中学数学课程标准与教材研究（第2版）课件 3 初中数与代数分析、04 初中图形与几何分析全章

第三章初中“数与代数”分析目录Contents目录01“数与代数”领域分析目录02“数与代数”教材分析01“数与代数”领域分析“数与代数”领域分析

4“数与代数”的主要内容和课标新变化“数与代数”的育人价值“数与代数”领域分析

5“数与代数”的主要内容和课标新变化“数与代数”的主要内容：数与式方程与不等式函数

6“数与代数”领域分析“数与代数”的主要内容和课标新变化“数与代数”的主要内容：

7增：负数意义、实数的构成成分，实数与数轴上点的对应关系以及实数的大小比较，能进行简单近似计算，了解代数推理，能利用乘法公式进行简单的推理，根据现实情境理解方程及其解的意义，了解一元二次方程根与系数的关系，理解函数值的意义，知道二次函数系数与对称轴的关系，会求二次函数的最大与最小值及其对应的自变量值，知道二次函数与一元二次方程之间的关系。“数与代数”领域分析“数与代数”的主要内容和课标新变化“数与代数”的课标新变化：

8删：有理数绝对值的含义理解，已知不共线三点求二次函数以及用顶点式表述一元二次方程的内容；并将对乘法公式推导过程的强度由推导降为理解。将小学阶段中的“负数”“方程”“反比例”相关内容调整到初中阶段。将根与系数的关系调整为必学内容。“数与代数”领域分析“数与代数”的主要内容和课标新变化“数与代数”的课标新变化：“数与代数”领域分析

9“数与代数”领域的育人价值（1）以“学业质量”为纲，明晰主题学习内容的走向。（2）以“课程内容”为基，促进学生核心素养的发展。10“学业质量”是新课标的重要组成部分且与课程内容紧密相关，为单元整体教学的开展提供重要依据，是对学生一段时间数学学习过后综合表现的一个直观反映。（1）以“学业质量”为纲，明晰主题学习内容的走向“数与代数”领域分析“数与代数”领域的育人价值11▪数与式学生通过对字母表示代数式以及代数式的运算的学习锻炼学生情境分析能力，能从生活情景、社会情境以及数学情境中抽象出数量关系，并用代数式表达数量关系，通过运算以及推理求取代数式的值，进而培养学生的运算能力、抽象意识以及推理能力。（1）以“学业质量”为纲，明晰主题学习内容的走向“数与代数”领域分析“数与代数”领域的育人价值12▪方程与不等式学生通过对方程与不等式的学习，能对具体问题情景进行数学化分析，并依据具体问题中的等量关系，列出方程或者不等式以解决具体问题。（1）以“学业质量”为纲，明晰主题学习内容的走向“数与代数”领域分析“数与代数”领域的育人价值13▪函数学生可以通过函数表达问题情境中的变量关系，探索变量间蕴含的数学规律，并借助函数图象特点以及表达式的性质解决实际问题。通过方程、不等式以及函数的学习，提升学生用数学眼光观察世界，并将现实问题转化成为数学问题，用数学思维探索、分析以及解决问题的能力，最终用数学语言对问题的解决方案、最终结果进行评估与表达，培养学生的应用意识、模型意识以及创新意识。（1）以“学业质量”为纲，明晰主题学习内容的走向“数与代数”领域分析“数与代数”领域的育人价值14课程内容整体性课程内容一致性课程内容阶段性（2）以“课程内容”为基，促进学生核心素养的发展“数与代数”领域分析“数与代数”领域的育人价值15▪课程内容一致性，做好学习内容的衔接小学：建立起模型的感觉与想法→模型意识初中：经历初建模型、修改模型、印证模型以及运用模型来解释、解决与阐述真实情境的过程→模型观念（2）以“课程内容”为基，促进学生核心素养的发展“数与代数”领域分析“数与代数”领域的育人价值16▪课程内容阶段性，顺应学生认知的发展在小学阶段的“数与运算”同初中阶段的“数与式”在本质上具备一致性（数的意义、运算律等），但其抽象程度的不同、表征水平的差异，在一致性上体现出阶段性。（2）以“课程内容”为基，促进学生核心素养的发展“数与代数”领域分析“数与代数”领域的育人价值02“数与代数”教材分析“数与代数”教材分析

18数与式方程与不等式函数19一、“数与式”教材结构在人教版和北师版教材中，“数与式”主题内容结构编排主要体现出两点不同：①内容分布②具体内容二、“数与式”具体内容分析——以“负数的引入”为例“数与代数”教材分析“数与式”20一、“数与式”教材结构①“数与式”内容分布有理数人教版北师版七年级上册·第一章·有理数七年级上册·第二章·有理数及其运算1.1正数和负数2.1有理数2.8有理数的乘法1.2有理数2.2数轴2.9有理数的除法1.3有理数的加减法2.3绝对值2.10有理数的乘方1.4有理数的乘除法2.4有理数的加法2.11科学计数法1.5有理数的乘方2.5有理数的减法2.12有理数的混合运算数学活动2.6有理数的加减混合运算2.13用计算器进行运算小结2.7水位的变化回顾与思考复习题1复习题21

