实变函数：集合

第四节可数集第一章集合注：A可数当且仅当

A可以写成无穷序列的形式{a1,a2,a3,…}1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…例：1）Z={0，1，-1，2，-2，3，-3，…}

与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为１可数集的定义2）[0,1]中的有理数全体

={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}假设这是一个无限集M我们可以取出其中一个点a1显然M\{a1}还是无限集在M\{a1}中可以取出一点a2显然M\{a1，a2}还是无限集我们可以取出一个可数子集{a1,a2,a3,...}

任何无限集合均含有可数子集（即可数集是无限集中具有最小基数的集合)２可数集的性质（子集）可数集的子集或为有限集或为可数集推论

可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}当集合有公共元素时，不重复排。假设A，B，C两两不交，则A∪B={b1,b2,b3,…,bn

，a1,a2,a3,…}可数个可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集C={c1,c2,c3,c4,c5,c6,…}B={b1,b2,b3,…,bn}A∪C={c1,a1,c2,a2,c3,a3,…}当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列;当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；A1A2A3A4可数个可数集的并

仍为可数集的证明首先[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}是可数集，例全体有理数之集Q是可数集[][][][][][]-2-101234所以Q是可数集（可数个可数集的并）说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).有限个可数集的卡氏积是可数集设A，B是可数集，则A×B也是可数集从而A×B也是可数集（可数个可数集的并）利用数学归纳法即得有限个乘积的情形3可数集的性质（卡氏积）x固定，y在变例平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集证明：平面上的圆由其圆心(x,y)和半径r唯一决定,从而r(x,y)例有限集与可数集的并仍为可数集可数集并可数集仍为可数集AA\MMB对上例的说明特殊情形：

[0,1]~(0,1)R~R-Q假设这是集合A从中可以取出可数子集M很容易将M一分为二M1,M2，使得两个都是可数集A\MM={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…}M1

={a1,a3,a5,…}M2={a2,a4,a6,…}取A*=(A\M)∪M1=A-M2即可例说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子集与它有相同多的元素个数问:为什么不直接令A*=A\M?7.集合论中的例子

Hilbert旅馆问题1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…问下列情况是否能把新来的人安排下：1又来了有限个人{b1,b2,b3,…

，bn}3每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）4又来了[0,1]个人2每个人带一个亲戚{b1,b2,b3,…,bn,…}Hilbert旅馆问题解答1b1,b2,b3,

…,bn

,a1,a2,a3,…1,2,3,4,5,6,…a1,a2,a3,a4,a5,a6,…4不能安排进去（[0,1]是不可数集）2b1,a1,b2,a2,b3,a3,…3a1,a2,a3,a4,…