《用“ASA”和“AAS”判定三角形全等》课件

第十二章

全等三角形

12.2全等三角形的判定12.2.3用“ASA”和“AAS”判定三角形全等

1.经历作图过程，理解基本事实：两角和夹边对应相等的两个三角形全等，体会数学的逻辑性,培养抽象概括能力.2.经历角角边判定两三角形全等的证明过程，发展推理能力.学习重点：“ASA”“AAS”判定三角形全等.学习难点：选择恰当的方法判定两个三角形全等.判定三角形全等的方法？三边相等两边和它们夹角相等两边和其中一边的对角相等两角和它们的夹边相等两角和一角的对边相等图形条件是否全等√√×？？如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?321

如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？三角形全等的判定（“角边角”定理）知识点1学生活动一

【一起探究】ABCABC图一图二“两角及夹边”“两角和其中一角的对边”它们能判定两个三角形全等吗？

先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，

使A′B′=AB，

∠A′=∠A，

∠B′=∠B(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ACBACBA′B′C′ED作法：（1）画A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于点C'.从中你能发现什么规律？想一想

“角边角”判定方法文字语言：

有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.

“角边角”判定方法几何语言：∠A=∠A′（已知），AB=A′B′（已知），∠B=∠B′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.ABCA′B′C′例1已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．BCAD利用“角边角”定理证明三角形全等素养考点1∠ABC＝∠DCB(已知），BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.BCAD

判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.求证：△ABC≌△DEF.证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BC＝EF.∵∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF.（ASA）例2

如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求证：AD=AE.ABCDEABCDE分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE.证明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），AC=AB（已知），∠C=∠B（已知），∴

△ACD≌△ABE（ASA），∴AD=AE.如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？AEDCBBE=CD证明:在△ABE与△ACD中

∠B=∠C,

（已知）

∠A=∠A,（公共角）

AE=AD,

（已知）∴△ABE≌△ACD.（AAS）∴BE=CD.（全等三角形对应边相等）AEDCB若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?用“角角边”判定三角形全等知识点2学生活动二

【一起探究】60°45°60°45°思考：这里的条件与探究1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为探究1中的条件吗？75°∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′（已知），AC=A′C′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′归纳总结两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.例1

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．利用“角角边”定理证明三角形全等素养考点1证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.∴△ABC≌△DEF（ASA）.∠B＝∠E，

BC＝EF，

∠C＝∠F.∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理

∠F＝180°－∠D－∠E.又

∠A＝∠D，∠B＝∠E,∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，例2

如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°，

∠ABD＝∠CAE,AB＝AC,∴△BDA≌△AEC(AAS).例3

如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.

求证：(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.证明：∵△BDA≌△AEC,方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．如图，已知：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE＝CF.证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED与△CFD中∠BED=∠CFD,∠1=∠2,BD=CD,∴△BED≌△CFD(AAS)．∴BE＝CF.1.如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是(

)A．∠A＝∠C

B．AD＝CB

C．BE＝DF

D．AD∥BC

B2.已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.试说明AD＝A′D′，并用一句话说出你的发现.ABCDA′B′C′D′解：∵△ABC

≌△A′B′C′，∴AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，∴∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已证），∠ABD=∠A'B'D'（已证），AB=AB（已证），∴△ABD≌△A'B'D'.∴AD=A'D'.全等三角形对应边上的高也相等.角边角角角边内容有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别学前温故新课早知判定三角形全等的方法:(1)三边分别

的两个三角形全等(可以简写成“

”或“

”).

(2)两边和它们的夹角分别

的两个三角形全等(可以简写成“

”或“

”).

相等

边边边

SSS相等

边角边SAS学前温故新课早知1.判定三角形全等的方法:(1)两角和它们的夹边分别

的两个三角形全等(可以简写成“

”或“

”).

(2)两角分别相等且其中一组等角的对边

的两个三角形全等(可以简写成“

”或“

”).

2.在△ABC与△A'B'C'中,AB=A'B',∠A=∠A',∠B=∠B',则△ABC≌△A'B'C'的根据是(

).A.SAS B.SSA C.ASA D.AAS相等

角边角ASA相等

角角边AASC1.利用“角边角”判定两个三角形全等【例1】

如图,点E,F在AC上,AD∥CB,且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.分析:

证明:∵AD∥CB,∴∠A=∠C.∴△ADF≌△CBE(ASA),∴AF=CE.∴AF+FE=CE+FE,即AE=CF.2.利用“角角边”判定两个三角形全等【例2】

如图,AD为△ABC的边BC上的中线,延长AD,过点C,B分别向AD及其延长线上作垂线,垂足分别为E,F.求证:BF=CE.分析:

证明∵CE⊥AF,FB⊥AF,∴∠DEC=∠DFB=90°.∵AD是边BC上的中线,∴BD=CD.∴△BFD≌△CED(AAS),∴BF=CE.123451.如图,已知△ABC的六个元素,则在甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是(

)A.甲、乙 B.乙、丙

C.只有乙 D.只有丙答案解析解析关闭甲图中只有两个已知元素,不能确定与△ABC是否全等;乙图与△ABC满足“SAS”的条件,所以两个图形全等;丙图与△ABC满足“AAS”的条件,所以两个图形也全等.答案解析关闭B123452.在下列叙述中,两个三角形一定全等的是(

).A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是45°,腰长都是3cm的两个等腰三角形D.腰和底角对应相等的两个等腰三角形答案答案关闭D123453.如图,要判定△ACF≌△BDE,根据给定的条件和指明的依据,将应当添加的条件填在横线上.(1)若AC∥BD,AC=BD,

,则△ACF≌△BDE(ASA);

(2)若AC∥BD,

,AC=BD,则△