实数人教版北师版七年级下册·第六章·实数八年级下册·第十六章·二次根式八年级上册·第二章·实数6.1平方根16.1二次根式2.1数不够用了6.2立方根16.2二次根式的乘除2.2平方根6.3实数16.3二次根式的加减2.3立方根数学活动数学活动2.4公园有多宽小结小结2.5用计算器开方复习题6复习题162.6实数

2.7二次根式回顾与思考复习题一、“数与式”教材结构①“数与式”内容分布22

整式人教版北师版七年级上册·第二章整式的加减八年级上册·第十四章整式的乘法与因式分解七年级上册·第三章整式及其加减七年级下册·第一章整式的乘除八年级下册·第四章因式分解2.1整式14.1整式的乘法3.1字母表示数1.1同底数幂的乘法4.1因式分解2.2整式的加减14.2乘法公式3.2代数式1.2幂的乘方与积的乘方4.2提公因式法数学活动14.3因式分解3.3整式1.3同底数幂的除法4.3公式法小结数学活动3.4整式的加减1.4整式的乘法回顾与思考复习题2小结3.5探索规律1.5平方差公式复习题

复习题14复习与思考1.6完全平方公式复习题1.7整式的除法回顾与思考复习题一、“数与式”教材结构①“数与式”内容分布23

分式人教版北师版八年级上册·第十五章·分式八年级下册·第五章·分式与分式方程15.1分式5.1认识分式15.2分式的运算5.2分式的乘除法15.3分式方程5.3分式的加减法数学活动回顾与思考小结复习题复习题15一、“数与式”教材结构①“数与式”内容分布24

“有理数”部分

人教版北师版不同点章前言以北京气温、油菜籽产量以及收支数据为例子。对于负数，从数的演变视角进行引入。从生活中引入数轴概念，温度计作为思考题进行设置。从运动位置变化视角引入有理数的加法。章前言以气温、方位为例。以具体的实例引出负数，并对负数的历史进行简要介绍。以温度计为引，对数轴进行学习。以答题正误得分情况为例子引入有理数的加法，特别增加了加减混合运算，以水位变化的实例进行应用。乘方以细胞分裂为背景进行引入。最后增添了有理数的混合运算一节。相同点两个版本教材从负数入手，逐步引出有理数的概念及分类。通过数轴这一工具深入理解有理数的内涵，体会有理数的相反数与绝对值。并且通过数轴理解有理数加减法的含义。两个版本的教材均注重知识间的逻辑顺序，将知识与问题情境相结合，助力学生对有理数的理解。一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容25

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“有理数”部分人教版

章前言

北师版

章前言

26

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“有理数”部分人教版

负数的引入

北师版

负数的引入

27

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“有理数”部分人教版

数轴的引入

北师版

数轴的引入

28

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“有理数”部分人教版

有理数的加法

北师版

有理数的加法

29

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“有理数”部分北师版

有理数的加减混合运算

北师版

有理数的乘方

30

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“有理数”部分北师版

有理数的混合运算

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“实数”部分

人教版北师版不同点章前言以宇宙飞船离开地球时的速度，以及边长为1的正方形对角线长度，引出本章节所学内容。平方根的给出缺少了必要性的引入部分。二次根式的相关内容与实数部分相分离，在七八年级分别呈现，在实数的理解上存在着间断。章前言以毕达哥拉斯学派的断言，以及圆周率的精准表达为例子，逐步引出本章所学内容。引入平方根前，用实例说明数系扩充的必要性，引出平方根。突出学生用计算器开平方的内容。相同点对于“实数”部分，两个版本的教材均注重运算律引入、分析以及应用，通过练习巩固平方根、立方根、二次根式的相关运算法则，提高学生的运算能力。一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容32

