（新教材）2026年人教版八年级下册数学 21.2.1 平行四边形及其性质 课件

（2026年新教材）人教版初中数学八年级下册教学课件2026年新版八年级下册数学（人教版）教材变化一、核心结构与章节调整内容重组：二次根式由九上移至八下；一次函数由八上移至八下；反比例函数移至九下；分式调整至八上。章题优化：“四边形”改为平行四边形，删去梯形内容，聚焦核心图形。栏目升级：每节新增引言；章引言与小结优化；新增溯源、图说数学史栏目，强化问题驱动与文化渗透。二、内容与表述优化二次根式：根号下含字母的化简与运算标注为选学；只要求理解加减乘除法则，会进行简单四则运算（根号下仅限数）。勾股定理：突出面积法证明；新增数学活动，用勾股定理证明“HL”判定；加强知识总结与实践应用。平行四边形：突出逻辑推理，部分结论从逆命题角度推导，减少实验操作；强化定义—性质—判定的研究路径。一次函数：强化“变化与对应”思想；情境贴近生活，新增多选题与探究题，分层更清晰。数据的分析：新增趋势分析，完善统计知识体系，例习题更新超60%，情境更真实。三、综合实践与活动升级新增2个综合与实践：《基于一次函数的最优化问题》《利用平行四边形性质设计图案》，强调建模与跨学科应用。数学活动更新：每章2个共10个，6个换新，突出探究与动手操作，如勾股定理的拓展证明。21.2平行四边形第二十一章四边形21.2.1平行四边形及其性质逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2平行四边形平行四边形的性质两条平行线之间的距离知识点平行四边形知1－讲11.四边形的分类：根据四条边的位置关系，如果它的两组对边分别平行，这个四边形就是平行四边形；如果它只有一组对边平行，这个四边形就是梯形.如图21.2－1所示.知1－讲2.平行四边形的定义及表示方法定义图示表示方法两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD

记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”知1－讲3.平行四边形的基本元素基本元素主要内容图示边邻边AD

和AB，AD

和DC，DC

和BC，BC和AB，共有四组对边AB

和DC，AD

和BC，共有两组知1－讲续表基本元素主要内容图示角邻角∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB

和∠ABC，∠DAB

和∠ABC，共有四组对角∠BAD

和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两组对角线AC

和BD，共有两条知1－讲特别解读1.表示平行四边形时，一定要按顺时针方向或逆时针方向依次注明各顶点.2.平行四边形是一种特殊的四边形，具有四边形的所有性质.3.平行四边形的定义既是它的一个性质，又是它的一种判定方法.知1－练例1如图21.2－2，在▱ABCD

中，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有______个平行四边形.解题秘方：将平行四边形分为由一个、两个或四个四边形组成的平行四边形(即由小到大的顺序)，这样就可以做到不重不漏.9知1－练解：在▱ABCD

中，∵EF∥AB，GH∥BC，∴EF∥AB∥

CD，GH∥AD∥BC.∴单独一个四边形是平行四边形的有4个：▱DEPH，▱EAGP，▱HPFC，▱PGBF；由两个四边形组成的平行四边形有4个：▱DEFC，▱EABF，▱DAGH，▱HGBC；由四个四边形组成的平行四边形有1个：▱ABCD.∴图中共有9个平行四边形.知1－练1－1.如图，在△ABC中，D，E，F

分别是AB，BC，AC

上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有(

)A．1个

B．2个C．3个

D．4个C知2－讲知识点平行四边形的性质2类别性质符号语言图示边对边平行且相等∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC

1.平行四边形的性质相邻两边之和等于平行四边形周长的一半知2－讲类别性质符号语言图示角对角相等，邻角互补∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°对角线对角线互相平分续表知2－讲拓宽视野1.在平行四边形中，由任意一条对角线分割成的两个三角形全等.2.在平行四边形中，由两条对角线分割成的四个小三角形：(1)面积都相等；(2)相对的两个三角形全等；(3)相邻的两个三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形的两条邻边之差的绝对值.3.过平行四边形两条对角线的交点的直线平分这个平行四边形的周长和面积.知2－讲2.平行四边形中的面积关系(扩展)图示条件O为▱ABCD对角线的交点P在▱ABCD

