2023-2024学年江苏省南京外国语学校九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年江苏省南京外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定3．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x＝94．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）5．（3分）圆锥底面半径是3cm，母线是4cm，则圆锥侧面积是（）A．6πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．20πcm26．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°7．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（）A．23 B．3 C．4 D．4−8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（）A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）方程x2＝x的解是．10．（3分）四边形ABCD内接于圆，若∠A＝110°，则∠C＝度．11．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则该扇形的弧长为cm（结果保留π）．12．（3分）一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是．13．（3分）抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是．15．（3分）如图，半径为4的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共52分）17．（10分）解方程：（1）2x2+1＝3x．（2）3（y﹣1）2＝1﹣y．18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）求作⊙P，使圆心P在BC上，且⊙P与AC、AB都相切；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AC＝4，BC＝3．求⊙P的半径．19．（10分）如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当DP＝cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP＝cm时，四边形AOBP是正方形．20．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？21．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年江苏省南京外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：B．2．（3分）已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定【分析】OP＝5，A为线段PO的中点，则OA＝2.5，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．【解答】解：∵OA=12OP＝2.5，⊙∴OA＜⊙O半径，∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．故选：A．3．（3分）一元二次方程x2﹣9＝0的根为（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x＝9【分析】直接开平方法求解可得．【解答】解：∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，∴x＝±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故选：C．4．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．故选：A．5．（3分）圆锥底面半径是3cm，母线是4cm，则圆锥侧面积是（）A．6πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．20πcm2【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出圆锥侧面积．【解答】解：根据题意得圆锥侧面积=12×2π×3×4＝12π（故选：C．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】连接AD，根据圆周角定理及其推论，可分别求出∠ADB＝90°，∠ADE＝∠ACE＝20°，即可求∠BDE的度数．【解答】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠ADE＝∠ACE＝20°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°，故选：C．7．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（）A．23 B．3 C．4 D．4−【分析】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，由切线的性质得到∠BAO＝∠CAO=12∠BAC【解答】解：设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，∵圆分别与边AB，AC相切，∴∠BAO＝∠CAO=12∴∠AOC＝90°，∴OC=12∵OE⊥AC，∴OE=32OC＝2∴⊙O的半径为23，故选：A．8．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（）A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②，把x＝2代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴−b2a=−1，∴b∴abc＜0，∴①正确；∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，∴②正确；把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，从图象可知，当x＝2时y＞0，即4a+2b+c＞0，∴③错误；∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＜5，∴y1＞y2，∴④正确；即正确的有3个①②④．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1．【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝110．（3分）四边形ABCD内接于圆，若∠A＝110°，则∠C＝70度．【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝110°，∴∠C＝70°，故答案为：70．11．（3分）已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则该扇形的弧长为4πcm（结果保留π）．【分析】利用弧长公式：l=nπr【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6cm，∴扇形的弧长是：120×π×6180=4π（故答案为：4π．12．（3分）一元二次方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是﹣2．【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1+x2的值．【解答】解：∵方程2x2+4x﹣1＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2=−b故答案为：﹣2．13．（3分）抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是y＝（x﹣1）2．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y＝x2沿x轴向右平移1个单位长度，则平移后抛物线对应的表达式是y＝（x﹣1）2，故答案为：y＝（x﹣1）2．14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是27．【分析】根据垂径定理和勾股定理，即可得答案．【解答】解：连接OC，由题意，得OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，CE＝ED=OCD＝2CE＝27，故答案为27．15．（3分）如图，半径为4的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为43．【分析】根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，根据垂径定理得到E为AD的中点，由平移前AC与圆O相切，切点为A点，根据切线的性质得到OA与AC垂直，可得∠OAA′为直角，由A′D与A′A为圆O的两条切线，根据切线长定理得到A′D＝A′A，再根据∠B′A′C′＝60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形A′AD为等边三角形，平移的距离AA′＝AD，且∠DAA′＝60°，由∠OAA′﹣∠DAA′求出∠OAE为30°，在直角三角形AOE中，由锐角三角函数定义求出AE的长，由AD＝2AE可求出AD的长，即为平移的距离．【解答】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，∵平移前圆O与AC相切于A点，∴OA⊥A′C，即∠OAA′＝90°，∵平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与A′B′相切于D点，即A′D与A′A为圆O的两条切线，∴A′D＝A′A，又∠B′A′C′＝60°，∴△A′AD为等边三角形，∴∠DAA′＝60°，AD＝AA′＝A′D，∴∠OAE＝∠OAA′﹣∠DAA′＝30°，在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，AO＝4，∴AE＝AO•cos30°＝23，∴AD＝2AE＝43，∴AA′＝43，则该直角三角板平移的距离为43．故答案为：43．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为2−1【分析】取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．【解答】解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，∵点A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴OE＝2，∴ED=2×2∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，∴线段CD长的最小值为2−1故答案为：2−1三、解答题（本大题共5小题，共52分）17．（10分）解方程：（1）2x2+1＝3x．（2）3（y﹣1）2＝1﹣y．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）2x2+1＝3x．2x2﹣3x+1＝0，（x﹣1）（2x﹣1）＝0，∴x﹣1＝0或2x﹣1＝0，∴x1＝1，x2=1（2）3（y﹣1）2＝1﹣y，3（y﹣1）2+（y﹣1）＝0．（y﹣1）（3y﹣3+1）＝0，∴y﹣1＝0或3y﹣3+1＝0，∴y1＝1，y2=218．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，（1）求作⊙P，使圆心P在BC上，且⊙P与AC、AB都相切；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AC＝4，BC＝3．求⊙P的半径．【分析】（1）作∠CAB的角平分线交BC于点P，以P为圆心，PC为半径作⊙P即可．（2）设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PB＝3﹣R，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图所示．（2）设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PB＝3﹣R，在Rt△ABC中，AB=3∵⊙P与AC、AB都相切，∴AD＝AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，在Rt△PBD中，∵PD2+BD2＝PB2，∴R2+12＝（3﹣R）2解得：R=4答：⊙P的半径为4319．（10分）如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B．（1）连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当DP＝1cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP＝2−1cm时，四边形AOBP【分析】（1）利用切线的性质可得OC⊥PC．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP＝30°，从而求得．（2）①要使四边形AOBD是菱形，则OA＝AD＝OD，所以∠AOP＝60°，所以OP＝2OA，DP＝OD．②要使四边形AOBP是正方形，则必须∠AOP＝45°，OA＝PA＝1，则OP=2，所以DP＝OP【解答】解：（1）连接OA，AC∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，在Rt△AOP中，∠AOP＝90°﹣∠APO＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACP＝30°，∵∠APO＝30°∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP，∴△ACP是等腰三角形．（2）①DP＝1，理由如下：∵四边形AOBD是菱形，∴OA＝AD＝OD，∴∠AOP＝60°，∴OP＝2OA，DP＝OD．∴DP＝1（cm），②DP=2∵四边形AOBP是正方形，∴∠AOP＝45°，∵OA＝PA＝1，OP=2∴DP＝OP﹣1∴DP＝（2−1）（cm20．（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？【分析】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x件，进而得到商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，依据方程1200＝（40﹣x）（20+2x）即可得到x的值；（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元．【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），解得x1＝10，x2＝20，经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，所以x＝20，答：每件衬衫应降价20元；（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，y的最大值为1250，答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．21．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一