图像基础技术处理 13

第十二章形态学图像处理《数字图像处理》李俊山编著.《数字图像处理（第5版）》

数学形态学图像处理的基本思想是：用具有一定形态的结构元素（是指具有某种特定结构形状的基本元素，例如一定大小的矩形、圆或者菱形等）探测目标图像，通过检验结构元素在图像目标中的可放性和填充方法的有效性，来获取有关图像形态结构的相关信息，进而达到对图像分析和识别的目的。12.1集合论基础一、集合的概念

所谓集合是指能作为整体论述的事物的集体。集合在数学形态学中用于表示图像中的不同对象，比如在二值图像中，通常用所有值为“1”的像素的集合表示前景（目标），而用所有值为“0”的像素的集合表示图像的背景。1、集合的子集与相等

(12.1)只有：当且仅当和同时成立时，称集合A和B集合相等。

二、集合间的关系和运算2、集合的基本运算等

(1)集合的并元素在集合中元素在集合外集合的并二、集合间的关系和运算(12.2)2、集合的基本运算等

(2)集合的交

(12.3)集合的交二、集合间的关系和运算2、集合的基本运算等

(3)集合的补

(12.4)集合的补二、集合间的关系和运算2、集合的基本运算等

(4)集合的差

(12.5)或(12.6)集合的差二、集合间的关系和运算3、集合的反射和平移

(1)集合的反射由集合A中所有元素相对于原点的反射元素组成的集合称为集合A的反射，记为。

(12.7)其中，x表示集合A中的元素a对应的反射元素。集合的反射图示二、集合间的关系和运算3、集合的反射和平移

(2)集合的平移由集合A中所有元素平移y=(y1，y2)后组成的元素集合称为集合A的平移，记为。

(12.8)其中，x表示集合A中的元素a平移y后形成的元素。集合的平移图示二、集合间的关系和运算12.2二值形态学的基本运算1、腐蚀运算的概念

腐蚀（erosion）是一种消除连通域的边界点，使边界向内部收缩的数学形态学运算。

用途：腐蚀运算具有消除图像中比结构元素小的成分的作用，可以去除物体之间的粘连，消除图像中的小颗粒噪声。一、腐蚀2、腐蚀运算的数学定义和运算方法设A为目标图像，B为结构元素，则目标图像A被结构元素B腐蚀可定义为：

(12.9)其中，y是一个表示集合平移的位移量。

一、腐蚀腐蚀运算的含义是：每当在目标图像A中找到一个与结构元素B相同的子图像时，就把该子图像中与B的原点位置对应的那个像素位置标注为1，图像A上标注出的所有这样的像素组成的集合，即为腐蚀运算的结果。111B一、腐蚀

简而言之，腐蚀运算的实质就是在目标图像中标出那些与结构元素相同的子图像的原点位置的像素。

注意，结构元素中的原点位置可以不为1，但要求目标图像中的子图像与结构元素B的原点对应的那个位置的像素值要是1。

11一、腐蚀111腐蚀运算的基本过程是：把结构元素B看作为一个卷积模板，每当结构元素的原点及像素值为1的位置平移到与目标图像A中的那些像素值为“1”的位置重合时，就认为结构元素覆盖的子图像的值与结构元素相应位置的像素值相同，就将目标图像中的那个与原点位置对应的像素位置的值置为“1”，否则置为0。注意：当结构元素在目标图像上平移时，结构元素中的任何元素不能超出目标图像的范围。

一、腐蚀11

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11110

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00

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1000111一、腐蚀举例：（a）目标图像A（b）结构元素B（c）腐蚀运算结果图像图12.4腐蚀运算实例

3、结构元素形状对腐蚀运算结果的影响腐蚀运算的结果不仅与结构元素的形状(矩形、圆形、菱形等)选取有关，而且还与原点位置的选取有关。一、腐蚀11

111

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010

1010图12.5与图12.4结构元素不同时的腐蚀运算实例3、结构元素形状对腐蚀运算结果的影响举例：

一、腐蚀11

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000

0100图12.6与图12.4的结构元素的原点不同时的腐蚀运算实例3、结构元素形状对腐蚀运算结果的影响举例：

一、腐蚀3、结构元素形状对腐蚀运算结果的影响举例：利用腐蚀运算去除物体之间粘连的验证图例。一、腐蚀3、结构元素形状对腐蚀运算结果的影响举例：利用腐蚀运算消除图像中的小颗粒噪声的验证结果。一、腐蚀一、腐蚀4、腐蚀运算的matlab编程