的边AD上,且不与端点重合结论知2－讲续表图示条件P为▱ABCD

内任意一点EF经过▱ABCD对角线的交点O结论S四边形ABFE＝S四边形CDEF知2－练如图21.2－3，已知▱ABCD的周长是60，对角线AC，BD相交于点O.若△AOB的周长比△BOC的周长长8，求这个平行四边形各边的长.例2周长之差转化为邻边之差知2－练解题秘方：紧扣平行四边形对角线、边的性质进行解答.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC.∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8.∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11.知2－练2－1.[中考·临沂]如图，在ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝_______.知2－练如图21.2－4，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD，CB的延长线于点E，F.求证：OE＝OF.例3知2－练解题秘方：利用“平行四边形的对边平行和对角线互相平分”为证明三角形全等创造条件.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC，OD＝OB.∴∠E＝∠F.又∵∠DOE＝∠BOF，∴△DOE≌△BOF(AAS).∴OE＝OF.知2－练3－1.[期中·西安临潼区]如图，▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，EF，BD相交于点O，且OE＝OF.求证：AE＝CF.知2－练证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC,AD∥BC.

∴∠EDO＝∠FBO.又∵OE＝OF，∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB(AAS)．∴DE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF.

∴AE＝CF.知3－讲知识点两条平行线之间的距离31.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.知3－讲三种距离之间的区别与联系类别两点间的距离点到直线的距离两条平行线之间的距离示意图知3－讲续表区别连接两点的线段的长度点到直线的垂线段的长度两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度联系都是指某一条线段的长度距离是数值知3－讲特别解读一般性结论：两条平行线之间的任何两条平行的线段都相等.如图21.2－6.∵a∥b，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.知3－讲2.性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即两条平行线之间的距离处处相等.数学语言：如图21.2－5，A,C是直线l1

上任意两点.∵l1∥l2，AB⊥l2，CD⊥l2，∴AB＝DC.知3－讲特别提醒作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置.知3－练如图21.2－7，直线a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b

上，BC＝EF.△ABC

与△DEF的面积相等吗？为什么？解题秘方：紧扣等底等高的三角形面积相等作三角形的高进行说明.例4知3－练

知3－练4－1.如图，已知l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上.设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由.知3－练解：∵l1∥l2，点C1，C2，C3都在直线l1上，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的边AB上的高相等，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这三个三角形同底等高，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这三个三角形的面积相等，即S1＝S2＝S3.平行四边形及其性质平行四边形定义表示方法性质平行线间的距离如图21.2－8，在▱ABCD中，对角线AC，BD

相交于点O，如果AC＝14，BD＝8，AB＝x，那么x的取值范围是________.题型利用平行四边形的性质解决线段问题1类型1求线段长的取值范围3<x<11例5解题秘方：利用平行四边形对角线互相平分的性质和三角形的三边关系求解.

思路解决此类问题，首先根据平行四边形的性质把相应的线段转化到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系求解.如图21.2－9，在▱ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，且分别交CD于点E，F，AE，BF

相交于点M.类型2证明线段的位置与数量关系例6思路导引：证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴

AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵

AE，BF

分别平分∠DAB

和∠ABC，∴∠DAB＝2∠EAB，∠ABC＝2∠FBA.∴2∠EAB＋2∠FBA＝180°.

∴∠EAB＋∠FBA＝90°.∴∠AMB＝90°，即AE⊥BF.(1)求证：AE⊥

BF；另解如图21.2－11，分别延长BC，AE交于点P.由AD∥BC，AE平分∠DAB，推出∠BAP＝∠P，得到BA＝BP.易得BM⊥AP，即AE⊥BF.(2)判断线段DF

与CE

的大小关系，并说明理由.解：DF＝CE.理由如下：在▱ABCD

中，CD∥AB，

AD＝BC，∴∠DEA＝

∠EAB.又∵

AE

平分∠DAB，∴∠DAE＝

∠EAB.∴∠DEA＝∠DAE.

∴

DE＝AD.同理，CF＝BC.

