（新教材）2026年人教版八年级下册数学 21.2.2 平行四边形的判定 21.2.3 三角形的中位线 课件

（2026年新教材）人教版初中数学八年级下册教学课件2026年新版八年级下册数学（人教版）教材变化一、核心结构与章节调整内容重组：二次根式由九上移至八下；一次函数由八上移至八下；反比例函数移至九下；分式调整至八上。章题优化：“四边形”改为平行四边形，删去梯形内容，聚焦核心图形。栏目升级：每节新增引言；章引言与小结优化；新增溯源、图说数学史栏目，强化问题驱动与文化渗透。二、内容与表述优化二次根式：根号下含字母的化简与运算标注为选学；只要求理解加减乘除法则，会进行简单四则运算（根号下仅限数）。勾股定理：突出面积法证明；新增数学活动，用勾股定理证明“HL”判定；加强知识总结与实践应用。平行四边形：突出逻辑推理，部分结论从逆命题角度推导，减少实验操作；强化定义—性质—判定的研究路径。一次函数：强化“变化与对应”思想；情境贴近生活，新增多选题与探究题，分层更清晰。数据的分析：新增趋势分析，完善统计知识体系，例习题更新超60%，情境更真实。三、综合实践与活动升级新增2个综合与实践：《基于一次函数的最优化问题》《利用平行四边形性质设计图案》，强调建模与跨学科应用。数学活动更新：每章2个共10个，6个换新，突出探究与动手操作，如勾股定理的拓展证明。21.2平行四边形第二十一章四边形21.2.2平行四边形的判定21.2.3三角形的中位线逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2平行四边形的判定方法三角形的中位线知识点平行四边形的判定方法知1－讲11.判定平行四边形可以从边、角和对角线三个方面进行.具体如下表所示.判定方法符号语言图示边两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形知1－讲续表判定方法符号语言图示边两组对边分别相等的四边形是平行四边形∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形∵

ADBC(或AB

CD)，∴四边形ABCD是平行四边形知1－讲续表判定方法符号语言图示角两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD

是平行四边形知1－讲2.平行四边形判定方法的选择已知条件证明思路一组对边相等(1)另一组对边相等(2)该组对边平行一组对边平行(1)另一组对边平行(2)该组对边相等对角线相交对角线互相平分角两组对角分别相等知1－讲特别提醒1.平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理，解题时要注意区别，不能混淆.2.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.如等腰梯形.知1－讲3.两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形.如筝形，如图21.2－27.4.两组邻角分别相等的四边形不一定是平行四边形.如等腰梯形.知1－练例1如图21.2－28，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，BF＝DE.求证：四边形ABCD是平行四边形.解题秘方：根据所给条件可知证三角形全等可得到证四边形ABCD是平行四边形的条件，方法不唯一.知1－练证法一：(证两组对边相等)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF,即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF,∴△ABE≌△CDF，∴AB＝CD.∵AE＝CF,∠AED＝∠CFB，DE＝BF,∴△AED≌△CFB,∴AD＝CB.∴四边形ABCD是平行四边形.知1－练证法二：(证两组对角相等)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF,即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF,∴△ABE≌△CDF.∴∠ABE＝∠CDF，∠BAE＝∠DCF.∵AE＝CF,∠AED＝∠CFB，DE＝BF,∴△AED≌△CFB,∴∠ADE＝∠CBF，∠DAE＝∠BCF.知1－练∴∠ABE＋∠CBF＝∠CDF＋∠ADE，∠BAE＋∠DAE＝∠DCF＋∠BCF，即∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD.∴四边形ABCD是平行四边形.知1－练证法三：(证两组对边平行)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF,即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF,∴△ABE≌△CDF.∴∠ABE＝∠CDF，∴AB∥CD.易得△AED≌△CFB，∴∠ADE＝∠CBF.∴AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.知1－练证法四：(证一组对边平行且相等)∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF,即BE＝DF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF,∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.知1－练1－1.在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，点F是DE延长线上一点，连接CF.添加下列条件：①BD∥CF；②DF＝BC；③BD＝CF；④∠B＝∠F，能使四边形BCFD是平行四边形的是_______(填上所有符合要求的条件的序号)．①②④知1－练1－2.如图，在ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD

的平分线.求证：四边形AFCE是平行四边形.(至少用两种证法)知1－练知1－练知1－练证法三：(证一组对边平行且相等)∵四边形

ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB

CD，即

EC∥AF，∴∠DEA＝∠EAB.∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB.∴∠DAE＝∠DEA.∴DE＝AD.同理BF＝BC，∴DE＝BF，∴DC－DE＝AB－BF，即EC＝AF.