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“实数”部分人教版

章前言

北师版

章前言

33

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“实数”部分人教版

平方根

北师版

平方根的引入

34

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“实数”部分人教版

二次根式

北师版

用计算器开方

35

“代数式”部分

人教版北师版不同点用字母表示数放在整式的一节内，以此引出对单项式、多项式，并作为整式提出的基础。对于整式的加减法算理的阐述以及练习更多。整式的乘除与因式分解放在一起。对于整式的乘法以电子计算机的运算次数为引子，同底数幂的除法放在整式乘法后，作为其中的一部分。平方差公式与完全平方公式作为乘法公式这节的两部分内容。因式分解直接呈现相应的算理，辅以习题作为巩固。将用字母表示数以及代数式同整式分节呈现。以不同的现实场景以及问题情境加深学生对用字母表示数以及代数式的理解，更有助于对整式的理解。对于整式的加减法算理的阐述较少。整式的乘除与因式分解分章节呈现。对于整式的乘法，以比邻星与地球间的距离为引子；对于幂的乘方与积的乘方，以不同星体的体积的倍数作为引例。同底数幂的除法放在整式乘法之前，与之前内容形成呼应。平方差公式与完全平方公式作为单独两节内容。通过拼图引入因式分解。相同点整式的提出均建立在用字母表示数的基础上。代数式的整体学习过程，突出算理的重要性，通过例题、习题辅助学生熟悉并掌握代数的诸多运算法则。一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容36

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“代数式”部分人教版

用字母表示数

北师版

用字母表示数及代数式

37

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“代数式”部分北师版

整式加减法

人教版

整式加减法

38

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“代数式”部分人教版

整式的乘法引入

北师版

整式的乘法引入

39

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“代数式”部分人教版

整式的除法引入

北师版

整式的除法引入

40

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“代数式”部分人教版

乘法公式

北师版

乘法公式

41

一、“数与式”教材结构②“数与式”具体内容——“代数式”部分人教版

因式分解（公式法）

北师版

因式分解引入

“数与式”42

从以下三个方面对人教版教材与北师版教材的内容结构与编排进行对比：（1）负数的产生缘由（2）负数的概念提出（3）负数的练习巩固二、“数与式”具体内容分析——以“负数的引入”为例“数与代数”教材分析“数与式”43

二、“数与式”具体内容分析——以“负数的引入”为例（1）负数的产生缘由

人教版北师版具体内容人教版教材从历史规律视角阐述数的产生与发展，然后过渡到负数的产生缘由，是数学史的引入呈现。北师版教材以活动探究的形式阐述负数产生的必要性，是组织探究性教学活动的示例。对比分析二者对学生负数的认知均具有促进作用，一方面感悟数学对生产实践的助推并体会数学的实用价值，另一方面通过探究调动学生学习积极性。44

二、“数与式”具体内容分析——以“负数的引入”为例（1）负数的产生缘由北师版人教版45

人教版北师版具体内容人教版教材对于负数概念的提出基于现实生活生产的需要，如：生活中需要对温度进行表示与记录等。归纳出负数的概念过程中，以正数的表达方式作为负数表达方式书写的工具，将大于0的数叫做正数，在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数。此外，在正文旁边增添古代“算筹”（表示数的工具）知识。北师版教材对负数概念的提出，通过像“加分与扣分”“上涨与下跌”“零上温度与零下温度”相反量的对比，借助正数的表达来对负数的概念进行刻画。即“把其中的一个量规定为正的，用正数来表示，而把这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示”，并用具体的数值进行刻画，上涨3.3%记作+3.3%，下跌0.6%记作-0.6%。对比分析两个版本教材对于负数的定义均是对具体事例的抽象，通过与正数对比进行定义。二、“数与式”具体内容分析——以“负数的引入”为例（2）负数的概念提出46

二、“数与式”具体内容分析——以“负数的引入”为例（2）负数的概念提出人教版北师版47

人教版北师版具体内容对比分析两个版本教材例题均指向了问题情境中运用负数的概念，难度适合学生。负数概念的应用能助力学生深入理解负数。两个版本的习题同各自例题相似，即在问题情境中进行负数运用，体现在负数概念、表达式的巩固，是对例题的一次延伸与拓展，共同促进学生对负数的理解与运用。二、“数与式”具体内容分析——以“负数的引入”为例（3）负数的练习巩固48一、“方程与不等式”教材结构在人教版和北师版教材中，“方程与不等式”主题内容结构编排主要体现出两点不同：①内容分布②具体内容二、“方程与不等式”具体内容分析——以“二元一次方程组的解法”为例“数与代数”教材分析“方程与不等式”49

人教版北师版七年级上册·第三章一元一次方程七年级下册·第八章二元一次方程组七年级上册·第五章一元一次方程八年级上册·第五章二元一次方程组3.1从算式到方程8.1二元一次方程组5.1你今年几岁了5.1谁的包过多3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项8.2消元——解二元一次方程组5.2解方程5.2解二元一次方程组3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母8.3实际问题与二元一次方程组5.3我变高了5.3鸡兔同笼3.4实际问题与一元一次方程8.4三元一次方程组的解法5.4打折销售5.4增收节支数学活动数学活动5.5“希望工程”义演5.5里程碑上的数小结小结5.6能追上小明吗5.6二元一次方程与一次函数复习题3复习题8回顾与思考5.7三元一次方程组复习题回顾与思考复习题八年级上册·第十五章·分式八年级下册·第五章·分式与分式方程15.3分式方程5.4分式方程一、“方程与不等式”教材结构①“方程与不等式”内容分布50

