高中数学-探索性问题一

高中数学-探索性问题近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题(探索结论);或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题(探索条件),称为探索性问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一问题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能力。I、再现性题组：1.是否存在常数a、b、c,使得等式bn+c)对一切自然数n都成立?并证明你的结论。(89年全国理)2.已知数列,…。Sn为其前n项和，求S₁、S₂、S₃、S₄,推测S。公式，并用数学归纳法证明。(93年全国理)【简解】1题：令n=1、2、3代入已知等式列出方程组，解得a=3、b=11、c=10,猜测a、b、c的值对所有的n∈N都成立，再运用数学归纳法进行证明。(属于是否存在型问题，也可属于猜想归纳型问题)2题：计算得到,观察后猜测【例1】已知方程kx²+y²=4,其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图。(78年全国高考题)【分析】由圆、椭圆、双曲线等方程的具体形式，结合方程kx²+y²=4的特点，对参数k分k>1、k=1、0<k<1、k=0、k<0【解】由方程kx²+y²=4,①当k>1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y轴上，a=2,④当k=0时，表示两条平行直线y=±2;⑤当k<0时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y轴【注】分类讨论型问题，把所有情况分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。【例2】给定双曲线①过点A(2,0)的直线L与所给双曲线交于P₁及P₂,求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程；②过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q₁、Q₂,且点B是线段Q₁、Q₂的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。(81年全国高考题)【解】①设直线L:y=k(x-2)消y得(2—k²)x²+4k²x—(2+4k²)=0代入直线L得：∴∴消y得(2—k²)x²+(2k²-2k)x+2k-k²-3=0an与2的等差中项等于S,与2的等比中项。①写出数列{a,}的前3项；②求数所以数列{a,}的前3项依次为2、6、10。②由数列{an}的前3项依次为2、6、10猜想a,=4n-2,下面用数学归纳法证明an=4n-2:假设当n=k时结论成立，即有ak=4k—2,当n=k+1时，由题意即ak+1²-4ak+1+4-16k²=0由ak+1>0,解得ak+1=2+4k=4(k+1所以n=k+1时，结论也成立。【注】本题求数列的通项公式，属于猜想归纳型问题，其一般思路是：从最简单、最特由题意有,整理得到,所以【解】假定x₁<1,当n=1时，1-x₁²>0;假设n=k时1-xk²>0,那么当n=k+1时，假定x₁>1,当n=1时，1-x₁²<0;假设n=k时1-xk²<0,那么当n=k+1时，【注】本题对1-xn²的符号的探讨，由于其与自然数n有关，考虑使用数学归纳法解决。一般地，探索性问题与自然数n有关时，我们可以用归纳→猜想→证明的方法解出。n+1;②.是否存在常数c>0,使<1g(Sn+1-c)成立?并证明你的结论。(95年全国理)的前n项和，试比较Sn的大小，并证明你的结论。(98年全国高考题)3.是否存在a、b、c,使得an=an²+bn+c,且满足a₁=1,3S,=(n+2)an,对一切自然数n都成立(其中Sn=a₁+a₂+…+an)?试证明你的结论。4.已知Pn=(1+x)”,5.已知数列{a,}满足关系式a₁=a(a>0),(n≥2,n∈N)。①求顶点A的轨迹L;②是否存在直线m,使m过点B并与曲线L交于不同的两点P、Q且|PQ|