《三角形的边》课件

第十一章

三角形11.1与三角形有关的线段

11.1.1三角形的边角平分线三角形的线段三角形的内角和

三角形的外角和三角形的边高中线多边形的内角和多边形的外角和三角形1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类.2.掌握三角形的三边关系.

3.运用三角形三边关系解决有关的问题.学习重点：运用三角形三边关系解决有关的问题.学习难点：掌握三角形的三边关系.

水分子结构示意图飞机机翼埃及金字塔

问题：（1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例.三角形的有关概念知识点1由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形，叫做三角形.所以，三角形的特征有：

(1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接.三角形的定义

学生活动一

【一起探究】边c边b边a顶点A顶点B顶点C角角角①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.③内角：相邻两边组成的角.三角形的表示：ABC三角形用符号“△”表示.记作“△ABC”读作“三角形ABC”.如图：线段AB、BC、CA是△ABC的三边；点A、B、C△ABC的三个顶点；∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角.例

说出图中有多少个三角形，用符号“△”表示，并指出每一个三角形的三条边，三个顶点，三个内角.素养考点1三角形的识别QFEPGH12解：图中有3个三角形，分别是△EHG，△EHF，△EFG.△EHG的三边是EH、HG、GE，三内角是∠G、∠GHE、∠HEG，三个顶点是G、H、E；△EHF的三边是EH、HF、FE，三内角是∠EHF、∠HFE、∠HEF，三个顶点是F、H、E；△EFG的三边是EF、FG、GE，三内角是∠G、∠GFE、∠FEG，三个顶点是G、F、E.QFEPGH12方法点拨在查三角形的个数时，先给单个三角形编号，查单个的三角形，再查两个三角形组成的较大三角形，然后再查三个，四个三角形组成的三角形.读出图中的各个三角形.ADBEC解：△ABE，

△BCD，

△ABC，

△DCE，

△BCE.我们知道，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．你能按照边的关系对三角形进行分类吗？三角形的分类知识点2学生活动二

【一起探究】三边都不相等的三角形三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形按边分类后的特殊三角形之间有什么关系？它们的边和角怎样命名？腰腰底边三角形顶角底角底角素养考点2判断三角形的形状例

根据下列条件，判断△ABC的形状.①∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°;②∠C=110°;

③∠C=90°;

④AB=BC=3，AC=4解：①∵∠A，∠B，∠C都小于90°，

∴△ABC是锐角三角形②∵∠C=110°＞90°，∴△ABC是钝角三角形③∵∠C=90°=90°，∴△ABC是直角三角形④∵AB=BC=3，AC=4，∴△ABC是等腰三角形下列说法正确的有(

)①等腰三角形是等边三角形;②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等

边三角形;③等腰三角形至少有两边相等;④三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角

三角形.A.①②

B.①③④C.③④D.①②④C

√√在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它会选择哪条路线?如果小狗在C点呢？BCACAB知识点3三角形三边的关系学生活动三

【一起探究】

在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系呢？BCA想一想

计算三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？ACB试一试

如图三角形中，假设小狗要从点B出发沿着三角形的边跑到点C，它有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？ABC路线1:由点B到点C.路线2:由点B到点A，再由点A到点C.两条路线长分别是BC，AB+AC.由“两点之间，线段最短”可以得到AB+AC>BC

.

由不等式的基本性质可得：AB>BC–AC.ABC同理可得：AC+BC>AB，

AB+BC>AC(AC>AB–BC，BC>AC–AB)三角形的三边有这样的关系：

(1)

三角形两边的和大于第三边.

(2)

三角形两边的差小于第三边.例1下列长度的各组线段能否组成一个三角形？(1)15cm、10cm、7cm(2)4cm、5cm、10cm(3)3cm、8cm、5cm(4)4cm、5cm、6cm素养考点1利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形

(2)因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.

(3)因为3cm+5cm=8cm，所以这三条线段不能组成一个三角形.

(1)因为10cm+7cm>15cm，所以这三条线段能组成一个三角形.解：

(4)因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形.只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.方法点拨(3)以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的三条线段为边，可构成_____个三角形．(1)任何三条线段都能组成一个三角形.

()(2)因为a+b>c，所以a、b、c三边可以构成三角形.(

)××2完成下列各题：(4)已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这三角形的周长为(

)

A.

14cm

B.19cm

C.