人教版北师版九年级上册·第二十一章一元二次方程七年级下册·第九章不等式与不等式组九年级上册·第二章一元二次方程八年级下册·第二章一元一次不等式与一元一次不等式组21.1一元二次方程9.1不等式2.1认识一元二次方程2.1不等关系21.2解一元二次方程9.2一元一次不等式2.2用配方法求解一元二次方程2.2不等式的基本性质21.3实际问题与一元二次方程9.3一元一次不等式组2.3用公式法求解一元二次方程2.3不等式的解集数学活动数学活动2.4用因式分解法求解一元二次方程2.4一元一次不等式小结小结2.5一元二次方程的跟与系数的关系2.5一元一次不等式与一次函数复习题21复习题92.6应用一元二次方程2.6一元一次不等式组回顾与思考回顾与思考复习题复习题一、“方程与不等式”教材结构①“方程与不等式”内容分布51

“方程与方程组”部分

人教版北师版不同点对一元一次方程，章前言，以速度、路程与时间的关系作为背景信息，引出本章所学内容即方程。在引出一元一次方程中，通过客车、卡车的路程问题，直接引出一元一次方程的定义。对于等式性质的学理分析偏多，以较大篇幅呈现。突出对合并同类项的思考。以具体的解方程操作步骤归纳解方程的具体步骤，整体上偏向于算理的详细阐述。对于分式方程，注重其与一元一次方程之间的转换过程阐述，详细阐释其中的算理与操作步骤。对于使得分式方程分母为零的根并未作新的定义，而是融入到运算法则的阐述中。对于二元一次方程组，章引言以篮球比赛球队胜负作为背景，引出本章学习内容。直接沿用章引言的问题情境，引出二元一次方程组。突出消元法在解二元一次方程组中的重要地位，重在对算理的阐述与练习。在一元二次方程部分，章引言以雕塑上半身与下半身的比例引出本章节所学内容。在配方法上，更注重方法的流程图形式的总结。对一元一次方程，章前言，以古希腊数学家丢番图的墓志铭为背景，引出本章所学内容即方程。对于一元一次方程的引入，更注重从现实情境入手。通过猜年龄、种树、路程以及人口普查多个例子，借助归纳得到一元一次方程定义。对于等式性质的学理分析偏少。以文字描述形式归纳解方程的步骤。整个部分注重情境探索，通过生活化以及数学化的方式，学会解方程以及验证方程的解。对如何化简分式方程的文字阐述较少。对于使得分式方程分母为零的根，作新的定义为增根。对于二元一次方程组，章引言以鸡兔同笼问题作为背景，引出本章学习内容。节开头以两匹马驮包裹以及公园购票为问题情境引出二元一次方程组。未将二元一次方程组解法提出，而是融入到解题过程中去体会。最后突出二元一次方程组与一次函数的关系，突出了章节内容间逻辑联系。在一元二次方程部分，章引言以生活中蕴含的数学规律为起点展开本章节所学内容的阐述。相同点对于方程概念以及解方程的理解，均采用情境辅助，逐步细化分析以及推理引导步骤，帮助学生理解方程的含义，以及掌握解方程的方法。一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容52

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“方程与方程组”部分人教版

一元一次方程章前言

北师版

一元一次方程章前言

53

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“方程与方程组”部分北师版

一元一次方程概念引入

人教版

一元一次方程概念引入

54

人教版

分式方程

北师版

分式方程

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“方程与方程组”部分55

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“方程与方程组”部分人教版

二元一次方程组章前言

北师版

二元一次方程组章前言

56

人教版

消元思想的提出

北师版

二元一次方程组的解决步骤

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“方程与方程组”部分57

北师版

二元一次方程组与一次函数

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“方程与方程组”部分58

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“方程与方程组”部分人教版

一元二次方程章前言

北师版

一元二次方程章前言

59

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“方程与方程组”部分人教版

配方法流程

60

“不等式与不等式组”部分

人教版北师版不同点章引言以商场购物为背景，引出本章节所学内容。以汽车行驶速度为背景条件，引出不等式的概念。突出对不等式性质的强化练习，不等式解集的阐述较少，且放在解一元一次不等式的节中进行阐述。章引言，通过生活实例引出与等量关系相对的不等关系，从而引出本章所学内容。以正方形、圆的面积，行李箱大小、树龄为实际问题情境，引出不等式的概念。不等式解集的阐述先于一元一次不等式的学习。增添一元一次不等式与一次函数的联系。相同点两个版本的教材均是以实际生活中的事例，引发学生对等量关系的认知冲突，逐步引导学生学习不等式的定义、会求解不等式的解集以及会用不等式解决实际问题。一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容61

