《最短路径问题》数学课件教案

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c复习引入线段公理：两点之间，线段最短垂线段性质：垂线段最短AB最短路径问题BAl讲授新课牧人饮马问题一“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.

现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”.AB①②③PlABCD已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求ABlP为什么？问题1

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；

（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；

追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？B··Al追问2

你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．

BAlC

你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C1、如图,直线l表示一条河,点A、B表示两个村庄,想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A、B两个村庄供水.现有如图所示的四种铺设管道的方案(图中实线表示铺设的管道),则铺设的管道最短的()课堂练习D2、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两定点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。M’P课堂课堂第一步：作点M关于直线BC的对称点M'；第二步：连接M'N，与直线BC交于点P。第三步：连接MN、MP、NP。3.如图，∠