∵

AD＝BC，∴

DE＝CF.∴

DE－EF＝CF－EF，即DF＝CE.方法技巧“平行线＋角平分线”的基本模型：如图21.2－10，若已知AB∥CD，CE平分∠ACD，则易证△ACE是一个等腰三角形.这个基本模型在平行线、三角形、平行四边形等有关知识中求边、角运算时，应用非常广泛.题型利用平行四边形的性质解决角的问题2如图21.2－12，在▱ABCD中，∠B＝120°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.求∠ADE,∠EDF,∠FDC的度数.例7类型1求角的度数解题秘方：利用平行四边形的对角相等、邻角互补可知∠ADC＝120°，∠A＝∠C＝60°,再由DE⊥AB,DF⊥BC求出待求角的度数.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,∠A＝∠C,∠ADC＝∠B＝120°,∴∠A＋∠B＝180°.∴∠A＝∠C＝180°－∠B＝60°.∵DE⊥AB,DF⊥BC，∴∠ADE＝∠FDC＝30°.∴∠EDF＝∠ADC－∠ADE－∠FDC＝60°.另解∠EDF＝360°－∠DEB－∠B－∠DFB＝360°－90°－120°－90°＝60°.[中考·泸州]如图21.2－13，在▱ABCD中，E，F是对角线BD

上的点，且DE＝BF．求证：∠1＝∠2．解题秘方：紧扣“全等三角形对应角相等”，结合平行四边形的性质进行证明.类型2证明两角相等例8

方法证明角相等的常用方法：1.对顶角相等；2.一个三角形中等边对等角；3.两直线平行，内错角相等(同位角相等)；4.全等三角形的对应角相等；5.同角或等角的补(余)角相等；6.平行四边形的对角相等.题型利用平行四边形的性质解决周长或面积问题3

例9类型1解决周长问题解题秘方：已知条件未给出图形，需要分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.20或12

易错警示分情况画出图形，易漏解：1.涉及三角形或平行四边形的高，画图时常常分类讨论.2.平行四边形的分类画图问题可通过连接对角线转化为三角形的分类画图问题.本题不要漏掉△ABC为钝角三角形的情况.

例10类型2求面积思路导引：

技巧底、高搭配求面积：平行四边形的面积＝底×高，用两种不同的方式表示出平行四边形的面积，据此构造出一个方程.题型利用平行四边形的性质解决点的坐标问题4平面直角坐标系xOy

中，点A(－3，0)，B(0，2)，以O，A，B

为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是(

)A．(－3，2) B．(3，2)C．(3，－2) D．(－3，－2)例11思路导引：解：设第四个顶点为点C，如图21.2－17所示.(1)当OA

为对角线时，AC1∥OB，AC1＝OB，此时点B

怎么平移到点O，点A就以相同的方式平移到点C1.∵

O(0，0)，A(－3，0)，B(0，2)，∴

C1(－3，－2).(2)当OB为对角线时，BC2∥OA，BC2＝OA，同理可得C2(3，2).(3)当AB

为对角线时，BC3∥OA，BC3＝OA，同理可得C3(－3，2).综上可知，第四个顶点的坐标为(－3，－2)或(3，2)或(－3，2).答案：C方法在平面直角坐标系中，已知平行四边形三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标的两种方法：1.利用平行四边形的对边平行且相等，结合平移求点的坐标；2.利用平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式求点的坐标.题型利用平行四边形的性质解决实际问题5李村有一个呈四边形的池塘，如图21.2－18，在它的四个顶点A，B，C，D

处各有一棵大树．例12李村准备开挖池塘改建成养鱼池．要使鱼池的面积扩大一倍又想保持四棵大树不动，并要求扩建后的鱼池成平行四边形形状.请问，李村能否实现这一设想？若能，请你设计方案并画图；若不能，请说明理由．另解另解1：如图21.2－19，连接BD，分别过点A，C作BD的平行线，过点B作AD的平行线，分别交过点A，C且平行于BD的直线于点E，F，延长AD，交过点C且平行于BD的直线于点G，则四边形AEFG即为扩建后的鱼池.另解2：如图21.1－20，连接AC，作图方法类似于另解1，易得四边形GBEF即为扩建后的鱼池.思路导引：解：能实现这一设想.连接对角线AC，BD，交于点O，过点A作BD