（1）将girl彩色图像转换成灰度图像。

（2）通过对其进行Sobel边缘检测，得到边缘检测结果二值图像。

（3）对边缘检测二值图像进行腐蚀运算。二、膨胀1、膨胀运算的概念

膨胀（dilation）是一种将与物体接触的所有背景点合并到物体中，使边界向外部扩张的数学形态学运算。

用途：膨胀运算具有填充图像中比结构元素小的成分的作用，可以连接相邻的物体或目标区域，填充图像中的小孔和狭窄的缝隙。二、膨胀2、膨胀运算数学定义和运算方法设A为目标图像，B为结构元素，则目标图像A被结构元素B膨胀可定义为：

(12.10)其中，是B的反射元素，y是一个表示集合平移的位移量。

膨胀的含义是：先对结构元素B做关于其原点的反射得到反射集合，然后再在目标图像A上将平移y，则那些平移后与目标图像A至少有1个非零公共元素相交时对应的

的原点位置所组成的集合，就是膨胀运算的结果。

2、膨胀运算数学定义和运算方法二、膨胀膨胀运算的基本过程是：

（1）求结构元素B关于其原点的反射集合；（2）每当结构元素在目标图像A上平移后，结构元素

与其覆盖的子图像中至少有一个元素相交时，就将目标图像中与结构元素的原点对应的那个位置的像素值置为“1”，否则置为0。注意：（1）当结构元素中原点位置的值是0时，仍把它看作是0；而不再把它看作是1。

（2）当结构元素在目标图像上平移时，允许结构元素中的非原点像素超出目标图像范围。

二、膨胀111

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（a）目标图像A（b）结构元素B（c）结构元素（d）膨胀运算结果图像举例：二、膨胀3、结构元素形状对膨胀运算结果的影响当目标图像不变，但所给的结构元素的形状改变时；或结构元素的形状不变，而其原点位置改变时，膨胀运算的结果都会发生改变。二、膨胀111

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（a）目标图像A（b）结构元素B（c）结构元素（d）膨胀运算结果图像

下面给出的是与图12.10的目标图像相同但结构元素不同时，膨胀运算结果不同的例子。

二、膨胀111

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2020202212210222210

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222

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（a）目标图像A（b）结构元素B（c）结构元素（d）膨胀运算结果图像

下面给出的是与图12.10的目标图像相同，但仅结构元素的原点位置改变时，膨胀运算结果不同的例子。

二、膨胀3、结构元素形状对膨胀运算结果的影响例：用膨胀运算连接相邻物体的验证图例。

二、膨胀3、结构元素形状对膨胀运算结果的影响

例：用膨胀运算填充物体内部小孔的验证图例。

二、膨胀二、膨胀

膨胀运算的matlab编程：

（1）将girl彩色图像转换成灰度图像。

（2）通过对其进行Sobel边缘检测，得到边缘检测结果二值图像。

（3）对边缘检测二值图像进行腐蚀运算。

（4）对边缘检测二值图像进行膨胀运算。

（12.12）

（12.13）

4、腐蚀运算与膨胀运算的对偶性膨胀和腐蚀运算的对偶性可分别表示为：也即：对目标图像的膨胀运算，相当于对图像背景的腐蚀运算操作；对目标图像的腐蚀运算，相当于对图像背景的膨胀运算操作。二、膨胀(a)目标图像(b)结构元素B(c）膨胀(d)腐蚀(e)

的补(f)

的反射(g)腐蚀(h)膨胀1111111111111111111111111111

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11111111111111121111211112111122111111100110100腐蚀运算与膨胀运算的对偶性－示例

