2025 八年级数学下册分式的乘除运算的算理推导课件

一、课程引入：从分数到分式的自然延伸演讲人CONTENTS课程引入：从分数到分式的自然延伸分式乘法的算理推导：从特殊到一般的归纳分式除法的算理推导：逆运算与倒数的关联算理应用：典型例题与思维提升总结与升华：分式乘除的算理本质与学习价值目录2025八年级数学下册分式的乘除运算的算理推导课件01课程引入：从分数到分式的自然延伸课程引入：从分数到分式的自然延伸作为一线数学教师，我常思考：如何让学生在分式运算中“知其然更知其所以然”？八年级学生已熟练掌握分数的乘除运算，而分式是分数的代数化延伸，二者算理本质相通。今天，我们将沿着“分数经验—分式猜想—符号验证—法则形成”的路径，揭开分式乘除运算的底层逻辑。1知识回顾：分数乘除的运算经验先请同学们快速计算两组分数题：（1）$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=?$；（2）$\frac{6}{7}\div\frac{3}{4}=?$大家的答案一致：（1）$\frac{8}{15}$；（2）$\frac{24}{21}=\frac{8}{7}$。追问：你们依据什么法则计算？学生总结：分数相乘，分子乘分子，分母乘分母；分数相除，等于乘除数的倒数。再问：为什么可以这样算？以第一题为例，$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}$表示“2/3的4/5是多少”，用面积模型理解：将单位1平均分成3×5=15份，取2×4=8份，结果自然是$\frac{8}{15}$。这说明分数乘除的算理，本质是“部分与整体的数量关系”在运算中的具体化。2问题驱动：分式乘除的现实需求生活中，我们会遇到更复杂的数量关系。例如：①一辆汽车行驶$a$千米消耗$b$升汽油，那么行驶$c$千米消耗多少升汽油？②某工程队$m$天完成$n$米管道铺设，照此效率，完成$p$米需要多少天？这些问题的解决需要分式的乘除运算（①的答案是$\frac{ac}{b}$升，②的答案是$\frac{pm}{n}$天）。可见，分式乘除是解决实际问题的工具，而其运算规则必须与分数乘除的逻辑一致——这正是我们今天要推导的核心。02分式乘法的算理推导：从特殊到一般的归纳分式乘法的算理推导：从特殊到一般的归纳分式乘法的法则看似简单（分子乘分子，分母乘分母），但要让学生真正理解，必须经历“具体实例观察—符号语言抽象—逻辑验证”的完整过程。1具体实例的观察与猜想先看三组分式乘法的“数值型”例子（分母均不为0）：例1：$\frac{2}{x}\times\frac{3}{y}=?$（$x,y\neq0$）例2：$\frac{a}{4}\times\frac{5}{b}=?$（$a,b\neq0$）例3：$\frac{m+n}{2}\times\frac{3}{m-n}=?$（$m\neqn$）请同学们尝试计算，并类比分数乘法写出结果：例1结果为$\frac{6}{xy}$，例2为$\frac{5a}{4b}$，例3为$\frac{3(m+n)}{2(m-n)}$。1具体实例的观察与猜想引导观察：分子部分是原分子的乘积（2×3=6，a×5=5a，(m+n)×3=3(m+n)），分母部分是原分母的乘积（x×y=xy，4×b=4b，2×(m-n)=2(m-n)）。提出猜想：分式相乘时，分子的乘积作为新分子，分母的乘积作为新分母，即$\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$（$B,D\neq0$）。2符号语言的抽象与验证猜想是否正确？需用代数方法验证。设分式$\frac{A}{B}$（$B\neq0$）表示$A\divB$，$\frac{C}{D}$（$D\neq0$）表示$C\divD$。根据乘法定义，$\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}$等价于$(A\divB)\times(C\divD)$。根据乘除运算的交换律和结合律，$(A\timesC)\div(B\timesD)$，即$\frac{AC}{BD}$（$B,D\neq0$）。这说明，分式乘法的本质是“分子整体与分母整体的乘除运算重组”，与分数乘法的底层逻辑完全一致——都是将“部分量的倍数关系”转化为“整体量的乘积关系”。3法则表述与注意事项通过上述推导，我们可以正式总结分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即$\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$（其中$B,D\neq0$，且最终结果需化为最简分式）。教学中发现，学生易忽略两点：①分母不能为0的隐含条件（如例3中$m\neqn$）；②运算前先约分可简化计算（如$\frac{4}{x}\times\frac{x}{8}=\frac{4x}{8x}=\frac{1}{2}$，可先约去$x$和公因数4）。03分式除法的算理推导：逆运算与倒数的关联分式除法的算理推导：逆运算与倒数的关联分式除法是乘法的逆运算，其算理可通过“除法的意义”和“倒数的转化”双重路径推导。1从除法的意义理解分式除法回忆分数除法的意义：$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}$表示“已知两个因数的积是$\frac{a}{b}$，其中一个因数是$\frac{c}{d}$，求另一个因数”。设所求因数为$x$，则$\frac{c}{d}\timesx=\frac{a}{b}$。根据分式乘法法则，$\frac{cx}{d}=\frac{a}{b}$，解得$x=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$。