空间两条直线的位置关系 课件 2025-2026学年职教高考数学一轮复习

第九章立体几何第五节空间两条直线的位置关系职教高考一轮复习直击高考考点考点解读山东省近五年春季高考统计(题号)常考题型2020年2021年2022年2023年2024年2025年空间中两条直线的位置关系①理解空间直线与直线的位置关系②掌握直线与直线平行、垂直关系的判定与性质③理解异面直线所成角，并会解决相关的简单问题(19)(29)(27)(14)(20)(28)(28)选择题解答题线线垂直线线垂直线线角异面直线概念线线垂直线线垂直线线角线线垂直线线平行本节考查直线与直线位置关系、空间平行关系。特别是异面直线概念及异面直线所成角的准确理解，注意加强计算能力与空间想象能力的训练．知识梳理1．空间中两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点的个数相交在同一个平面内

平行在同一个平面内

异面不同在任何一个平面内100注意空间没有公共点的两条直线位置平行或异面2．平行直线公理4(平行线的传递性)：平行于同一条直线的两条直线________．互相平行3．空间四边形(1)空间四边形：顺次连接________的4点所构成的图形称为空间四边形．其中4个点都是空间四边形的顶点，连接__________________称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的________．(2)空间四边形的表示：空间四边形用表示顶点的4个字母表示，如图9－5－1所示为空间四边形ABCD.它的对角线为___________，边为AB，BC，CD，DA.不共面相邻顶点间的线段对角线AC，BD【注】①空间四边形可以看成由一个四面体的4条棱构成的图形．②空间四边形（四面体）相对的棱是异面直线；正四面体相对棱互相垂直4．异面直线(1)异面直线：不同在________一个平面内的两条直线．(2)异面直线的判定方法：与一个平面相交于一点的直线，和这个平面内______________的直线为异面直线．(3)异面直线所成的角：若a，b为异面直线，则经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的________叫作异面直线a与b所成的角．任何不经过交点角【注】作异面直线所成的角时，为了方便，通常将点O取在两条异面直线中的一条上，也就是说只需要平移另外一条直线即可．(4)异面直线所成的角θ的取值范围：θ∈________．特别地，当θ＝

时，称两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.异面直线所成角关键找平行线，化归为相交线成的平面角典例分析【知识要点1】

空间中两条直线的位置关系【例1】有下列四个命题：①在空间中过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行；②既不平行，又不相交的两条直线是异面直线；③两两互相平行的三条直线确定一个平面；④不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线．其中，正确命题的个数为(

)A．1B．2C．3D．4C【解析】本题考查空间中两直线的位置关系的判定及应用．【举一反三1】如图9－5－2所示，已知空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个命题：①AC与BD是相交直线；②AB∥DC；③四边形EFGH是平行四边形；④EH∥BC.其中，真命题的个数是(

)A．4B．3C．2D．1【提示】

①错误，AC与BD是异面直线；②错误，AB与DC是异面直线；③正确；④错误，EH与BC是异面直线．故选D.D【知识要点2】

利用平行线的传递性证明线线平行【例2】如图9－5－3所示，在正四棱锥P－ABCD中，点E，F分别是侧棱PA，PB的中点．求证：EF∥CD.【解析】∵点E，F分别是侧棱PA，PB的中点，∴EF∥AB.∵ABCD是正方形，∴AB∥CD.根据平行线的传递性可知，EF∥CD.【举一反三2】

如图9－5－4所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是AB，BC的中点．求证：DE∥A1C1.证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC.∵三棱柱的侧面A1ACC1是平行四边形，∴AC∥A1C1.根据平行线的传递性可知，DE∥A1C1.【解析】∵BC∥AD，∴∠DAD1是异面直线AD1与BC所成角，∵BB1＝BC＝1，∴∠DAD1＝

，∴AD1与BC所成角等于.∵AB∥CD，∴∠DCD1是CD1与AB所成角，【知识要点3】异面直线所成的角【例3】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若棱BB1＝BC＝1，AB＝

，则AD1与BC所成的角等于________，CD1与AB所成的角等于________．【举一反三3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中：(1)AB与B1C所成的角为________；(2)AD1与BD所成的角为________．【例4】如图9－5－7所示，正三棱锥S－ABC的侧棱长与底面边长相等，若E，F分别为SC，AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角为(

)A．B．C．D．C【举一反三4】

如图9－5－9所示，正四面体S－ABC中，D是SC的中点，则BD与SA所成的角的余弦值为________．【提示】

取AC的中点O，连接DO，BO(图略)，则DO∥SA，所以∠BDO就是BD与SA所成的角或其补角．设正四面体S－ABC的棱长为2，则DO＝1，BD＝BO＝

，由余弦定理得cos∠BDO＝

＝.一、选择题1．“两条直线为异面直线”是“两条直线没有公共点”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系为(

)A．一定相交B．一定异面C．一定平行D．相交或异面D3．下列命题中，正确的是(

)A．过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线B．过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直C．垂直于同一条直线的两直线平行D．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线A随堂检测活动设计：限时12分钟，认真完成基础练习选填题检测4．空间两条直线所成角的范围是(

)A． B． C． D．A5．如图所示，在三棱锥A－BCD中，点E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝BD，则四边形EFGH的形状是(

)A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形B二、填空题6．如图所示，在三棱锥A－BCD中，点P，R分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝

，PR＝3，则AC和BD所成角的大小为________．90°【提示】

取BC的中点Q，连接PQ，QR(图略)，则PQ∥AC，QR∥BD，所以AC和BD所成的角即为∠PQR或其补角．因为PQ＝

AC＝2，QR＝

BD＝

，所以PQ2＋QR2＝PR2，所以∠PQR＝90°，故AC和BD所成角的大小是90°.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1成异面直线的棱有________条．68．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1D与AC所在直线的位置关系为________(选填“平行”“相交”或“异面”).成角

异面60°一、选择题1．下列命题中，正确的是(

)A．若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c是异面直线B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a∥b，b∥c，则a∥cD．若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c是相交直线C2．“两条直线分别在两个平面内”是“两条直线是异面直线”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B选做三、解答题6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是AB的中点．求：(1)BA1与CC1的夹角；(2)A1E与CB1的夹角的余弦值．解：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵CC1∥AA1，∴BA1与AA1所成的角就是异面直线BA1与CC1所成的角．∵AA1B1B是正方形，则∠BA1A＝45°，∴BA1与CC1的夹角为45°.(2)如图所示，连接A1D，同(1)可得CB1∥DA1，∴∠EA1D为异面直线A1E与CB1的夹角，连接ED，设正方体的棱长为1，则在△