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“不等式与不等式组”部分人教版

章前言

北师版

章前言

62

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“不等式与不等式组”部分人教版

概念引入

北师版

概念引入

63

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“不等式与不等式组”部分人教版

不等式例题

64

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“不等式与不等式组”部分人教版

一元一次不等式解集

北师版

一元一次不等式解集

65

一、“方程与不等式”教材结构②“方程与不等式”具体内容——“不等式与不等式组”部分北师版

一元一次不等式与一次函数

“数与式”66

（1）代入消元法的教材对比（2）加减消元法的教材对比二、“方程与不等式”具体内容分析——以“二元一次方程组的解法”为例“数与代数”教材分析“方程与不等式”67（1）代入消元法的教材对比人教版：“篮球比赛积分”问题→列出二元一次方程组→列出一元一次方程→对比二元一次方程组与一元一次方程→引出“代入消元法”的定义→练习巩固北师大版：“两马驮包裹”问题→列出二元一次方程组→用“代入消元法”求解→模仿主要步骤求解类似的方程组→引出“代入消元法”的定义→练习巩固

“数与式”

二、“方程与不等式”具体内容分析——以“二元一次方程组的解法”为例“数与代数”教材分析“方程与不等式”68

“数与式”

二、“方程与不等式”具体内容分析——以“二元一次方程组的解法”为例“数与代数”教材分析“方程与不等式”人教版北师版（1）代入消元法的教材对比69（1）代入消元法的教材对比人教版：主张类比归纳得到“代入消元法”的定义以及操作步骤。北师大版：注重在用的过程中对“代入消元法”的定义以及操作步骤进行提炼。

“数与式”

二、“方程与不等式”具体内容分析——以“二元一次方程组的解法”为例“数与代数”教材分析“方程与不等式”70

“数与式”

二、“方程与不等式”具体内容分析——以“二元一次方程组的解法”为例“数与代数”教材分析“方程与不等式”（2）加减消元法的教材对比人教版：“加减消元法”的例题再思考→发现两个二元一次方程中y的系数相等→进行“相减”消元→通过新的例题进行“相加”消元→引出“加减消元法”的定义→练习巩固北师大版：讨论一个二元一次方程组的解法→三种求解方法→发现“相加”消元方法→通过新的例题进行“相减”消元→引出“加减消元法”的定义→练习巩固71

“数与式”

二、“方程与不等式”具体内容分析——以“二元一次方程组的解法”为例“数与代数”教材分析“方程与不等式”人教版北师版（2）加减消元法的教材对比72

“数与式”

二、“方程与不等式”具体内容分析——以“二元一次方程组的解法”为例“数与代数”教材分析“方程与不等式”（2）加减消元法的教材对比人教版：注重推理后的应用。北师大版：注重应用后的总结。73一、“函数”教材结构在人教版和北师版教材中，“函数”主题内容结构编排主要体现出两点不同：①内容分布②具体内容二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例“数与代数”教材分析“函数”74

人教版北师版八年级下册·第十九章·一次函数七年级下册·第四章·变量之间的关系八年级上册·第四章·一次函数19.1函数4.1用表格表示的变量间关系4.1函数19.2一次函数4.2用关系式表示的变量间关系4.2一次函数19.3课题学习选择方案4.3用图象表示的变量间关系4.3一次函数的图象数学活动回顾与思考4.4确定一次函数表达式小结复习题4.5一次函数的应用复习题19

回顾与思考复习题一、“函数”教材结构①“函数”内容分布75

人教版北师版九年级上册·第二十二章二次函数九年级下册·第二十六章反比例函数九年级下册·第二章二次函数九年级上册·第五章反比例函数22.1二次函数的图象和性质26.1反比例函数2.1二次函数5.1反比例函数22.2二次函数与一元二次方程26.2实际问题与反比例函数2.2二次函数的图象与性质5.2反比例函数的图象与性质22.3实际问题与二次函数数学活动2.3确定二次函数的表达式5.3反比例函数的应用数学活动小结2.4二次函数的应用回顾与思考小结复习题262.5二次函数与一元二次方程复习题复习题22回顾与思考

