7.3 离散型随机变量的数字特征 课件-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册

第七章

随机变量及其分布7.3

离散型随机变量的数字特征图解课标要点教材帮

新知课丨必备知识解读知识点1

离散型随机变量的均值1

定义

……

.

.2

意义

随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别

随机变量的均值即总体均值，是一个常数，它不依赖于样本的抽取，在大量的试验下，它总是稳定的，不具有随机性.而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化．对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值.3

性质

.

.知识延伸特例均值意义常数的均值就是这个常数本身.随机变量与常数之和的均值等于随机变量的均值与这个常数的和.常数与随机变量的乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.

学思用·典例详解

123

37

50300.60.30.1

01

0

17

知识点2

离散型随机变量的方差1

定义

……

.

.知识剖析方差公式的另一种表示

在方差的计算中，通过对其进一步的化简可得到另一种形式，在计算时也会用到.

.

.2

意义

随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度（或波动大小）．（方差或标准差越小，取值越集中；方差或标准差越大，取值越分散）知识剖析

离散型随机变量的方差与样本方差的区别与联系

离散型随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本的不同而变化，是客观存在的;样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差.3

性质

.

.特例方差意义常数的方差等于0.随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同.

1234

DA.1

B.2

C.3

D.4

C

知识点3

两点分布的均值与方差公式

01

.

.

0.50.25

方法帮

解题课丨关键能力构建题型1

离散型随机变量的均值、方差

012

D

012

.

.

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

.

.

.

.

04080120160

【学会了吗丨变式题】

0123

2（答案不唯一）

12

3

234

题型2

均值与方差性质的应用

247A

02A

0.80.20.20.50.3

5100.80.228120.20.50.3

【学会了吗丨变式题】

D

对阵队员

0123

0123

题型3

均值、方差在决策问题中的应用母题

致经典·母题探究图7.3-1例14

(2025·上海市行知中学调研)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图（如图7.3-1）：

.

.

161718192021220.040.160.240.240.20.080.04

.

..

..

.命题探源

数学期望在决策型问题中的应用数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平.随着社会的进步和经济的发展，数学期望在日常生活中和经济活动中的运用越来越广，如个人的采购，投资风险分析，企业的生产和经营方案等，经常需要对事物的进展情况进行决策，以便用最有利的方式来采取行动.人们常把数学期望作为决策参考的重要依据，应用数学期望讨论某些经济问题，从而得到一些有意义的结论.离散型随机变量的分布列及期望的应用是历年高考考查的重点，特别是与统计内容结合的试题，背景新颖，与实际生活联系紧密.子题子题1

依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图

7.3-2（1）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图

7.3-2（2）所示．图7.3-2（1）试估计该河流在8月份水位的中位数.

（2）以频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率.

（3）该河流域某企业在8月份若没受1,2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响，则亏损1

000万元．现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用/万元方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．

5000.810.1550.035

4600.9650.035

子题2

五一劳动节前夕，某公司为全体员工发放奖励，奖励拟采用抽签方式发放，每位员工分别从标有面值的4张卡片中随机取出2张，2张卡片上的面值之和即为该员工的奖励金额．（1）若4张卡片上的面值分别为100元、100元、300元、500元．①求每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率；

200400600800

（2）现面值有100元、200元、300元、400元、500元，选取其中的3个作为4张卡片上的面值.相较于（1）中的面值，如何选择可以使得每位员工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额更加均衡（只需给出一种方案并说明理由即可）？

300400600700

所以4张卡片上的面值分别为100元、200元、200元、500元时，此方案可以使每位员工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额更加均衡．期望和方差在决策问题中的应用思路离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在利用期望和方差的意义去分析、解决实际问题时，两者都要分析．注意：至于实际应用中是方差大了好还是方差小了好，要看这组数据反映的实际问题，如在机器生产的零件质量与标准件的误差问题上，应该是方差越小越好；在挑选人员参加比赛的问题上，通常既要考虑人员平时的水平，也要考虑人员发挥的潜能与后劲.【学会了吗丨变式题】

020100P0.20.320.48（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

0801000.40.120.48

新考法·学科融合

01230.40.30.20.1

给什么得什么求什么想什么差什么找什么

（3）根据你的理解说明第（2）问结论的实际含义.

高考帮

考试课丨核心素养聚焦考情揭秘本节内容为高考常考内容,往往以分布列为载体,先求离散型随机变量的分布列,再求离散型随机变量的均值、方差,有时也会考查对均值、方差的理解以及利用计算出的均值作出决策或判断.多以解答题的形式出现,偶尔以选择题、填空题的形式出现，难度中等或中等偏上.核心素养：数学运算（求期望、方差等）,逻辑推理（概率模型的选择、作出决策或判断等），数据分析（通过分析题目中给出的数据解题）.考向1

均值与方差的相关计算

1234

（1）求甲学校获得冠军的概率；

01020300.160.440.340.06

素养探源素养考查途径数学运算概率的求解，数学期望的计算.逻辑推理判断离散型随机变量的取值.数据分析由题干信息提取数据，制作分布列.变式探源

(2024·北京)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1

000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数01234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率.

（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

考向2

均值与方差的应用

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛?

（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛?

高考新题型专练

123则下列说法正确的是(

)ABD

123

则下列说法不正确的是(

)ABD

练习帮

习题课丨学业质量测评A

基础练丨知识测评建议时间：25分钟

AA.2.5

B.3.5

C.0.25

D.2

C

D

X01PB

AA.0.9

B.0.8

C.1.2

D.1.1

ABD

X01P0.30.50.2

Y234P0.130.130.74

B

综合练丨高考模拟建议时间：40分钟

A

D

C

.

.

每天前8小时的销售量15161718192021频数1015161613

657585P

√60708090P

ACD

2

.

.15.某村积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销售．现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式的优劣，村委会分别从甲、乙两种加工方式所加工的半成品中，各自随机抽取了100件作为样本检测其质量指标值（质量指标值越大，质量越好），检测结果如表1所示.表1指标区间甲种生产方式820362412乙种生产方式62638228已知每件中药半成品的等级与纯利润（单位：元）间的关系如表2所示：表2指标区间等级二级一级特级纯利润3050100将频率视为概率，解答下列问题．

X3050100P0.280.360.36

Y3050100P0.320.380.3（2）从数学期望的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利更多．

C

培优练丨能力提升16.