《三角形的外角》课件

11.2.2

三角形的外角

第十一章

三角形11.2与三角形有关的角

情境引入1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角.2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和．3.会利用三角形的外角性质解决有关问题.学习重点：掌握三角形的外角的性质和三角形外角和．学习难点：会利用三角形的外角性质解决有关问题.

1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,则∠C=

.48°2.如下图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,则∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，它们的和是180°.足球比赛中的数学知识

在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射门不易射偏？（不考虑其他因素）

在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？想一想知识点1三角形的外角的概念学生活动一

【一起探究】BDCAO●40°70°？●●●发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？BDCAO●40°70°？●●●由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.【思考】像∠BCD这样的角有什么特征吗？试猜想它的性质.定义如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角.CBAD如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ECBAD∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.问题1：E在三角形每个顶点处都有两个外角.∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；CBAD如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？问题2：ABC画出△ABC的所有外角，共有几个呢?

每一个三角形都有6个外角．

每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.画一画三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.CBADFABCDE如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.ACBD三角形的外角的性质如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？知识点2学生活动二

【一起探究】三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角∠BCD与∠ACB互补.如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ACBD三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行线的方法证明此结论吗？D证明：过C作CE平行于AB，ABC12∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）∠2=∠A

，

（两直线平行，内错角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.三角形内角和定理的推论ABCD(((三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：∵∠ACD是△ABC的一个外角.∴∠ACD=∠A+∠B.说出下列图形中∠1和∠2的度数：ABCD(((80°60°(21(1)ABC((((2150°32°(2)∠1=40°，

∠2=140°∠1=18°，

∠2=130°素养考点1利用三角形外角的性质求角的度数例1

如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.FADEB∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴

∠BEC=∠A+∠ACE，∵∠A=42°，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF，∵∠ABD=28°，∠BEC=60°，∴∠BFC=88°.解：FACDEB分析：根据平行线的性质求出∠C，再根据三角形外角性质即可求出∠3.解：∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°.又∵∠2＝35°，∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°.如图，直线AB，CD被BC

所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，

则∠3＝________度．80例2

如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．

分析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．E素养考点2借助辅助线求角的度数解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE

＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法点拨：求角的度数，常连接并延长或延长三角形的边长，通过构造三角形的外角，利用外角的性质解决.如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.ABCD(((51°20°30°思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.变式题ABCD((20°30°解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.E

))12)3)4你发现了什么结论？ABCD(((51°20°30°E

)1解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.)2F

解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.总结如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.证明：延长BO交AC于点D，因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C，所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.D如图①，试比较∠2、∠1的大小；如图②，试比较∠3、∠2、∠1的大小.图图解：∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B，∠3=∠2+∠D，∴∠3＞∠2＞∠1.三角形的外角大于与它不相邻的内角.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(

)A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1

B如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？三角形的外角和定理知识点3学生活动三

【一起探究】ABCEFD((((((213解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你还有其他解法吗？解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°–

180°=360°.ABCEFD((((((213解法三：过A作AM平行于BC，∠3＝∠4BC1234A∠2＝∠BAM，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°M∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAM，结论：三角形的外角和等于360°.【思考】你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？DEF

下列对三角形的外角和叙述正确的是(

)A．三角形的外角和等于180°B．三角形的外角和就是所有外角的和C．三角形的外角和等于所有外角和的一半D．以上都不对C1.判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.（）（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（）（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（）（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）2.如图，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A3.（1）如图，∠BDC是________的外角,

也是

的外角；

(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,

∠BCE=20°,试求∠AEC的度数.△ADE△ADCABCDE解：根据三角形外角的性质有∠ADC=∠B+∠BCE,∠AEC=∠ADC+∠BAE,所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE=45°+20°+36°=101°.解：因为∠ADC是△ABD的外角，4

.如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.∵在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180º-40º-70º=70°.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因为∠B=∠BAD，ABCD123BACPNMDEF5.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.360°三角形的外角定义角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360°学前温故新课早知1.三角形三个内角的和等于

.

2.在两条直线相交所构成的四个角中,相邻的两个角的度数和为

.

180°

180°

学前温故新课早知1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的

.如图,

是△ABC的一个外角.

2.三角形的外角等于

的两个内角的和.

3.如图,在△ABC中,∠A=80°,∠B=50°,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于(

).A.100°

B.120°

C.130°

D.150°外角

∠ACD

与它不相邻

C∠ACD=∠A+∠B=80°+50°=130°.1.利用三角形外角的性质求角度【例1】

如图,在△ABC与△DBE中,AC∥DE,点B,C,E在同一条直线上,AC,BD相交于点F.若∠BDE=85°,∠BAC=55°,∠ABD∶∠DBE=3∶4,求∠DBE的度数.分析首先根据AC∥DE,∠BDE=85°,应用平行线的性质,求出∠BFC的度数;然后求出∠ABD的度数,最后根据∠ABD∶∠DBE=3∶4,求出∠DBE的度数即可.解:∵AC∥DE,∠BDE=85°,∴∠BFC=85°.∵∠ABD+∠BAC=∠BFC,∴∠ABD=85°-55°=30°.∵∠ABD∶∠DBE=3∶4,∴∠DBE=40°.2.三角形内角、外角的不等关系【例2】

如图,D是△ABC外角∠ACE的平分线与BA的延长线的交点.求证:∠BAC>∠B.分析∠BAC,∠DCE分别是△ACD,△BCD的一个外角,根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角进行证明.证明∵∠BAC是△ACD的一个外角,∴∠BAC>∠ACD.∵∠DCE是△BCD的一个外角,∴∠DCE>∠B.又CD平分∠ACE,∴∠ACD=∠DCE,∴∠BAC>∠ACD=∠DCE>∠B,即∠BAC>∠B.12345671.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为

(

).A.30° B.60° C.90° D.120°答案解析解析关闭答案解析关闭12345672.若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是(

).A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.无法确定答案答案关闭C12345673.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为(

)A.85° B.75°C.65° D.60°答案答