材料力学(西安交大版)教学课件NO10动载荷和交变应力

材料力学第10章动载荷和交变应力10.1构件做匀加速直线运动时的动应力计算10.2构件做等速转动时的应力计算10.3冲击载荷作用时构件的应力计算10.4提高构件承受冲击载荷能力的措施10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限10.6影响构件疲劳极限的主要因素10.7提高压杆稳定性的措施工程结构或构件上所承受的载荷可分成静载荷和动载荷两大类。前面各章讨论的内容都是在静载荷（从零开始平缓地增加到最终值而不再变化的载荷）的作用下杆件的强度、刚度和稳定性问题。由静载荷产生的应力称为静应力。第10章动载荷和交变应力动载荷是指加载过程中构件内各质点的速度发生显著变化，或者明显地随时间而变化的载荷。例如，起重机加速提升重物时，吊杆或吊索所受到的载荷就是动载荷；用蒸汽锤打桩时，桩柱所受到的冲击载荷也是动载荷；汽轮机旋转叶片中的应力将随其转速而变化，这也是一种动载荷。通常将构件在动载荷作用下产生的应力称为动应力。此外，还有一些载荷随时间做周期性变化，这种载荷又称为交变载荷。在交变载荷作用下，构件内的应力又称为交变应力或循环应力。第10章动载荷和交变应力构件在动载荷作用下所产生的应力和变形，在数值上常常大于静载荷作用下产生的应力和变形。在计算上，只要动应力不超过此时的比例极限，通常仍可采用静载荷下的计算公式，但需要做相应的修正，以考虑动载荷的效应。而构件在交变载荷作用下，虽然最大工作应力远低于材料的屈服极限，且无明显的塑性变形，却往往发生骤然断裂，这种破坏现象称为疲劳破坏。因此，在交变应力作用下的构件还应校核疲劳强度。第10章动载荷和交变应力

10.1构件做匀加速直线运动时的动应力计算图10-1（a）所示为一根吊有重物的起重机吊杆，设其为均质直杆，杆长为l，横截面积为A，材料密度为ρ，起吊重力为P。杆与重物一起以匀加速度a上升。求杆距下端为x处的横截面上的动应力。仍采用截面法，将杆沿Ⅰ—Ⅰ截面截开，取下部分研究，受力分析如图10-1（b）所示。其中，杆的自重由载荷集度qj表示，且qj=ρAg；按照达朗伯原理，在物块上加惯性力Fg，则

(10-1)在杆上也加惯性力，用载荷集度qg表示，有

(10-2)图10-1

10.1构件做匀加速直线运动时的动应力计算

10.1构件做匀加速直线运动时的动应力计算

10.1构件做匀加速直线运动时的动应力计算式(10-8)表明，在进行动载荷的强度计算时，只要将材料的许用应力除以动荷系数，就可以按静载荷的方式来计算动载荷问题。

10.1构件做匀加速直线运动时的动应力计算【例10-1】

10.1构件做匀加速直线运动时的动应力计算【例10-2】

10.1构件做匀加速直线运动时的动应力计算解：(1)求动荷系数。重物上升的加速度为

动荷系数为

(2)求钢绳的动内力。钢绳的动内力为

10.1构件做匀加速直线运动时的动应力计算(3)校核梁的强度。查附录得No.20a号工字钢自重的载荷集度q=27.9×9.8=273.42N/m，Wz=237cm3。梁中点处的弯矩为

梁内的最大正应力为

故梁的强度足够。

10.1构件做匀加速直线运动时的动应力计算工程上常遇到等速转动的构件，如飞轮、皮带轮、齿轮等。当这些构件做等速转动时，构件上的各质点只有法向加速度，这类问题的应力计算仍可用动静法来解决。现以图10-3（a）所示的飞轮为例进行分析。

10.2构件做等速转动时的应力计算图10-3设计飞轮时，为了增大飞轮的惯性，常将飞轮质量尽量配置到轮缘处。因此，若不计轮辐的影响，可将飞轮简化为一个绕飞轮轴旋转的圆环，如图10-3（b）所示。设圆环的横截面面积为A，平均直径为D，材料的密度为ρ，飞轮绕轴转动的角速度为ω。由于轮缘的厚度远小于飞轮的平均半径，可以认为轮缘上各点的加速度相等，其值为

