高中数学换元法一

高中数学换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4*+2*-2≥0,先变形为设2ˣ=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√x+√1-x的值域时，易发现x∈[0,1],设x,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x²+y²=r²(r>0)时，则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x+y=S形式时，设我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和(3.已知数列{an}中，a₁=-1,an+1·an=an+1-an,则数列通项an=04.设实数x、y满足x²+2xy-1=0,则x+y的取值范围是_o5.方程的解是o6.不等式log₂(2×-1)·log₂(2*+¹-2)<2的解集是o【简解】1小题：设sinx+cosx=t∈[-√2,√2],则,对称轴t=-1,2小题：设x²+1=t(t≥1),则f(t)=loga[-(t-1)²+4],所以值域为[-∞,loga4];4小题：设x+y=k,则x²-2kx+1=0,△=4k²-4≥0,所以k≥1或k≤-1;5小题：设3×=y,则3y²+2y-1=0,解得,所以x=-1;6小题：设log₂(2*-1)=y,则y(y+1)<2,解得-2<y<1,所以例1.实数x、y满足4x²-5xy+4y²=5(①式),设S=x²+y²,求的值。(93年全国高中数学联赛题)【分析】由S=x²+y²联想到cos²α+sin²a=1,于是进行三角换元，设【解】设此种解法后面求S最大值和最小值，还可由的有界性而求，即解不等【另解】由S=x²+y²,设移项平方整理得100t²+39S²-160S+100=0。【注】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S=x²+y²与三角公式cos²a+sin²a=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=x²+y²而按照均值换元的思和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法=a+b,y=a—b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b,y=a—b,代入①式整理得3a²+13b²=5,求得,所以S=(a—b)²+(a+b)²,再求的值。的值。(96年全国理)【分析】由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得;由“A+C=120°”进行均值换元，则设,再代入可,代入已知等式得：十【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所所以两式分别相加、相减得：得：3m⁴-16m-12=0,解出m²=6,代入【注】本题两种解法由“A+C=120°”、’分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A+cosC=-2√2cosAcosC,和积互化得：例3.设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a²的【解】设sinx+cosx=t,则t∈[-√2,√2],例4.设对所于有实数x,不等式恒成立，求a的取值范围。(87年全国理)、10g₂三项有何联系?进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。22代入后原不等式简化为(3-t)x²+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立，所以：【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判值。【解】²+y²)=1,代入②式得：【另解】由,将等式②两边同时除以设tg²θ=t,第二种解法将已知变形为,不难发现进行结果为tgθ,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方例6.实数x、y满若x+y—k>0恒成立，求k的范围。【分析】由已知条件可以发现它与a²+b²=1有相似之处，3cosθ+4sinθ—k>0,【注】本题进行三角换元，将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式+c>0(a>0)所表示的区域为直线ax+by+c=0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x+y—k>0的区域。即当直线x+y—k=0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△=0可求得k=-3,所以k<-3时原不等式恒成立。Ⅲ、巩固性题组：1.已知f(x³)=1gx(x>0),则f(4)的值为oA.21g2B.C.2.函数y=(x+1)⁴+2的单调增区间是_o3.设等差数列{an}的公差且S100=145,则a₁+a₃+a₅+……·a₉9的值为 o5.已知a≥0,b≥0,a+b=1,则的范围6.不等式的解集是(4,b),