第三单元 第9课时　平面直角坐标系及函数初步

第三单元函数第9课时平面直角坐标系及函数初步章前复习思路解决问题应用研究函数的一般路径平面直角坐标系及函数初步点的坐标特征函数及其概念一次函数反比例函数二次函数函数解析式图象性质图象平移与方程(组)、不等式的关系①增减性；②对称性；③最值建模思想数形结合思想点变化的坐标特征函数的应用函

数对称点的坐标特征节前复习导图各象限内点的坐标特征坐标轴上点的坐标特征各象限角平分线上点的坐标特征与坐标轴垂直的直线上点的坐标特征对称点的坐标特征点平移的坐标特征点旋转的坐标特征点到坐标轴及点到点之间的距离函数相关概念函数图象上点的坐标特征平面直角坐标系点坐标特征及函数1考点梳理2江苏真题随堂练3分层作业本考点梳理一、各象限内点的坐标特征

1.

点P(a，b)在第一象限⇔a

0，b＞02.

点P(a，b)在第二象限⇔a＜0，b

⁠03.

点P(a，b)在第三象限⇔a＜0，b

⁠04.

点P(a，b)在第四象限⇔a＞0，b＜0＞＞＜(－，＋)(＋，－)二、坐标轴上点的坐标特征1.

点P(a，b)在x轴上⇔b=02.

点P(a，b)在y轴上⇔a=03.

点P(a，b)在原点上⇔a=0，b=0注：坐标轴上的点不属于任何象限三、各象限角平分线上点的坐标特征1.

点A1(x1，y1)在第一、三象限角平分线上，则y1=x12.

点A2(x2，y2)在第二、四象限角平分线上，则y2=

⁠想一想：哪个函数图象的对称轴是y=±x＋m？－x2四、与坐标轴垂直的直线上点的坐标特征1.

垂直于x轴的直线上的点的

⁠坐标相同2.

垂直于y轴的直线上的点的

⁠坐标相同横纵五、对称点的坐标特征(如图①)

口诀：关于谁(x轴或y轴)对称谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号图①(－a，b)(－a，－b)【满分技法】1.点(a，b)关于直线x=m对称的点的坐标为(2m－a，b)；2.

点(a，b)关于直线y=n对称的点的坐标为(a，2n－b)六、点平移的坐标特征

点P的坐标平移方式(a，b＞0)平移后点P′的坐标口诀(x，y)向左平移a个单位长度(x－a，y)左右平移横坐标：左减右加向右平移a个单位长度(x＋a，y)向上平移b个单位长度

⁠上下平移纵坐标：上加下减向下平移b个单位长度

⁠(x，y＋b)(x，y－b)七、点旋转的坐标特征1.

要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度2.

性质：(1).对应点到旋转中心的距离相等(2).对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角八、点到坐标轴及点到点之间的距离1.

如图②，点P(a，b)到x轴的距离为

，到y轴的距离为

⁠，到原点的距离

为

⁠图②

|b||a|

2.

如图③，垂直于y轴的直线l：y=b上的两点P1(x1，b)，P2(x2，b)间的距离是|x1－x2|3.

如图④，垂直于x轴的直线l：x=a上的两点P1(a，y1)，P2(a，y2)间的距离是|y1－y2|【拓展延伸】如图⑤，已知坐标平面内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).1.

P1，P2两点间的距离P1P2=

⁠2.

P1P2的中点坐标为

⁠

图③

图④

图⑤九、函数相关概念1.

函数的概念：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它

允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变

量，y是x的函数2.

函数的表示方法及画法(1).表示方法：列表法、

⁠、图象法(2).画法：列表→描点→连线表达式法3.

函数自变量的取值范围函数表达式自变量的取值范围使分母不为零的实数(即x≠2)使被开方数大于等于零的实数(即x≥4)使分母不为零，并且被开方数大于等于零的实数(即x≥

－1且x≠1)注：在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义十、函数图象上点的坐标特征：满足函数表达式的点在函数图象上，函数图象上的点都

满足函数表达式江苏真题随堂练平面直角坐标系中点的坐标特征(3命题点1年7考)1.

在平面直角坐标系中，已知点A(1，－5).(1)(2023盐城2题考法)点A所在象限为第

⁠象限；(2)(2023宿迁14题考法)点A关于x轴对称的点的坐标为

，(2023

常州6题考法)关于y轴对称的点的坐标为

，关于y=3对称的

点的坐标为

⁠；(3)(2024扬州5题考法)点A关于原点对称的点的坐标为

⁠；四(1，5)(－1，－5)(1，11)(－1，5)(4)(2025淮安12题考法)将点A先向右平移2个单位长度得到的点的坐标

为

，再向上平移3个单位长度得到的点的坐标为

⁠⁠；(5)若点B是x轴上一点，且AB⊥x轴，则点B的坐标为

，A，

B两点间的距离为

，AB的中点坐标为

⁠；(6)(2025宿迁6题考法)将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OA′，则

点A′的坐标为

⁠.(3，－5)(3，－2)

(1，0)5

(5，1)1.

在平面直角坐标系中，已知点A(1，－5).2.

在平面直角坐标系中，已知点P(m＋1，4－2m).(1)若点P在x轴上，则m的值为

，当点P在y轴上时，m=

⁠；(2)(2025宿迁11题考法)若点P在第二象限，则实数m的取值范围为

⁠

⁠；(3)若点P在第一、三象限的角平分线上，则m的值为

⁠；2－1m＜

－11(4)若点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则点P的坐标为

⁠；【解析】∵点P到x轴的距离为2，∴|4－2m|=2，解得m=1或m=3，∵点P到y轴的距离为4，∴|m＋1|=4，解得m=3或m=－5，综上所述，m=3，则点P(4，－2).(5)若Q(2，3)，且PQ∥x轴，则PQ的长为

⁠.

(4，－2)

2.

在平面直角坐标系中，已知点P(m＋1，4－2m).3.(2023连云港13题)画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°，60°，90°，120°，…，330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系.如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A，B，C的坐标分别表示为A(6，60°)，B(5，180°)，C(4，330°)，则点D的坐标可以表示为

⁠

⁠.(3，150°)

函数自变量的取值范围命题点2

A.

x≥1B.

x≥0C.

x≤0D.

x≤1

Ax＞3变式

A.

x＞2B.

x≥2C.

x≠2D.

x＜2【解析】由题意，得x－2≠0，∴自变量x的取值范围为x≠2.C分析判断函数图象命题点3类型一与实际问题结合6.(2024南通9题)甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间

的路程为20km.两人前进路程s(单位：km)与甲的前进时间t(单位：h)之

间的对应关系如图所示.根据图象信息，下列说法正确的是(D)A.甲比乙晚出发1hB.乙全程共用2hC.乙比甲早到B地3hD.甲的速度是5km/hD7.(2023常州8题)折返跑是一种跑步的形式.如图，在一定距离的两个标志

物①，②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物.小华练习了一次2×50m的折返跑，用时18s.在整个过程中，他的速度大小v(m/s)随时间t(s)变化的图象可能是(D

)D【解析】刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，

然后再加速再匀速到①，由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时

间少，第二个50米速度慢，用的时间多，故他的速度大小v(m/s)随时间

t(s)变化的图象可能是D.

8.(2023镇江17题)小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离

家的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系.已知小明购物

用时30min，从商场返回家的速度是从家去商场速度的1.2倍，则a的值

为(D)A.46B.48C.