10.2构件做等速转动时的应力计算而各点的切向加速度均为零。在圆环上任取一微段ds，则该微段上的惯性力大小为所以圆环上惯性力载荷集度为

圆环的受力图如图10-3（c）所示。为求圆环内周向应力，可将圆环沿直径截开，取一部分研究，其受力分析如图10-3（d）所示。其中，FNd为圆环的周向内力。

10.2构件做等速转动时的应力计算

10.2构件做等速转动时的应力计算【例10-3】

10.2构件做等速转动时的应力计算

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算打桩时锤体以很大的速度撞击桩柱，在极短的时间内锤体的速度降低到接近于零。这类现象称为冲击或撞击。锤体称为撞击物，桩柱则是受冲击的构件。锻锤锻造工件、铆钉枪铆接钢板、转动的飞轮突然刹车都属于冲击问题。它们的共同点是载荷作用时间极短，在这极短的时间里，冲击物的速度发生很大变化，在被冲击物的内部引起很大的应力。此时受冲击构件所受到的动载荷称为冲击载荷。由于冲击过程复杂，时间又短，加速度不易测定，所以这类问题难于用动静法进行计算，而常用偏于安全的能量法。为了便于分析，通常假设冲击物为刚体，被冲击物为不计质量的变形体；冲击过程中只有动能、势能和变形能间的转换，无其他能量损耗；冲击过程中被冲击物体的材料服从胡克定律，且冲击后两物体不再分开。冲击物的重力为P，由高度h自由下落，并以速度v冲击直杆，使杆的受力由零增加到Fd，载荷为Fd时，冲击物的速度为零，杆的变形量达到最大值δd。构构件受轴向冲击时的应力计算10.3.1

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算根据能量守恒定律，在冲击过程中，冲击物动能Ek和势能Ep的变化应等于被冲击物的变形能Ud，即

(10-13)对于自由落体冲击，冲击物的始末速度均为零，即动能变化为零，势能变化为

(10-14)在这一过程中，直杆所增加的变形能Ud可通过Fd所做的功来表示。由于Fd与位移δd均由零增至最大值，且材料服从胡克定律，故杆的变形能为

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算在式(10-21)中，若h=0，则Kd=2，这表明将重物突然放置于杆上和缓慢放置于杆上，对杆的作用效应是不同的，前者所产生的应力与变形皆为后者的两倍。另外，当h一定时，增大静位移δj可减小动荷系数Kd，从而减小杆中的动应力。

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算【例10-4】

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算如图所示，简支梁的中点受到横向自由落体的冲击，需计算其动应力。构构件受横向冲击时的动应力计算10.3.2

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算设冲击物的重力为P，从梁中点C的正上方h处自由下落。梁横截面的惯性矩为Iz，抗弯截面系数为Wz；材料的弹性模量为E。在静载荷P的作用下，梁中点的挠度为

(10-23)梁横截面上的最大弯曲静应力为

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算从式（10-27）可以看出，构件受冲击时，其上的最大正应力除与载荷及尺寸大小有关外，还与构件的刚度EIz有关，构件的刚度越小，则冲击时构件上产生的应力就越小。

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算【例10-5】图10-7

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算(4)求梁内的最大冲击应力。根据式(10-22)计算梁的最大冲击应力为

本题的另一解法是：把各已知数据代入式(10-26)求得梁内最大冲击应力，其值为

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算当圆轴在A端急刹车时，由于飞轮具有动能，轴的B端在很短的时间内相对于A端转过一微小的角度φd后才停止转动，此时相应的扭矩为Mnd，如不考虑其他能量损失，即飞轮的动能Ek全部转换为轴的扭转变形能Ud，有

Ek=Ud

式中，Ek为飞轮的全部动能，

。由有关资料可知，轴的扭转变形能为

式中，Mnd为最大动扭矩；φd为最大动扭转角；l为轴的长度。

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算如图所示，在圆轴上装有一飞轮，以匀角速度ω转动，设飞轮对转轴的转动惯量为J，圆轴的剪切弹性模量为G，轴长为l，极惯性矩为Ip，它的质量可忽略不计。构构件受扭转冲击时的应力计算10.3.3

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算于是有

圆轴冲击的最大切应力为

对于圆轴，有

因此

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算式（10-28）表明，等截面直杆受扭转冲击时，杆内的最大动应力τdmax与杆的体积有关，体积越大，最大动应力τdmax越小。利用式（10-28）计算出来的动应力值一般都超过材料的许用应力，因此，对于装有大飞轮、高转速的轴应避免急刹车。

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算【例10-6】

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算解：重物下落引起的冲击载荷分别在绳与轴中产生冲击正应力和切应力。(1)托盘的静位移为

(2)动荷系数为

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算(3)轴内的最大切应力为(4)钢绳内最大正应力为由计算知，由于重物的冲击效应，轴与钢绳内的动应力增加了20倍。构件受冲击载荷作用时的强度依然可按式(10-7)进行计算。