复习题一、“函数”教材结构①“函数”内容分布76

“一次函数”部分

人教版北师版不同点章引言以行星位置变化、气温与海拔的关系、树高随树龄的变化为生活实例引出所学内容一次函数。将变量与变量关系放在函数节中进行阐述。对于函数的自变量、函数值、解析式、图象以及表示方法进行详细阐述。在呈现顺序上，先讲正比例函数，再进行一次函数的呈现。正比例函数、一次函数的概念、图象以及性质依次呈现，且在同一节内，突出“概念—图象—性质”的逻辑顺序。函数性质的阐述是直给的形式。对求解表达式的待定系数法进行详细阐述与讲解。在一次函数学习之前，将变量关系作为一章节进行详细阐述，为函数的学习打下基础。章引言以弹簧长度与重物关系、路程与时间的关系作为生活实例引出所学一次函数的相关内容。未详细介绍函数的自变量、函数值、图象以及表示方法。在呈现顺序上，先讲一次函数，再进行正比例函数的呈现。一次函数、正比例函数的概念以及图象分节分别呈现，性质以探究的形式融在探究活动中。以例题的形式讲解一次函数表达式的求法，未进行算理性解析。相同点两个版本教材均从变量与变量关系入手，探寻如何用变量间的关系，再对变量关系进行分类，并通过解决生活实际问题深入理解一次函数以及正比例函数。一、“函数”教材结构②“函数”具体内容77

一、“函数”教材结构②“函数”具体内容——“一次函数”部分人教版

章前言北师版

章前言78

一、“函数”教材结构②“函数”具体内容——“一次函数”部分人教版

相关概念及表示法阐述北师版

相关概念及表示法阐述79

一、“函数”教材结构②“函数”具体内容——“一次函数”部分人教版

函数性质的阐述北师版

函数性质的阐述80

一、“函数”教材结构②“函数”具体内容——“一次函数”部分人教版

表达式求法北师版

表达式求法81

“二次函数”部分

人教版北师版不同点章前言以正方体表面积与棱长的关系、小球上抛高度与时间的关系、喷泉高度与水平距离之间的关系作为背景信息引入本章节学习的内容。引出二次函数的生活实例以完整的问题解决过程形式呈现。教材直接给出二次函数图象，探索过后学生动手操作绘制函数图象并进行巩固，以此学习二次函数的图象。从一般视角下探索特殊二次函数的图象与性质，采用的是描点画图的形式，再回归到一般意义下探索图象与性质的关系。章前言以喷泉的水流路线、篮球入篮路线为背景例子引出本章学习的内容，并对学习目标进行详细阐述。引出二次函数的生活实例以思考题的形式呈现，并未全部给出解答过程，偏向于思考的形式。学生先自行描点作图，然后探索图象的特点与性质，再进行图象绘制的练习巩固。以平移的视角探寻不同二次函数的图象与性质。相同点两个版本教材均从生活实例入手，探寻现实情境中变量的二次函数关系，通过图象探寻二次函数的性质，并运用二次函数解决相关实际问题。一、“函数”教材结构②“函数”具体内容82

一、“函数”教材结构②“函数”具体内容——“二次函数”部分人教版

章前言北师版

章前言83

一、“函数”教材结构②“函数”具体内容——“二次函数”部分人教版

概念引入北师版

概念引入84

一、“函数”教材结构②“函数”具体内容——“二次函数”部分人教版

二次函数图象北师版

二次函数的图象85

一、“函数”教材结构②“函数”具体内容——“二次函数”部分人教版

二次函数图象与性质北师版

二次函数的图象与性质86

“反比例函数”部分

人教版北师版不同点章前言以列车行驶速度路程为实例引出本节所学的内容。在一次函数与二次函数学习的基础上进行反比例函数概念抽象、图象绘制、性质探析以及实践应用。章前言以压强以及电阻相关物理知识为例引出本章所学的反比例函数内容。反比例函数在一次函数学习的基础上进行概念、图象、性质以及应用的学习。相同点两个版本教材的反比例函数内容学习，均借鉴了已有函数的研究方法，从情境实例抽象出反比例函数的概念，通过图象探究反比例函数的性质，进而进行应用。一、“函数”教材结构②“函数”具体内容87

一、“函数”教材结构②“函数”具体内容——“反比例函数”部分人教版

章前言北师版

章前言88

一、“函数”教材结构②“函数”具体内容——“反比例函数”部分人教版

图象与性质引入人教版

图象与性质引入89（1）变量关系的教材对比（2）函数概念的教材对比（3）函数性质的教材对比（4）函数练习的教材对比二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例“数与代数”教材分析“函数”90二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（1）变量关系的教材对比变量关系的学习内容布局

人教版VS北师大版教材位置该部分在人教版教材中位于八年级下册第19章，与函数概念共同构成一节学习内容；在北师版教材中，位于七年级下册第4章，单独成立一章节为“变量之间的关系”。时间安排人教版教材对于“变量关系”的学习晚于北师版教材。课时安排人教版教材安排的课时数少于北师版教材。内容容量人教版教材对“变量关系”的设置的内容少于北师版教材。91二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（1）变量关系的教材对比变量的概念提出变量的概念提出过程相同

引入生活实例→探索一个量随另一个量的变化→界定“变量”概念

人教版北师版92二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（1）变量关系的教材对比变量的概念提出生活实例的引入方式不同