这说明，分式除法的结果等于被除数乘除数的倒数，即$\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$（$B,C,D\neq0$）。2从倒数的转化验证算理另一种思路：分式$\frac{C}{D}$的倒数是$\frac{D}{C}$（因为$\frac{C}{D}\times\frac{D}{C}=1$）。根据“除以一个数等于乘它的倒数”的基本运算规则（这一规则在有理数运算中已验证），分式除法自然可以转化为乘法。例如：$\frac{2}{x}\div\frac{3}{y}=\frac{2}{x}\times\frac{y}{3}=\frac{2y}{3x}$（$x,y\neq0$），与直接计算“$(\frac{2}{x})\div(\frac{3}{y})=(2\divx)\div(3\divy)=2\divx\timesy\div3=\frac{2y}{3x}$”结果一致。3法则表述与易错点提醒分式除法法则可总结为：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即$\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$（其中$B,C,D\neq0$，结果需化简）。学生常见错误：①忘记颠倒除式的分子分母（如将$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}$错误算成$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}$）；②忽略除式分母为0的条件（如$\frac{1}{x}\div\frac{x}{2}$中$x\neq0$）；③未约分直接计算（如$\frac{6}{x^2}\div\frac{3}{x}=\frac{6}{x^2}\times\frac{x}{3}=\frac{6x}{3x^2}=\frac{2}{x}$，可先约去6和3、$x^2$和$x$）。04算理应用：典型例题与思维提升算理应用：典型例题与思维提升为巩固算理，我们通过例题强化“先理解规则，再应用规则”的思维习惯。1单项式分式的乘除例1：计算（1）$\frac{3x}{4y}\times\frac{8y^2}{9x^2}$；（2）$\frac{15a^2b}{7c}\div\frac{5ab}{14c^2}$。分析（1）：分子相乘$3x\times8y^2=24xy^2$，分母相乘$4y\times9x^2=36x^2y$，结果为$\frac{24xy^2}{36x^2y}=\frac{2y}{3x}$（约去公因数12和公因式$xy$）。分析（2）：转化为乘法$\frac{15a^2b}{7c}\times\frac{14c^2}{5ab}=\frac{15a^2b\times14c^2}{7c\times5ab}=\frac{210a^2bc^2}{35abc}=6ac$（约去15和5、14和7、$a^2$和$a$、$b$和$b$、$c^2$和$c$）。1单项式分式的乘除关键思维：先观察分子分母的公因式，运算前约分可简化计算。2多项式分式的乘除（需因式分解）例2：计算（1）$\frac{x^2-4}{x+3}\times\frac{x+3}{x-2}$；（2）$\frac{a^2-2a+1}{a^2-1}\div\frac{a-1}{a+1}$。分析（1）：分子$x^2-4$因式分解为$(x-2)(x+2)$，原式变为$\frac{(x-2)(x+2)}{x+3}\times\frac{x+3}{x-2}$，约去$(x-2)$和$(x+3)$，结果为$x+2$（注意$x\neq2,-3$）。分析（2）：先因式分解，$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-1=(a-1)(a+1)$，2多项式分式的乘除（需因式分解）转化为乘法后：$\frac{(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}\times\frac{a+1}{a-1}=\frac{(a-1)^2(a+1)}{(a-1)(a+1)(a-1)}=1$（注意$a\neq1,-1$）。关键思维：多项式分式需先因式分解，再寻找公因式约分，本质是将“复杂分式”转化为“最简形式”，体现了“化归思想”。3实际问题中的分式乘除例3：某机器人每小时能分拣$m$个包裹，改进后效率提升$\frac{n}{100}$（即提升$n%$），则改进后分拣$p$个包裹需要多长时间？分析：原效率为$m$个/小时，改进后效率为$m\times(1+\frac{n}{100})=\frac{m(100+n)}{100}$个/小时。时间=总量÷效率，即$p\div\frac{m(100+n)}{100}=p\times\frac{100}{m(100+n)}=\frac{100p}{m(100+n)}$小时。关键思维：将实际问题转化为分式运算，需明确各量的数学关系（如效率、总量、时间的关系），再应用分式乘除法则求解。05总结与升华：分式乘除的算理本质与学习价值1算理本质的回顾通过今天的推导，我们明确了分式乘除的算理：分式乘法是分数乘法的代数推广，本质是“分子整体相乘、分母整体相乘”，其逻辑源于乘除运算的结合律（$(A\divB)\times(C\divD)=(A\timesC)\div(B\timesD)$）。分式除法是乘法的逆运算，通过“除以一个分式等于乘它的倒数”转化为乘法，其依据是除法的意义（已知积和一个因数求另一个因数）和倒数的定义（两数相乘为1则互为倒数）。2学习价值的深化分式乘除不仅是代数运算的基础，更蕴含重要的数学思想：01类比思想：从分数到分式的迁移，体现了“特殊到一般”的归纳思维；02符号意识：用字母表示数后，运算规则的一致性展现了数学的简洁美和普适性；03应用意识：通过实际问题的解决，体会分式运算在刻画现实世界数量关系中的工具价值。043课