《用“HL”判定直角三角形全等》课件

第十二章

全等三角形

12.2全等三角形的判定12.2.4用“HL”判定直角三角形全等

1.经历探索直角三角形判定方法的过程，感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观.2.应用恰当的方法判定两直角三角形全等.学习重点：会用“HL”判定直角三角形全等.学习难点：探索直角三角形全等的判定方法.判定三角形全等的方法有哪些？1.边边边(SSS)3.角边角(ASA)4.角角边(AAS)2.边角边(SAS)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.CBAACBCAB思考知识点三角形全等的判定——“HL”定理学生活动

【一起探究】前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？想一想ABCB′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？问题A′3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ABCB′C′A′如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？

我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF想一想如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF

任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC画图思路（1）先画∠MC′

N=90°.ABCM

C′N（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.MC′ABCNB′MC′画图思路（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′.MC′ABCNB′A′画图思路（4）连接A′B′.MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？画图思路“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.几何语言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′,BC=B′C′,判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：

（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）

（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）

（3）一个锐角和斜边对应相等；（）

（4）两直角边对应相等；（）（5）一条直角边和斜边对应相等.

（）HLAAS或ASASASAASAAS例1

如图，AC⊥BC，

BD⊥AD，

AC﹦BD.求证：BC﹦AD.ABDC利用“HL”定理判定直角三角形全等素养考点1

AB=BA,AC=BD.证明：∵AC⊥BC，

BD⊥AD，

∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.

如图，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS变式题1如图，AC,BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C,D

，AD=BC.求证：AC=BD.HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC变式题2如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD

，判断AD和BC的位置关系.HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC变式题3如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∠ABE＝∠CBF＝90°，∵AB＝CB，AE＝CF,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．例2

如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.

求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法点拨证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，AE＝DF，AB＝DC，求证：AC＝DB.证明：AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在Rt△ABE和Rt△DCF中，

AE=DF,AB＝DC,∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，∴∠ABC＝∠DCB.在△ABC和△DCB中，AB＝DC,∠ABC＝∠DCB,

BC

＝CB,∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴AC＝DB.例3

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？利用直角三角形全等解决实际问题素养考点2解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,

BC=EF,

AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.所以Rt△ABD≌Rt△ACD.(HL)所以BD=CD.解：BD=CD.因为∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD和Rt△ACD中,

AB=AC,AD=AD,1.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC

_____（填“全等”或“不全等”），根据

（用简写法）.全等HL2.如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠ABE＝∠BAD；△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD－BE＝DE.其中正确的是_______．(将你认为正确结论的序号都写上)①②④3.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．“斜边、直角边”内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.前提条件在直角三角形中使用方法只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）学前温故新课早知判定三角形全等的方法有:(1)定义,(2)

,(3)

,(4)

,(5)

.(填字母简写)

SSS

SAS

ASAAAS学前温故新课早知1.直角三角形全等的判定:斜边和一条直角边分别

的两个直角三角形全等(可以简写成“

”或“

”).

2.下列条件不能判断两个直角三角形全等的是(

).A.有两条直角边对应相等B.有两个锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.斜边和一个锐角对应相等直角三角形全等既可以用一般三角形全等的判定方法(直角作为一对相等的角),又可用“HL”判定,这些条件中至少有一对相等的边.相等

斜边、直角边HLB利用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等【例题】

如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC.分析:要证明BE⊥AC,可证∠C+∠1=90°,而∠2+∠1=90°,只需证明∠2=∠C,从而转化为证明它们所在的△BDF与△ADC全等.而由条件知在Rt△BDF与Rt△ADC中有BF=AC,DF=DC,故这两个三角形全等,从而问题得证.证明:∵AD⊥BC,∴∠BDA=∠ADC=90°.∴∠1+∠2=90°.∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL),∴∠2=∠C,∴∠1+∠C=90°.∵∠1+∠C+∠BEC=180°,∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC.123451.如图,AC=BD,∠C=∠D=90°,则Rt△ABC≌Rt△BAD所根据的条件是(

).

A.SAS B.ASA C.HL D.AAS答案解析解析关闭在Rt△ABC和Rt△BAD中,两条直角边对应相等,斜边为公共边,所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).答案解析关闭C

123452.如图,已知AB=CD,