二、膨胀11111111腐蚀运算与膨胀运算的对偶性－实例验证

(a)目标图像A

(b)结构元素B(c）膨胀结果(d)腐蚀结果(e)A的补

(b)B的反射(c）膨胀(d)腐蚀二、膨胀

（12.14）

1、开运算使用同一个结构元素对目标图像先进行腐蚀运算,然后再进行膨胀运算称为开运算。结构元素B对目标图像A的开运算定义为：三、开运算与闭运算

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000100(a）目标图像A

(b)结构元素BB的反射(c）B对A的腐蚀结果(d）B对(c)膨胀结果1

111、开运算举例：11

11三、开运算与闭运算图12.17对含噪声的印刷电路板图像进行开运算实例

(a)印刷电路板二值图像（b）对(a)进行开运算的结果图像

1、开运算实例：三、开运算与闭运算

（12.15）

2、闭运算使用同一个结构元素对目标图像先进行膨胀运算,然后再进行腐蚀运算称为闭运算。结构元素B对目标图像A的闭运算定义为：三、开运算与闭运算111

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12112

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‘1

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(b)结构元素B

(a）目标图像A

(c）B对A的膨胀结果(d)B对(c)

腐蚀结果2、闭运算举例：

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011

011

21

011

21

2111B的反射三、开运算与闭运算图12.19电路板二值图像闭运算实例

2、闭运算实例：(a)电路板二值图像（b）对(a)进行闭运算的结果图像

三、开运算与闭运算

比较图（a）和图（b）可知：图（a）电路中存在小孔洞和狭窄的间断。在图（b）中已经得到了有效的处理。

3、开运算与闭运算的对偶性开运算与闭运算互为对偶，并可表示为：闭运算可以使物体的轮廓线变得光滑。闭运算具有磨光物体内边界的作用，而开运算具有磨光图像外边界的作用。

(12.16)(12.17)

三、开运算与闭运算(b)对图像进行(c)腐蚀运算结果(d)对图(c)进行(e)对H图像开腐蚀运算膨胀运算运算结果(f)对图(a)进行(g)膨胀运算结果(h)对图(g)的(i)对H形图像闭膨胀运算腐蚀运算运算结果(a)H形原图像开运算与闭运算对偶性－实例验证

三、开运算与闭运算四、二值形态学基本运算的性质

1）单调性

2）扩展性

3）交换性

4）结合性

5）平移不变性{感兴趣的自学}四、二值形态学基本运算的性质

开运算和闭运算还具有幂等性。

幂等性是指在形态学图像处理过程中反复进行某一运算处理，处理的结果并不改变。

开运算和闭运算的幂等性可分别表示为：（12.29）（12.30）四、二值形态学基本运算的性质（a）二值lena图像（b）一次开运算结果（c）二次开运算结果（d）二值lena图像（e）一次闭运算结果（f）一次闭运算结果图12.21开运算与闭运算的幂等性验证实例12.3二值图像的形态学处理一、形态滤波

（12.31）（a）原图像（b）对(a)进行开运算的结果（c）形态滤波结果图12.22利用圆形结构元素进行形态学滤波示例

开运算和闭运算串起来可构成形态滤波器，可以有效消除目标图像中的前景噪声和背景噪声。形态滤波器定义为：二、边界提取

（12.32）（12.33）（12.34）

利用形态学进行边界提取的基本思想是：用一定的结构元素对目标图像进行形态学运算，再将得到的结果与原图像相减。依据所用形态学运算的不同，可以得到二值图像的内边界、外边界和形态学梯度边界：（a）原图像（b）原图像的内边界（c）原图像的外边界（d）原图像的形态学梯度图12.23二值图像边界提取示例二、边界提取

（a）边界图像A（b）图像A的补集（c）结构元素B图12.24区域填充过程示例用到的边界图像A和结构元素B

（12.35）三、区域填充

通过对图像进行膨胀、求补和交集运算，可在已知区域边界的基础上，对图像区域进行填充操作：三、区域填充

（a）细胞的二值图像（b）区域填充结果图12.26对细胞图像的区域填充示例三、区域填充

（12.36）（12.37）四、骨架提取

（12.38）（12.39）（12.40）

骨架是二值图像的一种细化结构，可以描述图像几何形态的拓扑结构。（a）原图像（b）提取的原图像的骨架图像图12.27骨架提取实例四、骨架提取

五、物体识别

简单情况下，可以利用腐蚀运算进行物体的识别，也即先将待选物体设置为结构元素，然后运用腐蚀运算识别简单的物体。

图12.28是一个从圆形、三角形和正方形中识别正方形的例子：图12.29物体识别五、物体识别

(a)(b)(c）(d)(e)(f）12.4灰度形态学基本运算

灰度形态学是二值形态学向灰度空间的自然扩展。在灰度形态学中，分别用图像函数f(x,y)和b(x,y)表示二值形态学中的目标图像A和结构元素B，并把f(x,y)称为输入图像，b(x,y)称为结构元素，函数中的(x,y)表示图像中像素点的坐标。

