【《高阶常系数线性微分方程的解法概述》2000字】

高阶常系数线性微分方程的解法概述目录TOC\o"1-3"\h\u29800高阶常系数线性微分方程的解法概述 131611（一）高阶常系数线性齐次微分方程解法 164741.特征根是单根的情况 2301372.特征根是重根的情况 34619（二）高阶常系数线性非齐次方程的解法 4283271.常数变易法解微分方程 4124902.比较系数判别法解微分方程 6236643.拉普拉斯变换法解微分方程 7（一）高阶常系数线性齐次微分方程解法对于一个最高阶为n阶的常系数线性齐次方程.其中方程式中的y为关于x的一个不确定性函数，而该系数则为一个实常数。如果我们是所求方程的一个根，那么把这一个根直接带入我们到所求方程式中，得,因为，因此 , 反之，如果满足上列的恒等式(2.2)，则即为该积分方程(2.1)的一个理想积分化解。而这个式子(2.2)式子就是关于的一个最高次数为n次的一个代数特征方程式，那么我们把这个新的代数程式就称作微分方程(2.1)式子中的一个特征方程，这个代数方程式的根也就被我们称作特征根。下面就求解特点和方法根据情况来分别讨论一下对上述方程进行求解。1.特征根是单根的情况我们把称为方程 .的特征方程，所得的方程的根叫做特征根。在这里把叫做待定系数。定理：若股票特征方程由有n个互不相同的根，则 ,是方程 ,的一个基本解组。考虑到这个特征方程式很有可能会具有复根而且其系数都是实的，那么这个复根必然会是共轭并且以成对代数的形式存在。即此时在两个互不同的特征根中都会有复数。比如(a,b为实数亦是的根)。对应于两个特征根的求解为实际变量的复值函数。 , .例题1：求方程的通解解：计算特征方程，得出它们的根是，得出的根中有两个是实数根，有两个是复数根，但不管实数根或复数根都是单根，所以方程的通解是.这里的都是常数。2.特征根是重根的情况如果方程具有不同的特征根，他们的重数分别是并且，那么他们相对应方程的的特解是 ,并且这个特解构成方程在区间上的一个基本解组。例题2：解初值问题 .解：计算特征方程，得到这个特征方程的特征根是，可以得到方程的通解是 又因为 , , ,根据初始条件得 ,再解方程组，得 ,于是初值问题得解是 .（二）高阶常系数线性非齐次方程的解法对于最高阶为n阶的常系数线性非齐次微分方程 . 该通解就相当于齐次微分方程中的一个通解再加上另外与其相应的非齐次微分方程中的一个特解。在上一节中我们已经知道了怎么求齐次微分方程的通解，下面我们主要一起来为大家介绍一下关于对非齐次微分方程进行特解求解的方法。1.常数变易法解微分方程所谓的常数变易法实际上是把方程中的常数进行变量变换的方法，所以在这里我们简单的介绍一下这种方法在最高阶为n阶的方程中的应用。我们设方程(2.3)的特解是： .其中是常数。并且常数代入到原方程(2.3)中，然后给方程加上n-1个条件，就可以得到方程组 , 解方程组(2.5)就会得到关于的表达式，把它们分别进行积分进而得到,再把它们代入到(2.4)式中，继而求得方程(2.3)的一个特解。然而由于这种方法对的形式是没有限制的，所以相应的使用的范围会比较广，这对于求解的工作量来说会大一些。例题3：求解方程 .的通解，cost，sint是它所对应的齐次线性方程的基本解组。解：运用常数变易法设 ,并且把它代入到方程里，就可以得到关于的两个方程 ,和 解得 据此得到 所以原方程的通解是 其中是常数。2.比较系数判别法解微分方程对于常系数非线性微分方程(2)3)，通常认为需要采用的一种方法是也就是比较系数法，它主要指的就是把所有的需要求解微分方程的问题直接转化求解为代数问题，在自由项中也就是 （其中分别是m次，n次，s次的多项式，都是实数）就可以确定特解的形式，即分别令 是一个待定m次的多项式，k是方程的特征方程有根时的次数，或者 .(其中为两个相互待定的m次多项式，k为一个方程中所含有的根的次数)然后把它们代入到一个方程(2.3)中，再对其进行相应的比较等式中左右两边相同次幂之间的系数计算来判断待定的系数为多项式。再依靠线性微分方程解的结构就可以得到求解方程的一般通解。例题4：求方程的通解。解：特征方程,有三重根，所对应的齐次方程通解是 ,其中方程有的特解，将它带入方程中的 ,在比较两边系数求得 ,进而 ,所以所求的方程的通解是 .其中是常数。3.拉普拉斯变换法解微分方程根据积分,所定义的函数是一个可以确定的存在复平面上的复变数为s的一个函数，叫做函数的拉普拉斯变换，其中在对于上述两个新的函数都有一个新的定义，并且它们满足其上下列不等式 ,在这里是某两个正常数。我们把称为原函数，而把称为象函数。设所给定的微分方程 , 和初始条件 其中是常数，而是连续的并且满足原函数的条件。可以证明，假如是方程(2.1)的任意解，则以及它的各阶的导数都是原函数。记 ,那么，根据原函数的微分性质就有 于是，再对方程(2.6)的两边进行拉普拉斯变换，并且运用线性性质就可以得到 ,即 ,或者,其中都是已知的多项式，由此得到 这是满足给定方程（2.6）的初始条件的解x（t）的象函数。x（t）可以直接查表，或者根据反变换