14cm或19cmD.不确定B例2

用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？素养考点2利用三角形三边的关系解决实际问题解：(1)设各边的长为x厘米，则腰长为2x厘米，

由题意得：x+2x+2x=18解得x=3.6

，

所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.例2

用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？

有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！提示：不能.如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此人两腿的长大于3米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多.想一想

如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，则这个等腰三角形的周长=______________.如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长=______________.5，5，

85，8，

818cm或21cm4，4，94，9，9×√4+9+9=2222cm三边长三边长√√1.判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm.解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm；（2）不能，因为5cm+6cm=11cm；（3）能，因为5cm+6cm>10cm.

判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.2.一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？解：设第三边长为x，则应有7-2<x<7+2，即5<x<9.则用长度为4的木棒不能和它们拼成三角形，长度为11的木棒也不能和它们拼成三角形.第三边长的范围为5<x<9.归纳：设x为三角形第三条边的长，则有两边之差＜x＜两边之和.3.

用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,

x+2x+2x=18.解得x=3.6.

所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.3.

用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？解：(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有4+2x=18.

解得x=7.②若腰长为4cm,设底边长为ycm，则有2×4+y=18.

解得y=10.因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以该情况不存在.由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.归纳：等腰三角形与三角形的三边关系结合时，若腰和底不明确，需要分类讨论，再检验是否符合三边关系.1.图中锐角三角形的个数有()A.3个

B.4个

C.5个

D.6个A2.用木棒钉成一个三角架,两根小棒分别是7cm和10cm,第三根小棒可取()A.20cmB.3cmC.11cmD.2cmC3.（2023.河北中考）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（

）

A．2B．3C．4D．5B4.如图，在△ACE中，∠CEA的对边是

．ABFEDC5.已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这个三角形的周长为__________.AC19cm

注意：等腰三角形问题常要用到分类讨论。6.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得，7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，又因为x为奇数，所以x

=7，即第三边的长为7.三角形定义及其基本要素顶点、角、边分类按角分类按边分类分类不重不漏三边关系原理两点之间线段最短内容两边之和大于第三边两边之差小于第三边|a-b|<x<a+b

(a>b,x为第三边）应用学前温故新课早知1.线段有

个端点,不向任何一方延伸,可以

其长度.

2.角:有

的两条射线所构成的图形.

两

度量

公共端点

学前温故新课早知1.由不在同一条直线上的三条线段

相接所组成的图形叫做三角形.如图的三角形记作

,这个三角形的边是线段

,三角形的顶点是点

,

是相邻两边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角.

首尾顺次

△DEFDE,EF,DF

D,E,F

∠D,∠E,∠F学前温故新课早知2.如图,图中三角形的个数为(

)A.1

B.2C.3 D.43.三角形按三个内角的大小可以分为

.三角形按边的相等关系可以分为

和等腰三角形,而等腰三角形又分为底边和腰不相等的等腰三角形和

.

C题图中的三角形有△ABC,△ABD,△ADC.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

三边都不相等的三角形

等边三角形

学前温故新课早知4.给出下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;③三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确说法的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.05.三角形两边的和

第三边,三角形两边的差

第三边.

B

①③正确.大于

小于

1.三角形的概念【例1】

观察图形,回答问题.(1)图中共有多少个三角形?(2)写出其中以EC为边的三角形.(3)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”,则以∠B为公共角的“共角三角形”有哪几对?解:(1)图中共有5个三角形.(2)△ACE,△DCE,△BCE.(3)△DBE与△CBE,△CBA与△CBE,△DBE与△CBA.2.三角形三边的关系【例2】已知一个等腰三角形的两边长分别为5,6,求这个等腰三角形的周长.分析:因为等腰三角形的两腰相等,所以它的三边长可能是5,5,6或6,6,5.于是,本题要分情况进行讨论.解:当长为5的边是腰时,三角形的三边长是5,5,6.此时三角形的三边符合三角形两边的和大于第三边,所以这个等腰三角形的周长是5+5+6=16.当长为6的边是腰时,三角形的三边长是6,6,5.此时三角形的三边符合三角形两边的和大于第三边,所以这个等腰三角形的周长是5+6+6=17.因此,这个等腰三角形的周长是16或17.1234561.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是(

).A.2,5,1 B.4,9,6C.15,20,8 D.9,15,8答案答案关闭A1234562.若一个三角形的两边长分别为3cm,6cm,则它的第三边的长可能是(

)A.2cm B.3cm C.6cm D.9cm答案解析解析关闭设三角形的