人教版：“表格”+“关系式”

北师大版：“表格”+“关系式”+“图象”

人教版北师版93二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（1）变量关系的教材对比变量的概念提出人教版教材在变量部分并未对自变量与因变量以及变量关系进行阐述，将其归到函数概念的提出中。

人教版北师版94二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（2）函数概念的教材对比函数概念学习内容的教材位置不同

该部分在人教版教材中位于八年级下册第十九章第一节，在北师版教材中位于八年级上册第四章第一节，从位置上看，人教版函数学习较为靠后，且两个版本教材在学习内容安排顺序上有所不同。

95（2）函数概念的教材对比函数概念提出方式不同

人教版教材：对现实情境中的定量与变量进行分析，总结出变量间关系，此情境与得到定量与变量定义的情境相同，在此基础上对变量关系进行提炼转化，提出函数的概念以及自变量与函数值。

二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例96二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（2）函数概念的教材对比函数概念提出方式不同

北师大版教材：变量之间的关系同函数概念引入在不同年级内学习，在情境选择上体现出前后的差别。

北师版变量概念引入北师版函数概念引入97二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（3）函数性质的教材对比函数性质的学习内容布局

人教版教材：安排在八年级下册第十九章第一节，在函数概念提出后进行性质的分析。北师版教材：函数性质在一次函数章节中并未详细阐述，蕴含在例题与习题当中而非体现在正文中，对于函数性质的详细阐述，从七年级下册第4章“变量之间的关系”中进行体现。

98二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（3）函数性质的教材对比函数解析式的界定

人教版教材：在函数概念提出后，通过实例对函数解析式的概念进行界定。北师版教材：并未界定函数解析式，而是在七年级下册第4章“变量之间的关系”中对变量关系进行关系式表达，旨在函数概念学习后自然而然会用关系式表示函数。

99二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（3）函数性质的教材对比函数解析式的界定

人教版北师版100二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（3）函数性质的教材对比函数图象的学习

人教版教材：将其放在函数概念之后单独呈现，注重学生能利用描点法画出函数图象。北师大版教材：将其放在下一节“一次函数的图象”中进行学习，突出对等量关系图的解析。

101二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（3）函数性质的教材对比函数图象的学习

人教版北师版102二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（4）函数练习的教材对比例题部分

人教版教材：例题位于新概念之后，通过详细解题过程帮助学生理解概念的运用过程。北师版教材：例题并未给出解答过程，仅是对题目进行呈现。人教版北师版103二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（4）函数练习的教材对比思考题部分 人教版教材：思考题偏向于对例题的规律总结，以疑问的形式引发学生对例题进行归纳总结。北师版教材：思考题以“想一想”的形式出现，帮助学生理解情境与函数概念关系。人教版北师版104二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（4）函数练习的教材对比习题部分 两个版本教材习题部分差异不明显，题目包括对所学知识的回顾、巩固与拓展。人教版北师版105二、“函数”具体内容分析——以“函数概念引入”为例（4）函数练习的教材对比综上，在题目设置上，人教版更注重只是与技能的应用与锻炼，突出思维过程的培养，更有利于巩固学生课堂所学。“数与代数”教材分析“函数”谢谢！第四章初中“图形与几何”分析郭衎教授目录01“图形与几何”领域分析02“图形与几何”教材分析目录Contents01“图形与几何”领域分析

110一、“图形与几何”的主要内容和课标新变化新课标“图形与几何”内容要求分析初中“图形与几何”包括以下三个主题：“图形与几何”领域分析（1）图形的性质（2）图形的变化（3）图形与坐标

111（1）图形的性质与2011年版课标相比，新课标这一主题的变化主要有：①尺规作图内容不再作为独立的一部分，而是分散到有关的内容中，要求“了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法”，并且增加了“尺规作图：过圆外一点作圆的切线”。②对一些基础概念提高了学业要求。③新课标更强调与高中数学知识的衔接。④新课标概念范围界定更加明确，突出概念的同一性。“图形与几何”领域分析

112与2011年版课标相比，新课标的主要变化：①新课标删减了“有序数对”有关内容。②改“直角坐标系”为“平面直角坐标系”，使概念更加明确，避免与空间直角坐标系的混淆。一、“图形与几何”的主要内容和课标新变化新课标“图形与几何”内容要求分析“图形与几何”领域分析

113一、“图形与几何”的主要内容和课标新变化新课标“图形与几何”实例分析“图形与几何”领域共设计了10个例题：“图形的性质”主题下设置了7个实例更加注重空间观念与推理能力“图形的变化”中，新课标总共设置了３个实例

