第二节　简谐运动的描述

第二节简谐运动的描述学

习

目

标思

维

导

图1.知道简谐运动的数学表达式，知道数学表达式中各物理量的意义．2.知道简谐运动的图像是正弦或余弦曲线．01.知识点一03.随堂自主检测04.课时素养评价11内容索引02.知识点二01.知识点一知识点一简谐运动的函数描述【情境导学】(1)如图是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，它是一条正弦曲线．请根据数学知识用图中符号写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义．

提示：它们的振幅分别为3a和9a，比值为1∶3，频率分别为2b和4b.【知识梳理】1．振动曲线：

物体做简谐运动时________与时间关系的曲线叫振动曲线，简称x-t图线．2．描述简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝___________．(1)A是简谐运动的振幅，ω为简谐运动的角频率．(2)ω与周期T或者频率f的关系为ω＝________＝________．状元随笔简谐运动的表达式既可以用正弦函数表示，又可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同．位移Acos(ωt＋φ)

2πf

(3)相位①φ表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．②(ωt＋φ)代表了做简谐运动的质点在t时刻，处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动．(4)相位差频率相同的两个简谐运动有固定的相位差：Δφ＝φ1－φ2.①若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相．②若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相．③若Δφ＝φ1－φ2>0，则1的相位比2的相位超前Δφ或2的相位比1的相位落后Δφ.④若Δφ＝φ1－φ2<0，则1的相位比2的相位落后|Δφ|或2的相位比1的相位超前|Δφ|.例1(多选)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5cos(10πt)cm.下列说法正确的是(

)A．M、N间距离为5cmB．振子的振动周期是0.2sC．t＝0时，振子位于N点D．t＝0.05s，振子具有最大加速度答案：BC

答案：CD

02.知识点二知识点二简谐运动的图像【情境导学】如图是应用频闪照相法，拍摄得到的小球和弹簧的一系列的像．如何证明弹簧振子运动的x-t图像是正弦曲线？提示：方法一在图中，测量小球在各个位置的横坐标和纵坐标，把测量值输入计算机中作出这条曲线，然后按照计算机提示用一个周期性函数拟合这条曲线，看一看弹簧振子的位移与时间的关系可以用什么函数表示．方法二假定是正弦曲线，可用刻度尺测量它的振幅和周期，写出对应的表达式，然后在曲线中选小球的若干个位置，用刻度尺在图中测量它们的横坐标和纵坐标，代入所写出的正弦函数表达式中进行检验，看一看这条曲线是否真的是一条正弦曲线．【知识梳理】位移—时间图像建立坐标系，横轴代表________，纵轴代表小球__________________，它就是小球在平衡位置附近往复运动的位移—时间图像，称为弹簧振子的振动图像．时间t相对平衡位置的位移x【重难突破】1．对简谐运动图像(x-t图像)的认识(1)图像形状：正(余)弦曲线．(2)物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．2．从简谐运动图像获取的信息(1)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2.(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中质点在a位置时，下一时刻离平衡位置更远，故此刻质点向x轴正方向振动．(3)简谐运动中速度和位移的关系：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置．若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大，若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小，如图乙中质点在b位置时，从正向位移处向着平衡位置运动，则速度为负且增大，位移正在减小，质点在c位置时，从负向位移处远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移正在增大．例2如图所示为某弹簧振子在0～5s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是(

)A．振动周期为5s，振幅为8cmB．第2s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值C．从第1s末到第2s末振子在做加速运动D．第3s末振子的速度为负向的最大值答案：B解析：振幅等于最大位移的大小，故振幅为4cm，而周期是完成一次全振动的时间，所以振动周期为4s，A错误；第2s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值，B正确；从第1s末到第2s末振子向负的最大位移处运动，所以振子速度减小，做减速运动，C错误；第3s末振子的位移为零，振子正经过平衡位置向正方向运动，故速度最大且方向为正，D错误．【变式训练2】如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是(

)A．t＝2×10－3s时刻纸盆中心的速度最大B．t＝3×10－3s时刻纸盆中心的加速度最大C．在0～1×10－3s之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.5×10－4cos(50πt)m答案：C