10.3冲击载荷作用时构件的应力计算

10.4提高构件承受冲击载荷能力的措施工程上有时利用冲击进行打桩、锻造、冲压、粉碎等，这时则需要降低冲击应力，以提高构件抗冲击的能力，可采取如下措施：(1)降低构件的刚度。冲击应力的大小取决于冲击动荷系数Kd的值，从式(10-21)可以看出，对于自由落体冲击，h一定时，δj值越大，Kd就越小，冲击应力也就越小。在轴向冲击和横向冲击时（在简支梁中点处），δj分别为减小抗拉压刚度EA和抗弯刚度EIz可以增大δj。由此可知，选择E值较小的材料可以提高构件的抗冲击能力，如木结构比钢结构抗冲击能力强。再如，汽车车梁与车轮之间安装有叠板弹簧，某些机器零件装有橡皮垫圈等，都可以减小刚度，提高系统的δj值，又几乎不增加构件的静应力，从而降低冲击应力、提高抗冲击的能力。

10.4提高构件承受冲击载荷能力的措施

(2)增大等截面杆的体积。冲击应力均与构件的体积Al有关。增大等截面杆的体积，可降低冲击应力。例如，气缸盖的短螺栓［见图（a）］，如改用长螺栓［见图（b）］，就可增加螺栓的体积，从而提高螺栓的抗冲击能力。

10.4提高构件承受冲击载荷能力的措施用增加体积来降低冲击应力只适用于等截面杆，对于变截面杆则不适用。如图所示，材料相同的两杆，图（a）所示杆的体积大，静位移δj小，动荷系数Kd大，而两杆危险截面处的截面面积相等，但是，图（a）所示杆的动应力反而比图（b）所示杆的大。

10.4提高构件承受冲击载荷能力的措施对于螺栓这一类不可能制成等截面杆的构件［见图（a）］，常将其光杆部分的直径制成与螺纹的内径相等［见图（b）］，或在螺杆内钻孔［见图（c）］，这样螺栓就接近于等截面杆，使静位移δj有所增加而杆中的最大静应力却不变，从而降低冲击应力，提高构件的抗冲击能力。

10.4提高构件承受冲击载荷能力的措施某些零件工作时，承受随时间做周期性变化的应力，这样的工作应力称为交变应力，构件在交变应力的作用下所发生的破坏称为疲劳破坏。

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限构构件受扭转冲击时的应力计算10.5.1如图所示，压缩机中的连杆AB和活塞杆BC在工作时受到大小和方向做周期性变化的拉力和压力的作用，因而连杆AB和活塞杆BC内的工作应力是交变应力。

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限如图（a）所示，F为齿轮啮合时作用于轮齿上的力，齿轮每旋转一周，轮齿啮合一次。啮合时F由零迅速增加到最大值，然后又减小为零。齿根A点的弯曲正应力σ也由零增加到某一最大值，再减小为零。σ随时间t变化的曲线如图（b）所示。

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限构件在交变应力下的疲劳破坏与静应力的失效有本质上的区别，其破坏特点如下：(1)破坏时应力低于材料的强度极限，甚至低于材料的屈服极限。(2)即使是塑性材料，破坏时一般也无明显的塑性变形，即表现为脆性断裂。(3)在破坏的断口上，通常呈现两个区域，一个是光滑区域，另一个是粗糙区域，如图所示。

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限以上现象可以通过疲劳破坏的形成过程加以说明：当交变应力的大小超过一定限度并经历了足够多次的变替重复后，由于构件外形或材料内部的缺陷引起局部的高应力区，局部应力常常达到或超过静极限应力，即使塑性很好的材料，也会出现冷作硬化，从而产生细微裂纹（疲劳源），这种裂纹随着应力循环次数的增加而不断扩展，并逐渐成为宏观裂纹。在扩展过程中，由于应力循环变化，裂纹两表面的材料时而相互挤压，时而分离，多次反复磨损，从而形成断口的光滑区。另一方面，由于裂纹不断扩展，削弱了截面，当裂纹达到其临界长度时，构件将发生突然断裂，断口的粗糙区就是突然断裂造成的。

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限构件在交变应力作用下的疲劳破坏与交变应力的变化规律及幅度等特征有很大关系。现以图（a）所示梁为例来讨论交变应力的基本参数特征。电机转动时引起的干扰力使梁发生振动，梁跨中截面下缘危险点处的拉应力将随时间做周期性的变化，如图（b）所示。构交变应力的基本参数与疲劳极限10.5.2

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限在第一个循环中，应力的极大值与极小值分别称为最大应力σmax和最小应力σmin。最大应力与最小应力的代数平均值称为平均应力，并用σm表示，即

(10-29)最大应力与最小应力的代数差的一半称为应力幅

，用σa表示，即交变应力的变化特点可用最小应力与最大应力的比值r表示，它称为应力比或循环特征，即

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限在交变应力中，若最大应力与最小应力的数值相等、符号相反，即σmax=－σmin，则称为对称循环应力，循环特征r=－1；若最小应力σmin为零［见图10-14（b）］，则称为脉动循环应力，其循环特征r=0。除对称循环外，所有循环特征r≠－1的循环应力，均属于非对称循环应力。以上关于循环应力的概念，都是采用正应力σ表示。当构件承受交变切应力时，上述概念仍然适用，只需将正应力σ用切应力τ替换即可。