的平行线，过点C

作BD

的平行线，过点B

作AC

的平行线，过点D

作AC

的平行线，四条平行线依次交于M，N，G，H

四点，如图21.2－18，理由：易得四边形AODH、四边形AOBM、四边形BOCN、四边形OCGD、四边形MNGH均为平行四边形．在▱AODH

中，HD＝OA，AH＝DO，AD＝DA，∴△AHD≌△DOA．∴

S△AHD＝S△AOD．同理，S△AMB＝S△AOB，S△NBC＝S△OBC，S△COD＝S△CGD．∴

S▱MNGH＝2S四边形ABCD．题型利用平行四边形的性质解决动点问题6如图21.2－21，在四边形ABCD中，AD∥BC,且AD＝9cm，BC＝6cm，点P，Q分别从点A,C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，当点Q运动到点B时，两点停止运动，求几秒后，PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.例13思路导引：解：设点P，Q运动的时间为t(s)，由题意可知t≤3.依题意有CQ＝2t，BQ＝6－2t，AP＝t，PD＝9－tcm.分两种情况讨论：(1)如图21.2－22，当四边形APQB是平行四边形时，BQ＝AP，即6－2t＝t，解得t＝2；(2)如图21.2－23，当四边形CQPD是平行四边形时，CQ＝PD，即2t＝9－t，解得t＝3.因此，2s或3s后，PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.解题通法动点问题的求解方法：解决动点问题的基本思路就是变“动”为“静”，要用“静”去理解“动”.在动态问题中判定平行四边形，要在掌握平行四边形各种判定方法的基础上，根据已知的一个条件，寻找另一个合适的条件，使四边形成为平行四边形.要学会在“动”中求“静”，同时要注意分类讨论思想的应用.易错点因考虑问题不全面而导致漏解在▱ABCD

中，∠BAD

的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则▱ABCD的周长是()A.22 B.20C.22或20 D.18例14错解：B正解：

如图21.2－24，在▱ABCD中，AD∥BC，则∠DAE＝

∠AEB.∵

AE

平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.∴∠BAE＝∠BEA.∴

AB＝BE.∵

BC＝BE＋EC，∴

当BE＝3，EC＝4时，▱ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(3＋3＋4)＝20；当BE＝4，EC＝3时，▱ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2×(4＋4＋3)＝22.答案：C诊误区：无图的平行四边形问题，常有多种可能，此题容易因考虑问题不够周密，只看到了角平分线分线段为两部分，但没有考虑到哪部分为3，哪部分为4，从而忽略了多解的情况.[中考·贵州]如图21.2－25，▱ABCD的对角线AC与BD

相交于点O，则下列结论一定正确的是(

)A．AB＝BCB．AD＝BCC．OA＝OBD．AC

⊥

BD考法利用平行四边形的性质进行辨析1例15试题评析：本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题关键.解：A.平行四边形的邻边不一定相等，无法得到AB＝BC，故此选项不合题意；B.平行四边形的对边相等，故AD＝BC，故此选项符合题意；C.平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，无法得到OA＝OB，故此选项不合题意；D.平行四边形的对角线不一定垂直，无法得到AC⊥BD，故此选项不合题意．答案：B[中考·宜宾]如图21.2－26，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长．考法利用平行四边形的性质计算与证明2例16试题评析：本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的对边平行且相等得到相等的角和边是解题关键.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝5，BC∥AD.∴∠EFC＝∠EAD，∠ECF＝∠EDA.∵点E是平行四边形ABCD边CD的中点，∴CE＝DE.∴△ADE≌△FCE(AAS).∴CF＝AD＝5.∴BF＝BC＋CF＝5＋5＝10.1.[中考·宜宾]下列说法正确的是(

)A．平行四边形是轴对称图形B．平行四边形的邻边相等C．平行四边形的对角线互相垂直D．平行四边形的对角线互相平分D2.[模拟·深圳]如图，某条楼梯及栏杆可以看作由三角形ABC与平行四边形ACDE构成,若∠D＝59°，则该楼梯的坡脚∠BAC的度数为(

)A.59°B.41°C.31°D.49°C3.[中考·遂宁]如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD

交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为()A.28 B.24C.21 D.14D4.[中考·眉山]如图，在▱ABCD

中，点O是BD

的中点，EF

过点O，下列结论：①

AB∥DC；

②

EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF.其中正确结论的个数为(

)A．1

B．2 C．3

D．4C

C6.如图，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是_______.(4，2)7.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若AB＝AC＝5，AD＝3，则梯形ABCD的面积为_______．188.如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝_______cm．129.在①

AE＝CF；②

OE＝OF；③

BE∥DF

这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并完成证明过程.已知：如图，四边形ABCD

是平行四边形，对角线AC，BD

相交