二值形态学中用到的交和并运算在灰度形态学中分别用最大极值和最小极值运算代替。

在灰度图像中，用结构元素b(x,y)对输入图像f(x,y)进行灰度腐蚀运算可表示为：其中，Df和Db分别表示f(x,y)和b(x,y)的定义域。x和y必须位于结构元素的定义域之内，而平移参数(s+x)和(t+y)必须位于的f(x,y)的定义域之内。

一、灰度腐蚀

与二值图像腐蚀运算不同的是：被移动的是输入图像f(x,y)函数而不是结构元素b(x,y)。灰度腐蚀运算的特点：灰度腐蚀运算的计算是逐点进行的，求某点的腐蚀运算结果就是：计算该点局部范围内各点与结构元素中对应点的灰度值之差，并选取其中的最小值作为该点的腐蚀结果。

经腐蚀运算后，图像边缘部分具有较大灰度值的点的灰度会降低，因此，边缘会向灰度值高的区域内部收缩。一、灰度腐蚀

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1020232020(a)(b)(c）(d)(e)(f)(g）(h)灰度腐蚀运算－示例：一、灰度腐蚀

灰度腐蚀运算的一维函数形式为：

(12.42)一、灰度腐蚀

利用结构元素b(x)对目标图像f(x)的腐蚀过程是：在目标图像的下方“滑动”结构元素，结构元素所能达到的最大值所对应的原点位置的集合即为腐蚀的结果。

一维灰度腐蚀运算－示例：图12.31腐蚀运算过程示意图一、灰度腐蚀

图12.32利用球形结构元素对图像进行腐蚀运算的实例(a)原灰度图像(b)腐蚀运算结果图像灰度腐蚀运算－实例：一、灰度腐蚀

在灰度图像中，用结构元素b(x,y)对输入图像f(x,y)进行灰度膨胀运算可表示为：其中，Df和Db分别表示f(x,y)和b(x,y)的定义域。X和y必须位于结构元素的定义域之内，而平移参数(s+x)和(t+y)必须位于的f(x,y)的定义域之内。

二、灰度膨胀

需要注意的是：

二值膨胀运算中要求目标图像集合和结构元素集合相交至少有一个元素。灰度膨胀运算的特点：灰度膨胀运算的计算是逐点进行的，求某点的膨胀运算结果就是：计算该点局部范围内各点与结构元素中对应点的灰度值之和，并选取其中的最大值作为该点的腐蚀结果。

经膨胀运算后，图像边缘部分得到了延伸。二、灰度膨胀

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1020232020灰度膨胀运算－示例：(a)(b)(c）(d)(e)(f)(g）(h)二、灰度膨胀

灰度膨胀运算的一维函数形式为：

(12.44)二、灰度膨胀

图12.34膨胀运算过程示意图

利用结构元素b(x)对目标图像f(x)的膨胀过程是：将结构元素的原点平移到输入图像曲线上，使原点沿着输入图像曲线“滑动”，膨胀的结果为输入图像曲线与结构元素之和的最大值。

一维灰度膨胀运算－示例：二、灰度膨胀

图12.35利用球形结构元素对图像进行膨胀运算的实例(a)原灰度图像(b)膨胀运算结果图像灰度膨胀运算－实例：二、灰度膨胀

用结构元素b对灰度图像f进行开运算可表示为：

(12.47)

开运算可以通过将求出的所有结构元素的形态学平移都填入目标图像f下方的极大点来计算。这种填充方式可以从几何角度直观地用图12.36来描述。

三、灰度开运算和灰度闭运算1、灰度开运算(a)Y为某常数时的图