2026年高考数学一轮复习专题课件：第1学时 第1学时　正、余弦定理

第1学时正、余弦定理第1学时题型一

利用正、余弦定理解三角形∵b>a，∴B>A＝45°，∴B有两解，即B＝60°或120°.①当B＝60°时，C＝180°－(45°＋60°)＝75°，方法二：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.(2)(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝

，则△ABC的面积为(

)A．6

B．8C．24 D．48√(2)(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝

，则△ABC的面积为(

)A．6

B．8C．24 D．48√【解析】设AB＝c.方法二：在△ABC中，由正弦定理，状元笔记(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角时，首先必须判明是否有解(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，则sinB＝

sinA＝

>1，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解．(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”．

思考题1

(1)(2017·课标全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝

，c＝3，则A＝________．75°√题型二

判断三角形的形状直角三角形题型二

判断三角形的形状直角三角形即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，

(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知

，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，试判断△ABC的形状．

(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知

，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，试判断△ABC的形状．【答案】等边三角形又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以△ABC是等边三角形．状元笔记

三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝

等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA＝

，cosA＝

等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种情况的可能．

思考题2

【多选题】(2025·山东师大附中模拟)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(

)A．若sin2A＋sin2B＋cos2C>1，则△ABC为锐角三角形B．若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC是等腰三角形√√【解析】∵sin2A＋sin2B＋cos2C>1，故sin2A＋sin2B>sin2C，但不能说明△ABC为锐角三角形，∴A错误；由acosA＝bcosB及正弦定理，可得sin2A＝sin2B，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴B错误；由bcosC＋ccosB＝b及正弦定理，可知sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，∴sinA＝sinB，∴A＝B，∴C正确；由已知和正弦定理，易知tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C，∴D正确．故选CD.题型三

与三角形面积有关的问题(1)求∠A；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b＝7；状元笔记

与三角形面积有关问题的解题策略(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．【答案】(1)a＝2，b＝2

(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．【解析】(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a.题型四

正、余弦定理的应用(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝

cosB，a2＋b2－c2＝

ab.(1)求B；题型四

正、余弦定理的应用(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC＝

cosB，a2＋b2－c2＝

ab.(1)求B；

思考题4

(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．

思考题4

(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．【答案】(2)6本课总结1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角，(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．2．用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积