2．对称性(1)时间的对称①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.(2)速度的对称①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．(3)位移的对称①物体经过同一点(如C点)时，位移相同．②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反．例3质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下列说法正确的是(

)A．当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期D．当质点经过的路程为振幅的2倍时，经过的时间为半个周期答案：D解析：质点连续两次经过同一位置的时间不一定是一个周期，A错误；质点同向经过关于平衡位置对称的两点速度相同，但经过的时间不为一个周期，B错误；质点连续两次经过同一位置时，加速度相同，但经历的时间一般不等于一个周期，C错误；质点在任何半个周期内通过的路程一定是振幅的2倍，D正确．【变式训练3】一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3s第一次到达某点M处，再经0.2s第二次到达M点，则其振动频率为(

)A．0.4Hz B．0.8HzC．2.5Hz D．1.25Hz答案：D

03.随堂自主检测1．如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为原点，建立Ox轴，向右为x轴正方向．若振子位于N点时开始计时，则其振动图像为(

)答案：A解析：由题意，向右为x轴的正方向，振子位于N点时开始计时，因此t＝0时，振子的位移为正的最大值，振动图像为余弦函数，A正确．

答案：AD

答案：A

4．图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是(

)A．在t＝0.2s时，弹簧振子运动到O位置B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同C．从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小D．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同答案：C解析：由题图知，若从平衡位置开始计时，则在t＝0.2s时，弹簧振子运动到B或A位置，A错误；在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度大小相等、方向相反，B错误；

从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，其动能越来越小，C正确；

在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度大小相等、方向相反，D错误．04.课时素养评价11

答案：A

2．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是(

)A．t＝1s时，振子的速度为零，加速度为正的最大值B．t＝2s时，振子的速度为负，加速度为零C．t＝3s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零D．t＝4s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值答案：B解析：t＝1s时，振子的位移为正的最大值，速度为零，加速度为负的最大值，A错误；t＝2s时，振子的位移为零，速度为负的最大值，加速度为零，B正确；t＝3s时，振子的位移为负的最大值，速度为零，加速度为正的最大值，C错误；t＝4s时，振子的位移为零，速度为正的最大值，加速度为零，D错误．3．图甲为由物块和轻弹簧制作的一个竖直放置的振动装置．图乙记录了物块振动过程中速度v随时间t变化的曲线，以向上为正方向．关于该振动过程，下列说法正确的是(

)A．t＝0时，弹簧处于原长状态B．t＝0.4s时，物块加速度为零C．t＝0.2s时，物块位于平衡位置上方D．t＝0.6s时，物块位于平衡位置下方答案：B解析：t＝0时，加速度为零，此时物块处于平衡状态，弹簧处于伸长状态，A错误；t＝0.4s时，物块的速度最大，则加速度为零，B正确；t＝0.2s时，物块速度为零，之后向正方向运动，所以物块位于最低点，即物块位于平衡位置下方，C错误；t＝0.6s时，物块速度为零，之后向负方向运动，即物块位于最高点，即物块处于平衡位置上方，D错误．

答案：C

5.一弹簧振子做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(

)A．振子的振幅为8cmB．振子的运动轨迹为余弦曲线C．在0.1s末振子的速度方向沿x轴正方向D．在0.2s末振子的加速度达到最大答案：D解析：振子的振幅为A＝4cm，A错误；x-t图像不是振子的运动轨迹，B错误；由图像可知，在0.1s末振子的速度方向沿x轴负方向，C错误；在0.2s末振子位移负向最大，则回复力最大，加速度达到最大，D正确．

答案：C

答案：C解析：该振子的周期为4s，A错误；在1.5～2s时间内，振子的位移不断减小，则加速度不断减小，B错误；在3.5s时，振子的速度和加速度都沿x轴负方向，C正确；在3.5～5.5s时间，刚好是半个周期，振子通过的路程为s＝2A＝10cm，D错误．

答案：CD

答案：B

10．(12分)某质点做简谐运动的振动图像如图所示，求：(1)在前4s内质点的路程s；答案：0.4m解析：质点做简谐运动的周期为4s，在一个周期内质点的路程是4A，所以在前4s内质点的路程s＝4A＝4×0.1m＝0.4m.(2)质点做简谐运动