∴四边形AFCE为平行四边形．知1－练证法四：(证两组对边相等)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠B＝∠D，AB

CD，∴∠DEA＝∠EAB，∠ECF＝∠CFB.

∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，∴∠DAE＝∠EAB，∠ECF＝∠BCF.∴∠DEA＝∠DAE，∠CFB＝∠BCF.∴DE＝DA＝BC＝BF.

∴△DAE≌△BCF(SAS)，AB－BF＝CD－DE，即AF＝EC.∴AE＝CF.

∴四边形AFCE为平行四边形．知1－练[中考·徐州]已知：如图21.2－29，在平行四边形ABCD中，点E，F在AC上，且AE＝CF.求证：四边形BEDF

是平行四边形.解题秘方：由于条件都与四边形的对角线相关，因此需紧扣对角线关系判定平行四边形.例2知1－练证明：如图21.2－29，连接BD，设对角线AC，BD交于

点O.∵四边形ABCD

是平行四边形，∴

OA＝OC，OB＝OD.又∵

AE＝CF，∴

OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.∴四边形BEDF

是平行四边形.知1－练2－1.如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，

E，F

分别是OB，OD的中点.

求证：四边形AFCE

是平行四边形.知1－练知2－讲知识点三角形的中位线21.三角形的中位线及其定理三角形的中位线定义连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线符号语言如图所示.∵AD＝BD，AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线知2－讲续表三角形的中位线定理内容三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半符号语言应用(1)位置关系：证明两直线平行；(2)数量关系：证明线段的相等或倍分关系知2－讲2.三角形的中位线与三角形的中线的区别类别三角形的中位线三角形的中线图示符号语言在△ABC，∵

D，E，F

分别是BC，AC，AB

边的中点，∴

DE，EF，FD

是△ABC

的中位线(如图①)，AD，BE，CF是△ABC

的中线(如图②)知2－讲续表区别三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段C△ABD－C△ACD＝AB－AC，C△CBF－C△CAF＝BC－AC，C△BAE－C△BCE＝AB－BC(AB>BC>AC)知2－讲特别解读1.三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.2.三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.3.中位线具有平移角度、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到.知2－练

例3知2－练解题秘方：有三角形中位线(或三角形中两条边的中点)的条件时，若求角的度数，则考虑中位线定理的位置关系；若求线段的长度，则考虑中位线定理的数量关系.知2－练解：∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠A＝30°.∵∠C＝90°，∴∠CED＝90°－∠CDE＝60°.求：(1)∠CED的度数；知2－练

(2)线段DE的长.知2－练3－1.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是CD边的中点，连接OE.知2－练(1)若ABCD的周长为36，BD＝12，求△DOE的周长；知2－练(2)若∠ABC＝60°,∠BAC＝80°,求∠1的度数.解：∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°－60°－80°＝40°.由(1)知OE是△BCD的中位线，∴OB∥BC.∴∠1＝∠ACB＝40°.知2－练如图21.2－31，已知E

为▱ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC，BD，交于点O，连接OF.求证：AB＝2OF.例4知2－练思路导引：知2－练证明：如图21.2－31，连接BE.∵四边形ABCD

为平行四边形，∴

AB∥CD，AB＝CD，点O

是AC

的中点.∵

E

为▱ABCD

中DC

边延长线上一点，且CE＝DC，∴

AB∥CE，AB＝CE.∴四边形ABEC

是平行四边形.∴点F

是BC

的中点.∴

OF

是△ABC

的中位线.∴

AB＝2OF.知2－练

知2－练平行四边形的判定三角形的中位线判定平行四边形边的关系角的关系对角线的关系三角形的中位线定义性质如图21.2－32，在▱ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF，试猜测AC与EF有什么关系，并加以证明.题型构造平行四边形解决问题1类型1连接两点构造平行四边形例5解题秘方：结合图形进行猜测：AC，EF

互相平分.紧扣平行四边形“对角线互相平分”这一特征，将证明线段互相平分问题转化为证明平行四边形问题来解.解：AC与EF互相平分.证明如下：如图21.2－32，连接AF，CE.∵四边形ABCD

是平行四边形，∴

DC∥AB，DC＝AB.∵

DF＝BE，∴

CF＝AE.又∵

CF∥AE.

∴四边形AECF

为平行四边形.∴

AC

与EF

互相平分.另解∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC＝AB，CF∥AE.∴∠CFE＝∠AEF.∵DF＝BE，∴CF＝AE.又∵EF＝FE，∴△CFE≌△AEF(SAS).∴∠CEF＝∠AFE.∴CE∥AF.∴四边形AECF是平行四边形.知识储备两条线段的数量关系有相等或倍分，位置关系有平行或相交，而相交的特殊情况有垂直、互相平分.如图21.2－33，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE

交AD

于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.类型2延长线段构造平行四边形例6思路导引：证明：如图21.2－33，延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG，CG.