增加相似和勾股定理２个实例“图形与几何”领域分析

114二、“图形与几何”领域的育人价值通过“图形与几何”的学习使学生经历探究图形的性质、图形的变化过程，获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。教师要通过图形与几何板块内容的教学，激发学生的动态想象力，帮助学生建立良好的空间观念。“图形与几何”领域分析02“图形与几何”教材分析“图形与几何”教材分析

116图形的性质图形的变化图形与坐标117一、教材结构分析“图形的变化”主要内容包括：图形的轴对称、旋转、平移图形的相似（包括位似）、投影全等（合同）变换相似变换“图形的变化”“图形与几何”教材分析二、“图形的变化”具体内容分析——以“锐角三角函数的概念”为例

118图形的轴对称轴对称图形：是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，说的是一个具有特殊形状的图形。轴对称：是指两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

1191.图形的轴对称一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

120

人教版VS北师大版知识结构两版教材的知识结构差不多，只是顺序有细微不同。章节编排人教版涉及八九年级，编排较为集中；北师大版涉及七八九年级，编排相对分散，跨度较大。学段人教版在八年级（上）学习轴对称；北师大版在七年级（下）学习轴对称。学习内容人教版有最短路径问题课题学习；北师大版没有相关内容。1.图形的轴对称一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

1211.图形的轴对称一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析人教版最短路径问题

122课标要求通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。能够画出点、线段、直线、三角形关于给定对称轴的对称图形。1.图形的轴对称一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

1232.图形的旋转一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

124

人教版VS北师大版学习内容人教版比北师大版的内容更加丰富细致，但学习难度比北师大版小。人教版比北师大版多一节坐标的中心对称知识，北师大版没有单独设计相关课程，只是在课后题目里有所练习。章节编排人教版集中编排在九年级（上）；北师大版主要内容在八年级（下），九年级（下）只涉及一小部分圆的中心对称。学段安排北师大版比人教版提前，对学生的要求更高。2.图形的旋转一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

1252.图形的旋转一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析人教版坐标的中心对称北师版坐标的中心对称

126教学重点在于引导学生通过具体实例认识旋转变换，探索它的基本性质，能够运用图形的旋转进行图案设计。教学难点在于明确变换产生的条件，探索变换前后图形和它的各对应元素间的“变”与“不变”的相互关系。2.图形的旋转一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

127中心对称：是指两个图形关于一个定点对称。中心对称图形：指的是一个图形具有的性质。线段、平行四边形、正多边形、圆都是中心对称图形。2.图形的旋转一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

1283.图形的平移一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

129

人教版VS北师大版知识结构两版教材相同。学习顺序人教版的学习顺序是平移、轴对称、旋转；北师大版的学习顺序是轴对称、平移、旋转。章节编排人教版编排涉及七八九年级，跨度较大；北师大版集中在八年级。3.图形的平移一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

130教学重点在于引导学生通过具体实例认识平移变换，探索它的基本性质，能够运用图形的平移进行图案设计。教学难点在于明确变换产生的条件，探索变换前后图形和它的各对应元素间的“变”与“不变”的相互关系。3.图形的平移一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

131轴对称、旋转、平移是三种基本的全等变换。一个三角形在这三种变换下的对应图形还是三角形，并且与原来的三角形全等。一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

132相似变换与轴对称、旋转、平移不同，它能保持图形的形状不发生变化，但不能保持图形大小不发生变化。即：变换前后的对应角相等，但是对应边不等，有可能放大，也有可能缩小。相似变换与全等变换是一般和特殊的关系。4.图形的相似一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

1334.图形的相似一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

134

人教版VS北师大版知识内容两版教材相同。知识编排人教版有关比例的知识在八年级已学习，由形状相同、大小不同的图形引入相似的学习，其中穿插学习比例的内容。北师大版是由形状相同、大小不同的图形引入比例的所有知识，再学习相似的有关内容。4.图形的相似一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

1354.图形的相似一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析人教版相似的引入北师版相似的引入

136“比例”是这部分的基础，基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是前提。相似三角形的性质与判定是这部分内容的重点和难点。相似三角形与全等三角形是一般与特殊的关系。图形的位似变换是一种特殊的相似变换，又叫伸缩变换。4.图形的相似一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

137图形的相似与图形的轴对称、旋转、平移一样，都是从动态的观点看几何图形，教学时注意加强相似和全等之间的区别和联系。解直角三角形是相似三角形的应用，从形的角度研究三角函数，教学时要注意渗透数形结合思想方法。4.图形的相似一、“图形的变化”教材结构分析“图形的变化”“图形与几何”教材分析

138图形的投影与轴对称、旋转、平移、相似不同，投影出来的图形大小和形状都会发生变化，根据光源的不同，图形的投影也有所不同，这对学生的几何直观能力和思维水平有更高的要求。5.图形的投影一、“图