述：当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质和多边形内角和等知识．本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．（1）EM⊥CF，理由见解析；（2）证明见解析；（3）不变，且∠NEM=45°，理由见解析．【解析】【分析】（1）EM⊥CF，分别利用角平分线的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理进行求证即可；（2）根据垂直定义和三角形的内角和定理证得∠DCO+∠CDO=90°，∠ECP+∠EPC=90°，再利用等角的余角相等和对顶角相等即可证得结论；（3）不变，且∠NEM=45°，先利用平行线的性质得到∠AEC=∠ECO=2∠ECP，进而有∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP，再由角平分线的定义∠NEP=∠AEN=45°+∠ECP，再根据同角的余角相等得到∠ECP=∠MEP，然后等量代换证得∠NEM=45°，是定值．【详解】解：(1)EM⊥CF，理由如下：∵CF平分∠ECO，EM平分∠FEC，∴∠ECF=∠FCO=，∠FEM=∠CEM=∵AB∥x轴∴∠ECO+∠CEF=180°∴∠EMC=180°-（∠CEM+∠ECF）=180°-90°=90°∴EM⊥CF（2）由题得，∠EOC=90°∴∠DCO+∠CDO=180°-∠EOC=180°-90°=90°∵PE⊥CE∴∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=180°-∠CEP=180°-90°=90°∵∠DCO=∠ECP∴∠CDO=∠EPC又∵∠CDO=∠EDP∴∠EPC=∠EDP(3)不变，且∠NEM=45°，理由如下：∵AB∥x轴∴∠AEC=∠ECO=2∠ECP∴∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP∵EN平分∠AEP∴∠NEP=∠AEN===45°+∠ECP∵∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=90°又∵∠EMC=90°∴∠MEP+∠EPC=90°∴∠ECP=∠MEP∴∠NEP=∠NEM+∠MEP=∠NEM+∠ECP又∵∠NEP=45°+∠ECP∴∠NEM=45°．【点睛】本题是一道综合探究题，涉及有平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、同（等）角的余角相等、对顶角相等、垂线性质等知识，解答的关键是认真审题，结合图形，寻找相关联信息，确定解题思路，进而探究、推理、论证．16．（1）2；（2）4【解析】【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证，则有FK=FH，因为HM=GH+MN易证，故可求解．【详解】（1）由题意知，故答案为2；（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，∠FNK=∠FGH=90°，，FH=FK，又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，，MK=FN=2cm，．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．17．（1）40°25°；（2）(或)（3）=【解析】【分析】（1）先根据两角平分线写出对应的等式关系，再分别写出两个三角形内角和的等式关系，最后联立两等式化解，将的角度带入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在与的平分线相交于点，可知，又因为，两直线平行内错角相等，得出，再根据三角形一外角等于不相邻的两个内角