∵

AD为△ABC

的中线，∴

BD＝DC.又∵

DG＝AD，∴四边形ABGC

是平行四边形.∴

AC

BG.∴∠1＝

∠2.又∵

AE＝FE，∴∠1＝

∠3.∴∠2＝

∠3＝

∠BFG.∴

BG＝BF.又∵

BG＝AC，∴

BF＝AC.思路当题中有三角形的中线时，常用“倍长中线法”构造平行四边形，然后利用平行四边形的性质推出线段相等或平行及角相等.题型构造三角形中位线基本图形解决问题2如图21.2－34所示的四边形ABCD，点E，F，G，H

分别是边AB，BC，CD，DA

的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH.求证：四边形EFGH

是平行四边形.类型1连接两点构造三角形例7思路导引：

解题策略1.依次连接四边形各边中点所得到的四边形叫中点四边形，所有的中点四边形都是平行四边形.2.利用三角形的中位线定理判定平行四边形，一般用“一组对边平行且相等”判定平行四边形.

类型2延长线段构造三角形“角平分线＋垂直”联想到等腰三角形例8思路导引：

解题通法构造三角形中位线的方法:1.如图21.2－36①，若已知一边中点，则取另一边中点,并连接；2.如图21.2－36②，若已知两边中点，则连接第三边；3.如图21.2-36③，若已知一边中点，则将另一边倍长，再连接第三边；4.如图21.2-36④，若已知一条线段与角平分线垂直，则延长这条线段构造等腰三角形，结合已知条件得到中位线.易错点对平行四边形的判定方法把握不准导致错误观察图21.2－37，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是()A.③ B.②③ C.①② D.①②③例9答案：A错解：B正解：①一组对边平行，另一组对边不平行，不是平行四边形；②一组对边平行，另一组对边相等，不能判断其一定是平行四边形；③一组对边平行且相等，能判断其一定是平行四边形.所以根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的只有③.诊误区：本题易错之处在于“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形；此外，不能仅凭直观判断轻易下结论，必须要经过严格的推理论证得出结论.[中考·湖南节选]如图21.2－38，在四边形ABCD中，AB∥

CD，点E在边AB上，________.请从“①

∠B＝

∠AED；②

AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，并证明四边形BCDE是平行四边形.考法选择条件判定平行四边形1例10试题评析：本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．解：①(或②)证明：若选择①：∵∠B＝

∠AED，∴

BC∥DE.又∵AB∥CD，∴四边形BCDE

为平行四边形.若选择②：∵

AE＝BE，AE＝CD，∴

BE＝CD.又∵

AB∥CD，∴四边形BCDE

为平行四边形.[中考·苏州]如图21.2－39，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE．考法平行四边形的性质与判定的综合2例11试题评析：本题考查全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键.(1)求证：△DAC≌△ECB；

(2)连接DE，若AB＝16，求DE的长

[中考·巴中]如图21.2－40，▱ABCD的对角线AC，BD

相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若▱ABCD的周长为12，则△COE

的周长为()A．4 B．5C．6 D．8考法利用三角形的中位线定理求周长3例12试题评析：本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，得出OE是△ABC

的中位线是解题关键.

答案：B1.如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(

)A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DOD．AB∥DC，AD＝BCD2.如图，小张想估测被池塘隔开的A，B

两处景观之间的距离，他先在AB

外取一点C，然后步测出AC，BC

的中点D，E，并步测出DE

的长约为18m，由此估测A，B

之间的距离约为()A．18mB．24mC．36mD．54mC3.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，△ABC

中，AB＝AC，AE

平分△ABC

的外角∠CAN，点M

是AC

的中点，连接BM

并延长交AE

于点D，连接CD．求证：四边形ABCD

是平行四边形．证明：∵

AB＝AC，∴∠ABC＝

∠3．∵

∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴①________．又∵∠4＝∠5，MA＝MC，∴△MAD

≌△MCB(②________).∴

MD＝MB．

∴四边形ABCD

是平行四边形．若以上解答过程正确，①②应分别为(

)A．∠1＝∠3，AASB．∠1＝∠3，ASAC．∠2＝∠3，AASD．∠2＝∠3，ASAD4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED

的周长为()A．4B．6C．8D．16C

D6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD

相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件________，使四边形ABCD是平行四边形．OB＝OD(答案不唯一)

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