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五阶线性微分方程的解法运用综述目录TOC\o"1-3"\h\u15858五阶线性微分方程的解法运用综述 110488（一）五阶线性微分方程的探究 110470（二）对常数系五阶线性通解的验证实例 3前面我们了解了一些微分方程的概念，也学习了一些解决高阶微分方程问题的法，对此我们将进一步用五次多项式微分方程的通解来进行研究，帮助我们更加直观的了解所学到的微分方程。为此，我们将从线性微分方程的算子理论解法和其应用中更深入系统地了解微分方程的基础和充要条件，从而得到了它在不同的条件下降阶方法，并且还给出了一种求解相应方程的通解方法。五阶线性微分方程的探究在前面的学习中，我们知道了一阶微分方程和二阶微分方程通解的由来，现在我们将用证明最高阶为n阶的常数系线性微分方程的通解的过程，从而间接的推导出五阶微分方程通解的公式。定理1：设有n阶常数系线性微分方程 其中为可积函数，为常数，若为对应齐次线性微分方程 . 的特征根，则方程(3.1)的通解为 ,其中为任意常数。证明：记则有进而得和 同理 其中，和并且 由上可知 ,以此类推有 ,从而 故微分方程(3.1)的通解为 ,其中为任意常数。综上所述，当n=5时，得到五阶微分方程的通解为对常数系五阶线性通解的验证实例例题6：求微分方程的通解。解：对应齐次线性微分方程的特征方程为解得，有(3.3)可得所求通解为其中为任意常数。例题7：求微分方程的通解。解：由于特征方程解得，所以所求通解为 其中为任意常数。推论1：在定理1中，若，则对应齐次线性微分方程(3.2)的通解为 . 当n=2时，通解 这个结论和教材中二阶常系数齐次线性微分方程通解的结果完全一样。推论2：在定理1中，若，则微分方程(3.1)的一个特解为 . 当n=2是，通解为 此结论比教材中二阶常系数非齐次线性微分方程当 .时的两种不同类型方程的特解形式更具有普遍性。由上面的推论1和推论2可以知道，方程(3.1)的通解结果(3.3)为对应方程(3.2)的通解(3.5)和方程(3.1)的特解(3.6)之和，这与线性微分方程解的结构是完全一致的。所以由此可

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