2026年高考数学一轮复习专题课件：导数的概念与运算

导数的概念与运算2026年高考数学一轮复习专题课件★★

导数的概念(1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，我们把比值

＝_____________________称为函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．

回归教材

(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是___________________________，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处(3)导函数：对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝y′＝_________________________．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点________________处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为_________________________．P(x0，f(x0))y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)基本初等函数的导数公式(1)c′＝_____(c为常数)；(2)(xα)′＝_____(α∈Q，且α≠0)；(3)(sinx)′＝________；(4)(cosx)′＝____________；(5)(ax)′＝______________(a>0，且a≠1)；(6)(ex)′＝_______；(7)(logax)′＝_____________(a>0，且a≠1)；(8)(lnx)′＝_______________．0α·xα－1cosx－sinxaxlnaex导数的四则运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝_______________；[f(x)g(x)]′＝____________________；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．y′u·u′x常用结论(1)区分在点处的切线与过点的切线①在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．②过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．

夯实双基答案(1)×

(2)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．答案(2)×

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．答案(3)√

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．答案(4)×

答案(5)×

(6)(3x)′＝3xlog3e.答案(6)×

答案(7)√2．(课本习题改编)计算：(1)(xex)′＝______；(2)(sinx·cosx)′＝________；ex＋xexcos2x4．(2020·课标全国Ⅰ，文)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．y＝2x5．设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为_____________．题型一

导数的概念3－33

(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f(1)＝________．【解析】∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，

(3)(2025·沧州七校联考)一个港口的某一观测点在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝

，当t＝3时，水面下降的速度为(

)√状元笔记

导数定义的探究(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断当Δx→0时该函数的平均变

(3)在导数定义中，x在x0处的变化量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题时要将分子分母中变化量统一为一种．题型二

导数的运算

求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；【答案】(1)y′＝24x3＋9x2－16x－4【解析】(1)方法一：y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4.方法二：y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)y＝x2sinx；【答案】(2)y′＝2xsinx＋x2cosx【解析】(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.状元笔记导数的计算方法(1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．思考题1求下列函数的导数：(1)y＝3xex－2x＋e；【答案】(1)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2【解析】(1)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(2)y＝tanx；(4)y＝2x＋ln(1－5x)；题型三

导数的几何意义(微专题)微专题1求切线方程已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；【答案】(1)y＝13x－32

【解析】(1)f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)求曲线y＝f(x)经过原点的切线方程及切点坐标；【答案】(2)y＝13x，(－2，－26)

【解析】

(2)方法一：设切点为(x0，y0)，切线为l，则切线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，∴切线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.又∵切线l过点(0，0)，∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，整理得x03＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故切线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．方法二：设切线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x0，y0)，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，∴切线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

(3)求满足斜率为4的曲线的切线方程及切点坐标．【答案】(3)见解析(3)设切点的坐标为(x1，y1)，则f′(x1)＝3x12＋1＝4，故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14，切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．状元笔记求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上，点P不一定是切点．(2)求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．√(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为______________，_______________．(3)(2025·全国统一考试模拟题)已知函数

的图象关于坐标原点对称，则曲线y＝g(x)在x＝－1处的切线方程为_________．y＝3x＋1【解析】依题意，函数f(x)为奇函数，当x<0时，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋ln(－x)，即f(x)＝－x2－ln(－x)＝g(x)＋1，所以g(x)＝－x2－ln(－x)－1，g′(x)＝－2x－

，所以g′(－1)＝3，又g(－1)＝－2，所以切线方程为y－(－2)＝3(x＋1)，即y＝3x＋1.微专题2求切点坐标及参数值(1)已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(

)A．(1，3) B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)√【解析】设切点P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为

，∴f′(x0)＝3x02－1＝2，∴x02＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，∴y0＝x03－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P的坐标为(1，3)或(－1，3)．

(2)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝alnx＋b相切于点P(1，2)，则2a＋b等于________．4【解析】由直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝alnx＋b相切于点P(1，2)，将P(1，2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，解得a＝1，可得f(x)＝lnx＋b，∵P(1，2)在曲线f(x)＝lnx＋b上，∴f(1)＝ln1＋b＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.状元笔记

解决曲线切线问题的关键利用导数几何意义求解曲线过某一点的切线方程、已知直线与曲线相切求切点坐标及参数值等问题时，关键是设出切点坐标，然后通过切点处的导数就是斜率、点在曲线上、点在切线上等建立方程(组)进行求解．思考题3

(1)(2025·衡水中学调研卷)设a∈R，函数f(x)＝ex＋

是偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是

，则切点的横坐标为________．ln2【解析】由f(x)为偶函数，易得a＝1.∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x.设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝

，解得x0＝ln2.(2)已知a>0，b>0，直线y＝x＋a与曲线y＝ex－b相切，则a＋b的值是________．1【解析】根据题意，设直线y＝x＋a与曲线y＝ex－b的切点为(x0，y0)，因为y′＝(ex－b)′＝ex－b，直线y＝x＋a的斜率为k＝1，所以k＝1＝ex0－b，y0＝x0＋a，y0＝ex0－b，所以x0＝b，y0＝1，a＋b＝1.微专题3曲线的公切线问题(1)(2025·四川绵阳模拟)若曲线f(x)＝

与曲线g(x)＝ax2(a>0)有公共点，且在公共点处有公切线，则实数a＝________．

(2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．1－ln2【解析】设直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2相切于点(x1，lnx1＋2)，与曲线y＝ln(x＋1)相切于点(x2，ln(x2＋1))，则切线分别为y－(lnx1＋2)＝状元笔记处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．思考题4

(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________．ln2【解析】由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.由y＝ln(x＋1)＋a得y′＝

，设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，根据两切线重合，得a－ln2＝0，解得a＝ln2.题型四

导数几何意义的综合应用

(1)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________．

(－∞，－4)∪(0，＋∞)【解析】因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)

坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋

(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．4(3)(2025·广西模拟)若直线y＝mx＋n是函数f(x)＝x－e－x的图象的切线，则m＋n的最小值为_________________．令g(x)＝1－xe－x，则g′(x)＝(x－1)e－x，当x>1时，g′(x)>0；当x<1时，g′(x)<0.可知g(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增，可得状元笔记

求解过已知点所引得函数对应的曲线的切线的条数问题时，应先设出切点的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，将已知点的坐标代入切线方程后，将切线的条数转化为关于切点坐标中的参数方程根的个数问题．思考题5

(1)若过点(m，n)(m>0)可以作两条直线与曲线y＝lnx相切，则下列选项正确的是(

)A．2n<lnm B．2n>lnmC．2m>lnn>0 D．2m<lnn<0√由题知m>0，若0<x<m，则f′(x)<0，若x>m，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，m