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限在交变应力作用下，材料经过无数次循环而不发生破坏的最大应力称为材料的持久极限，一般用σr表示。下标r是某种循环特征r下的持久极限。例如，对称循环记为σ－1、脉动循环记为σ0等。材料在交变应力下的强度由试验测定，最常用的试验是旋转弯曲疲劳试验。图为弯曲疲劳机的示意图、计算简图及弯矩图。

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限首先，准备一组材料和尺寸均相同的光滑试样（直径为6～10mm）；在试验机上，试样处于纯弯曲受力状态，试样两端夹持，由电动机带动而旋转，每旋转一周，其内任意一点处的材料即经历一次对称循环的交变应力。试验一直进行到试样断裂为止，并可从计数器上读出断裂时应力循环的次数（又称寿命）N。对同组试样挂不同重量的砝码进行疲劳试验，将得到一组关于试样横截面上最大正应力和相应寿命N的数据σmax，N。

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限根据上述数据σmax，N给出最大应力和疲劳寿命的关系曲线，即S-N曲线（见图），若曲线有水平渐近线，则表示试样经历无穷多次应力循环而不发生破坏，渐近线的纵坐标即光滑小试样的疲劳极限。对应对称循环，疲劳极限用σ－1表示。

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限“无穷多次”应力循环在试验中是难以实现的。工程设计中通常规定：对S-N曲线有水平渐近线的材料，若经历107次应力循环而不破坏，即认为可承受无穷多次应力循环；对于S-N曲线没有水平渐近线的材料，规定某一循环次数（如108次）下不破坏的最大应力作为条件疲劳极限。

10.5构件在交变应力作用下的疲劳破坏与疲劳极限在构件截面形状和尺寸突变处（如阶梯轴轴肩圆角、开孔、切槽等），局部应力远远大于按一般理论公式算得的数值，产生应力集中现象。应力集中现象常发生于狭窄的区域内，而且应力、应变状态发生改变。在交变应力作用下，应力集中对构件的疲劳极限影响很大，因为应力集中促使疲劳裂纹的形成和扩展。构构件的外形10.6.1

10.6影响构件疲劳极限的主要因素在对称循环应力作用下，应力集中对疲劳极限的影响用有效应力集中因数Kσ（或Kτ）表示，它代表无应力集中的光滑试样的疲劳极限（σ－1）d与同样尺寸但存在应力集中的试样的疲劳极限（σ－1）k的比值，即

或

10.6影响构件疲劳极限的主要因素图9-9

10.6影响构件疲劳极限的主要因素可见，对于非细长压杆，应用直线经验公式计算临界应力，其柔度的最小值为

(9-22)若λ<λ2，就应利用强度条件判断其安全性，即

(9-23)对于脆性材料，只需将上面的极限应力换用压缩强度极限表示。

10.6影响构件疲劳极限的主要因素图10-19

10.6影响构件疲劳极限的主要因素图10-20

10.6影响构件疲劳极限的主要因素图10-22

10.6影响构件疲劳极限的主要因素上述曲线都是在D/d=2，且d=30～50mm的条件下测得的。如果D/d<2，则有效应力集中因数为

(10-33)(10-34)式中，Kσ0和Kτ0为D/d=2时的有效集中因数；ξ为修正系数，其值与D/d有关，可由图查得。至于其他情况下的有效应力集中因数可查阅有关手册。

10.6影响构件疲劳极限的主要因素

对于在交变应力下工作的零构件，尤其是用高强度材料制成的零构件，设计时应尽量减小应力集中。例如，增大圆角半径，减小相邻杆段横截面的粗细差别，采用凹槽结构［见图（a）］，设置减荷槽［见图（b）］，将必要的孔或沟槽配置在构件的低应力区等。这些措施均能显著提高构件的疲劳强度。

10.6影响构件疲劳极限的主要因素构构件的截面尺寸10.6.2

10.6影响构件疲劳极限的主要因素弯曲和扭转疲劳试验均表明，构件横截面尺寸对持久极限也有影响。截面尺寸对疲劳极限的影响可用尺寸因数εσ或ετ表示。它代表光滑大尺寸试样的疲劳极限（σ－1）d与光滑小尺寸试样的疲劳极限σ－1的比值，即

(10-35)图10-24所示为圆轴在弯曲对称循环时的尺寸因数曲线，该曲线也可近似用于扭转情况。图10-24

10.6影响构件疲劳极限的主要因素由图10-25可知，试样的尺寸增大，应力梯度降低，处于高应力区的材