第9章 向量代数与空间解析几何

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课题第9章向量代数与空间解析几何课时14课时（630min）教学目标知识技能目标：（1）认识空间直角坐标系（2）了解向量的坐标（3）熟悉向量的模与方向余弦（4）掌握向量的代数运算（5）熟练掌握向量的数量积的定义、性质及计算方法（6）熟练掌握向量的向量积的定义、性质及计算方法（7）掌握平面方程的各种表示方法（8）熟练掌握特殊位置平面的表示方法（9）运用空间直线方程的三种形式素质目标：（1）通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断地拓展自己的思维空间（2）通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的快乐教学重难点教学重点：向量的代数运算，数量积、向量积的定义和性质教学难点：数量积、向量积的计算方法，平面的几种表示及其应用教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：你是如何理解三维空间的？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解有关向量代数与空间解析几何的知识9.1预备知识9.1.1向量的概念9.1.2向量的线性运算1．向量的加减法2．向量与数的乘法定理设向量，那么向量平行于的充分必要条件是存在唯一的实数，使．9.1.3二阶与三阶行列式1．二阶行列式【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．三阶行列式【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．当向量的起点、终点不在同一直线（平面）上时，这些向量可以共线（共面）吗？任意两个向量一定共面吗？任意三个向量一定共面吗？2．向量的线性运算结果是向量还是数？3．如何从几何的角度去理解向量与数的乘法及两个向量的线性运算？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论9.2空间直角坐标系及向量坐标9.2.1空间直角坐标系9.2.2向量的坐标表示9.2.3向量线性运算的坐标表示【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【注意】教师补充知识点三元有序实数组既可表示点，又可表示向量，所以求点的坐标，就是求向量的坐标．但在几何上，点与向量是两个不同的概念，不可混淆．当表示向量时，可对它进行运算，但当表示点时，则不能进行运算．【学生】聆听、思考、记录9.2.4向量的模、方向余弦、投影1．向量的模与两点间的距离公式设向量，作，则有，由勾股定理可得，由有，于是得向量模的坐标表示式【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．方向角与方向余弦非零向量与轴、轴、轴正向的夹角称为向量的方向角，称为向量的方向余弦．设，有【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习3．向量在轴上的投影性质1，即，其中为向量与轴的夹角．性质2．性质3．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．向量有了坐标以后，如何用坐标表示向量的大小和方向？2．投影的值可以取零或负数吗？？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点向量的概念向量的线性运算二阶与三阶行列式空间直角坐标系及向量坐标【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题9.1、9.2【学生】完成课后任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解数量积、向量积、混合积等知识9.3数量积向量积混合积1．数量积的概念与性质定义1设有和两个向量，它们的夹角为，则称为向量和的数量积（或内积、点积），记作或，即．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习2．数量积的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式：【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.3.2两向量的向量积1．向量积的概念和性质定义2若由向量与所确定的向量满足下列条件：（1）的模为，其中为与的夹角；（2）的方向垂直于与所决定的平面，的指向按右手规则从转向来确定，则向量称为向量与的向量积（或称外积、叉积），记作，即．2．向量积的坐标表示式【注意】教师补充知识点上式右端三阶行列式是一个形式记号，仅表示遵照行列式展开规则，按第一行展开．【学生】聆听、思考、记录【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.3.3向量的混合积定义3设已知三个向量，向量与向量的数量积称为向量的混合积，记为或．设，则．【问题讨论】教师提问1．如何用向量运算判定以下问题？（1）两个向量平行；（2）两个向量垂直；（3）三点共线；（4）四点共面或三个向量共面．2．如何用向量求解平行四边形面积、三角形面积、平行六面体体积及四面体体积？3．任意两向量的位置关系如何判定？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论9.4平面及其方程定义1在空间直角坐标系中，若一个方程与某一空间曲面有下述关系：（1）曲面上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面上的点的坐标都不满足方程，那么，方程称为曲面的方程，而曲面称为方程的图形，如图所示（详见教材）．9.4.1平面的点法式方程【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.4.2平面的一般方程【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.4.3平面的截距式方程【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.4.4两平面的夹角两平面的法线向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两平面的夹角，按两向量夹角的余弦公式，两平面夹角的余弦表达式为【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．平面方程有哪几种形式？不同形式之间可否相互转化？如何转换？2．在平面解析几何和空间解析几何中，一次方程的图形有什么不同？3．平面的法向量是否唯一？他们之间有什么关系？4．空间曲线的一般方程是否唯一？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点数量积向量积混合积平面及其方程【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题9.3、9.4【学生】完成课后任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解空间直线及其方程、曲面及其方程、空间曲线及其方程等知识9.5空间直线及其方程9.5.1空间直线的一般方程空间直线可以看作是两个平面和的交线．设两个相交平面和的方程分别为，则直线上任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组9.5.2空间直线的对称式方程与参数方程如果一个非零向量平行于一条已知的直线，那么这个向量就称为直线的方向向量．空间直线的位置可由其上一点及它的方向向量确定．设是直线上的任意一点，作向量，由，得称为直线的对称式方程或点向式方程.【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.5.3两直线的夹角两直线方向向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两直线的夹角．设和分别为直线和的方向向量，则和的夹角应是和两者中的锐角，因此按照两向量夹角的余弦公式，有．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.5.4直线与平面的夹角设直线的方向向量为，平面的法线向量为，直线与平面的夹角为，则按两向量夹角余弦的坐标表示式，有．*9.5.5平面束【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习【问题讨论】教师提问1．从图形看，空间直线比平面简单，为什么不先讨论直线及其方程？2．不同形式的直线方程（一般式、对称式、参数式）如何进行相互转化？3．直线的方向向量是否唯一？它们之间有什么关系？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论9.6曲面及其方程9.6.1球面【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.6.2柱面定义1平行于某定直线的直线沿定曲线移动形成的轨迹称为柱面，定曲线称为柱面的准线，动直线称为柱面的母线，如图所示(详见教材)．9.6.3旋转曲面定义2以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和轴．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.6.4椭圆锥面由方程所表示的曲面称为椭圆锥面．9.6.5椭球面由方程所表示的曲面称为椭球面．9.6.6双曲面1．单叶双曲面由方程所表示的曲面称为单叶双曲面．2．双叶双曲面由方程所表示的曲面称为双叶双曲面．9.6.7抛物面1．椭圆抛物面由方程所表示的曲面称为椭圆抛物面．2．双曲抛物面由方程所表示的曲面称为双曲抛物面，又称马鞍面．【问题讨论】教师提问1．如何识别旋转曲面方程，如何求旋转曲面方程？2．柱面、旋转曲面各有什么特征？【学生】聆听、思考、回答问题、交流讨论【学生】聆听、思考、理解、记录课堂小结【教师】简要总结本节课的要点空间直线及其方程曲面及其方程【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成习题9.5、9.6【学生】完成课后任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因知识回顾【教师】回顾上节课内容【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答，引入新知，讲解空间曲线及其方程等知识9.7空间曲线及其方程9.7.1空间曲线的一般方程曲线上任何点的坐标应同时满足这两个方程，即应满足方程组称为空间曲线C的一般方程．【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习9.7.2空间曲线的参数方程空间曲线的方程除了一般方程之外，也可以用参数方程来表示，即把空间曲线上的动点坐标表示为参数的函数，其一般形式是称为空间曲线的参数方程【教师】讲解例题并随堂练习【学生】认真听讲，并参与练习*9.7.3曲面的参数方程9.7.4空间曲线在坐标面上的投影【教师】讲解例题并随堂